第11课时 一次函数的图象和性质-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第11课时 一次函数的图象和性质 课前小测 1.(2025春·长沙期末)一次函数y=一x十2的图象与y轴的交点坐标是 A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0) 2.(2025春·仓山区校级期中)平面直角坐标系xOy中，点A,B,C,D的位置如图所示，k>0,b<0 时，一次函数y=kx十b图象一定不经过 A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 y↑/y=kx+b D。 C· B -20 第2题图 第4题图 3.(2025·雁塔区校级模拟)若正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(m,n),且3m十2n=0,则它 的表达式为 ( ) A.y=- 2 B.y=- C.y=3 2 D.y= 3 4.(2025·西市区校级模拟)如图，一次函数y=kx十b的图象交y轴于点A(0,一6)，交x轴于点B (3,0),则下列说法正确的是 ( ) A.该函数的表达式为y=一2x一6 B.点C(2,一2)不在该函数图象上 C.点P(x1y1),Q(x2y2)在图象上，若x1>x2,则y1<y2 D.将图象向上平移1个单位长度得到直线y=2x一5 5.(2025·南山区校级一模)如图，直线y=kx十b(k≠0)经过点A(一2,4)，则关于x的不等式kx十b >4的解集为 6.若一次函数y=x十b的图象过点A(1,一1)，则b 知识梳理 知识点1一次函数的概念 1.两个变量x,y间的对应关系可以表示成 (k,b是常数，k≠0)的形式，则称y是x的 次函数.特别地，当b= 时，y是x的正比例函数， 次函数y=kx十b的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 66 第一部分基础过关 【跟踪训练】 1.(2025·临渭区模)在平面直角坐标系中，已知一次函数y=一2x十b的图象经过点(1，一1)，则该 函数的图象与x轴的交点坐标为 A(z.o B.(-20 C.(1,0) D.(-1,0) 2.(2025春·越秀区校级期中)已知正比例函数y=(m一1)xm,则m的值为 知识点2一次函数的图象与性质 表示式 图象 k>0 k<0 b=0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 一次函数 V 图象 性质 y的值随x值的增大而 y的值随x值的增大而 【跟踪训练】 3.(2025春·道外区期末)一次函数y=kx十b(k≠0)的图象如图，点C(x1,y1), 点D(x2,y2)在函数图象上，若x1>x2,则y1 y2(填“>”“=”或“<”). 4.(2025春·北京期末)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx一1的图象经过 B 点P,且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是 A.(1,-1) B.(1,1) C.(-1,2) D.(4,-2) 5.(2025春·大兴区期末)已知正比例函数y=kx(k≠0)，函数值y随自变量x的增大而增大，写出 一个满足条件的正比例函数表达式： 知识点3一次函数解析式的确定 1.方法：待定系数法。 2.步骤： (1)先设一次函数的表达式为y=kx十b(k≠0)； (2)将图象上的两点A(x1,y),B(x2y2)代入y=kx十b中，得到方程组； (3)解方程组得到k,b的值；(4)将k,b代入所设表达式. 特别提醒：若直线过原点，则设函数表达式为y=kx(k≠0)；若一次函数表达式中只有一个待定系 数，则只需要代入一个点的坐标即可求解】 67 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 【跟踪训练】 6.(2025春·诸城市期末)已知，一次函数y=x十b(k≠0)的图象经过点(2,4)与点（一2,2） (1)一次函数的表达式是 (2)若点（一3，y1)和点(4，y2)在一次函数y=kx+b的图象上，请比较y1与y2的大小. 知识点④一次函数与方程（组）、不等式的关系 1.一次函数与方程的关系：关于x的一元一次方程kx十b=0的解是一次函数y=kx十b(k≠0)与x 轴交点的横坐标 k1x+b1=0, 2.一次函数与方程组的关系：关于x,y的方程组 的解是一次函数y=k1x十b1与y= k2x+b2=0 k2x十b2图象的交点坐标. 3.两直线互相平行或垂直： 已知：两直线解析式为l1:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2. (1)若11∥12，则 ;(2)若11⊥12，则 4.一次函数与一元一次不等式的关系： (1)求关于x的一元一次不等式kx十b>0的解集相当于求一次函数y=kx十b,当y>0时，x的取 值范围（也就是直线y=kx十b在x轴上方部分对应的点的横坐标）； (2)求关于x的一元一次不等式kx十b<0的解集相当于求一次函数y=kx十b,当y<0时，x的取 值范围（也就是直线y=kx十b在x轴下方部分对应的点的横坐标）. 【跟踪训练】 7.(2025春·西城区校级期末)如图，一次函数y=kx十b的图象与x y=kx+b 轴交于点(1,0)，与y=一x一2的图象交于点P(2,一4)，则下列说法 正确的是 ( )y=-x-2 A.关于x的不等式kx十b>0的解集是x>1 345x B.关于x的方程kx十b=-x-2的解是x=1 C.关于xy的方程组=-x-2, x=-4, y=kx+b 的解是 y=2 D.关于x的不等式kx+b>-x一2的解集是x<2 8.(2025春·深圳期末)如图，一次函数y=ax十b(a,b为常数，a≠0)的图象分别 与x轴y轴交丁点A-),B01,则关丁x附不等式ax+60的解来为 68 第一部分基础过关 知识点⑤一次函数的实际应用 一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量及它们之间的函数关系； (2)列一次函数解析式表示它们之间的关系； (3)应用一次函数的图象及性质解题； (4)检验结果的合理性，检验是否符合实际意义 【跟踪训练】 9.(2024春·深圳期末)骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造 成膝盖磨损.有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距15cm,测量裆部离地面的距离 x(单位：cm),得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的AC长度（由长度为48cm的立管 AB和可调节的坐杆BC组成，如图所示).设AC长度最合适时坐杆BC的长度为ycm,则下列说 法不正确的是 A.若某人裆部离地面的距离为100cm,则他骑行最合适的AC长是88.3cm B.当x=100时，y=40.3 C.y与x的关系式为y=0.883x-48 D.若某人裆部离地面的距离为110cm,某山地车坐杆BC的最大调节长 度为45cm,那么他适合骑该山地车 10.(2025春·阳东区期末)天虹超市销售蓝莓，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如 下关系： 每千克售价x/元 60 59 58 57 56 30 每天销售量y千克/ 50 55 60 65 70 200 (1)已知销售量y(千克)与售价x(元)之间的函数关系是一次函数，试求出该函数的表达式； (2)如果周六的销售量是170千克，那么这天的售价是每千克多少元？ 69 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 典例探究 考点一次函数的图象与性质 例1(1)(2025·皇姑区模拟)已知一次函数y=kx十b函数值y随自变量x的增大而减小，且kb< 0,则函数y=kx十b的图象大致是 A D (2)(2025·广东模拟)如图，一次函数y=kx十b的图象经过点(0,4)，则下列结论正确的是 ( ) y A.图象经过一、二、三象限 B.关于x的方程kx十b=0的解是x=4 C.b<0 D.y随x的增大而减小 变式1关于函数y=kx十b(k≠0)，已知点M(.x1,y1),N(x2,y2)是该函数图象上的任意两点，且 (x1一x2)与(y1一y2)同号，则图象必经过 ( A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二、三象限 D第二、三、四象限 考点2一次函数与方程（组）、不等式 例2(1)(2025·城关区校级模拟)如图，在同一平面直角坐标系中，直线11：y=x+4与直线12：y= =x十4， kx十b交于点A(一1，m),则关于x,y的方程组 的解为 y=kx+b A.=3, B./1, (y=-1 y=4 C/=-1, x=-1, D. (y=3 y=-3 (2)在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法 V 善于学习的小明在学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）和一 y=k x+b 次函数后，把相关知识进行了归纳整理，如图所示： B八 v=kx+b 70 第一部分基础过关 一次函数与方程的关系： 次函数与不等式的关系： ()一次函数的解析式就是一个二元一次方程； (i)函数y=kx十b的函数值y大于0时，自变量x (ii)点B的横坐标是方程a的解； 的取值范围就是不等式c的解集； (ii)点C的坐标(x,y)中的x,y的值是方程组b (i)函数y=k.x十b的函数值y小于0时，自变量 的解。 x的取值范围就是不等式d的解集. ①请你根据以上方框中的内容在下面字母序号后写出相应的结论： ;b. jC. id. ②如果点C的坐标为(1,3)，那么关于x的不等式k1x+b1>3的解集是 那么关于x的 不等式kx十b≥k1x十b1的解集是 变式2一次函数y=x十b与y=mx十n的图象如图所示，则下列说法不正确的是 A.b=-1,n=2 y y=kx+b 4 v=mx+n B.这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为4.5 C关于xy的方程组=x+6的解为=3， y=mx+n y=4 D.当x从0开始增加时，函数y=kx十b比y=mx十n的值先达到3 考点③待定系数法求一次函数解析式 例3已知一次函数y=kx十b(k≠0)，当x=3时，y=一1；当x=1时，y=1. (1)求该一次函数的表达式. (2)请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在如图平面直角坐 标系中描点、连线作一次函数的图象。 自变量x 0 函数值y=kx十b … 0 (3)该一次函数图象与x轴、y轴的交点分别是A,B,坐标原点为O,试猜想y轴上是否存在点 D,使得S△DAB=2S△OaB若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由. y 5 65-4-3210123456 71 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式3综合与实践 【温故知新】小颖同学在学习完一次函数后，先复习巩固了求解一次函数解析式的方法，请你 帮助小颖同学完成下面习题： 【练习】一次函数的图象经过(2,1)和(0，一3)两点，求一次函数解析式； 解： 【探究新知】巩固学习过的知识后，小颖又探究了一个新的函数y=2x十1一3的图象，请你 帮助她完成探究， (1)列表： … -4 -3 -2 -1 0 2 … y … 3 1 -1 m 表格中m= ,n= (2)在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的一条性质： 4 3 2 -654321☐o12345x -2 答题规范 示范题：已知一次函数y=kx十b的图象经过点(0,1)与点(2,5)，求该一次函数的解析式.(6分) 解：一次函数y=kx十b的图象经过点(0,1)与点(2,5)，… ……1分 模 1=b, 代入解析式得 …………3分 5=2k+b, 评 b=1, 解得 5分 准 k=2 一次函数的解析式为y=2x十1.……6分 72 第一部分基础过关 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率：6】 1.(2025春·垫江县期末)函数y=一2x十1的图象一定经过下列四个点中的 A.(1,-3) B.(-2,4) C.(-1,1) D.(0,1) 2.(2025春·福田区期末)如图，一次函数y1=x十b(b是常数)与正比例函数y2=kx(k是常数，k≠ 0)的图象相交于点M(2,1),则关于x的不等式kx>x十b的解集是 A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 正面 y2=kx 背面 y=x+b B 第2题图 第5题图 第6题图 3.(2025·深圳二模)请写出同时满足“①y随x的增大而增大；②函数图象与y轴交于负半轴”两个 条件的一次函数表达式： 4.(2025春·菏泽期末)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=kx(k≠0)图象上任意两点，且当x1 <x2时，总有y1>y?成立，写出一个符合题意的k值： 5.(2025·潮阳区三模)如图，直线l1:y=x+1与直线12：y=x十b相交于点P(1,m),则关于x,y y=x+1, 的方程组 的解为 y=kx十b 6.如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同.将这三张卡片背面朝上洗匀后， 第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k,第二次从余下的 两张卡片中再随机抽取一张，将上面标有的数字记作一次函数表达式中的b.求一次函数y=kx十b 的图象经过第二、三、四象限的概率为 (二)能九提升 【建议用时：5分钟正确率：5】 7.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点在一次函数的图象上，其坐标分别为A(x, y),B(x十a,y十b),下列结论正确的是 A.a<0,b=0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.ab<o 73 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=一2x十6分别与x轴、y轴交于A,B两点，将直线AB绕点A 逆时针旋转45°得到直线AC,过点B作BD⊥AC于点D,则点D的坐标是 A.(-1,1) 33 B.(-22】 55 C(-33 55 D.(-22 B v=kx+6 A O C D O 图1 图2 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作正方形ABCD,点C(一7， 3)在一次函数y=kx十6的图象上，一次函数的图象与x轴交于点E,与y轴交于点F,将正方形 ABCD沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线EF上，则a的值为 A号 c号 D号 10.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，一动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径运动，过点P作 PQ⊥AC,垂足为Q.设点P运动的路程为x,PB与PQ的差为y,y与x的函数图象如图2所示， 点M,N是直线DE,EF与x轴的交点，则MN的长为 11.绿动未来— 追踪碳排放 【素材呈现】 在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆 素材一 电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里 的总排放量则为1374克. 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施.根据相关换算标准，每棵成年 素材二 的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉） 每年大约吸收111千克的二氧化碳 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量分别是 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树α棵，这100棵树木一年内吸 收的二氧化碳总量为心千克. (1)求w与a的函数关系式； 74 第一部分基础过关 (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得 这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大. (三)命题新方向 12.(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元 篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮 球时花费最少，最少费用是多少？ 尝试·反思 研究一次函数，一般会经历怎样的过程？对以后研究函数有什么帮助？ 75新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识点2点到坐标轴及原点的距离：①|3y②|x ③√+y两点间的距离：①√(xQ-xr)+(yo-yP) ②|ya一yp③x。-xp|点的平移：(x,y十a)(x-a,y) (x+a,y)(x,y-a) 知识点31.变量2.(1)xy(2)解析式法、列表法、图象法 (3)列表、描点、连线 跟踪训练 1.D2.A3.(1)1(2)-3(3)<-3<14.D5.5 6.(5,4)7.-8或48.C9.C10.A 典例探究 例1D变式1D例2(-2,1)变式2D 例3解：(1)①0.31.5②0.15③4④当0≤x≤10时，y 0.15x,当10<x≤40时，y=1.5,当40<x≤65时，y= 0.1x-2.5; (2)从体育馆到图书馆的途中两人相遇时离张华家的距离是 2.75km 变式3C 课堂检测 1.B2.B3.B4.D s) 6.解：(1)1(2)一4 (3),点B到两坐标轴的距离相等，且一m+m一3=一3≠0， 3 3 ·一m=m-3,解得m=2m的值为 7.B8.B9.C10.C 1解，(162a=号或号 (3)点D是“角平分线点”，理由如下： 点C(-1,3b-2)的长距为4，∴.|3b一2=4， ,点C在第二象限内，3b一2=4，解得b=2, .点D的坐标为(9一2b,一5)， .9-2b=9-2×2=5, 19-2b|=|-51,点D是“角平分线点” 12.②④ 第11课时一次函数的图象和性质 课前小测 1.A2.D3.A4.D5.x>-26.-2 知识梳理 知识点11y-x+602(-冬0） (0,b) 知识点2增大减小 知识点43.(1)k1=k2(2)k1·k2=-1 跟踪训练 1.A2.-13.<4.B5.y=2x(答案不唯一) 6.解：1Dy=2x+3 (2):最=子>0，∴y随x的增大而增大， -3<4,.y1<y2 7.D8z≥-g9D 10.解：(1)设该函数的函数解析式为：y=x十b(≠0)，把点 (60,50)、(30,200)分别代人上式（不唯一）， 得∫50=60k十6，解得二350，y=一5z+350:】 200=30k+b, (2)当y=170,得170=-5x+350,解得x=36, 答：这天的售价是每千克36元 典例探究 例1(1)C(2)A变式1A 例2(1)C(2①k红+6=0=1x+1,k红+6>0 ly=kx+b kx十b<0②x>1x≤1 变式2D 例3解：(1)由题知3k十6=-1， k+b=1, 解得1， b=2, .一次函数的表达式为y=一x十2： (2)由(1)中所求函数表达式可知， 当x=0时，y=2;当y=0时，x=2. 描点、连线，如答图所示； (3)存在.由(2)知，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0， 2), 1 0A=0B=2,Sa0a=2X2X2=2. 1 又SaAB=2 SAS=4,Z·BDX2=4, ∴.BD=4,则2十4=6,2一4=一2， ∴.点D的坐标为(0,6)或(0，一2). y叶 6 1 A 65432101 ☒3456x - +2 3 -5 -6 答图 变式3[温故知新门[练习]解：设直线解析式为y=kx十b, 点(2,1)和(0，一3)两点在函数图象上， ·亿3解得=2， 2k+b=1, 6=-3,y=2x-3. (1)设y=2|x+1-3,.当x=-1时，m=2×|-1+1-3 =-3, 当x=1时，n=2×|1+1|-3=2×2-3=1, .m=-3,n=1,故答案为-3,1. (2)函数图象如答图. y 4 3 2 1 -654-3215i2345 答图 (3)由图象可知，当x>一1时，y随x的增大而增大（答案不 唯一) 课堂检测 1.D2.A3.y=2x-1(答案不唯一)4.一1（答案不唯一） 、s.z=6.37B8.B9D1038 11.解：问题一：186克，74克 问题二：(1)根据题意，得w=172a+111(100一a)=61a+ 11100,.w与a的函数关系式为w=61a+11100. (2),61>0,∴.w随a的增大而增大， .a≤30，∴.当a=30时，w的值最大，100-30=70（棵）. 答：购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量 最大 12.解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件 ①②： 根据题意，得亿十y+30=140 (2y-x=40, 解得∫x=60, (y=50. 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； (2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10一m)个，根据题 意，得10-m≤2m,解得m≥2， 仅m≤10,19≤m≤10， 设学校要购买篮球、足球的总费用为元， 根据题意，得w=60m十50(10-m)=10m十500， :10>0,.w随m的增大而增大， 10≤m≤10，且m为正整数， .当m=4时，最小，最小值为540. 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元. 第12课时反比例函数的图象和性质 课前小测 1.C2.D3.C4.-85.2 知识梳理 知识点21.原点直线y=x和y=一x 2.一、三诚小二、四增大 跟踪训练 1B2-1答案不唯-）3.84D5号6(-1，-1D 7.D8.5 典例探究 例1(1)<(2)B变式1C 例2(1)-6(2)B变式2一12 例3(1)D(2)D变式3B 课堂检测 1.D2.A3.C4.-4<x<0或x>45.-106.F=600 7.4W38.k1<k2<k:9.0.510.3311.10512.(5,0) 13.解：(1)y=x (2)2图略；(3)b>c. 14.-3 第13课时二次函数的图象和性质 课前小测 1.D2.y=-x2十x十2（答案不唯一）3.<4.(2,1) 53=-g(z-1D+16.c 知识梳理 b 4ac-b2 知识点2x=一2a一2a,4a 减小增大增大 参考答案 减小 知识点51.2个1个无 跟踪训练 1.B2.B3.B4.C5.B6.5 7.解：抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(一2,0)，B(3,0) 两点，把A,B两点坐标代入抛物线y=ax2十bx+4,得 2 4a一2b+4=0解 a=-3’ 9a+3b+4=0,1 2 b3 “抛物线的解折式为y一号+号十4 8解：在平面直角坐标系中，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部 离水面高OC为4m.A(-6,0),B(6,0),C(0,4), 设抛物线的表达式为y=a(x-0)2十4=ax2十4，将点B的坐 标代入得a×62十4=0，解得a=-9, 抛物线的表达式为y=一号十4 9解：B(3,0),.BO=3, :m∠aBc=合0c=c0,2) 将A(-1,0,B3,0,c(0,2）代人y=ar2+bc+e 1 a-b十c=0, a=-2 a+6+c=0解得6=1，y=-名++号 1 3 3 2’ c=2' 10.C11.A12.x=-1 13.(1)y=(x-1)2-4(2)(1,-4)(3)(0,-3)(4)(-1, 0)和(3,0)(5)8(6)x<-1或x>3(7)-4≤x<5 典例探究 例1(1)C(2)D变式1C 例2(1)解：由一2a =-1,可得b=2a, y=a.x2+2ax十4，又抛物线过点(2,0)， 1 .4a十4a十4=0，解得a=-2, 1 六该二次函数的表达式y=一2x2-x十4. (2)解：①y=x2十2x-2； ②顶点坐标为（一1，一3），作图略； ③n=1+√5或n=4-√5. 变式2解：(1)y=-0.02x2十0.3x十1.6 (2)不能，理由如下： 由题意可知，OD=6m,CD=4m,DE=CF=2.2m,则OC=2m, 当x=2时，y=-0.02×2+0.3×2+1.6=2.12, 2.12m<2.2m,∴此纯电货车不能完全停到车棚内； (3)设支柱OA抬高的高度为hm,则改造后棚顶横截面的解 析式为y1=一0.02x2+0.3x+1.6+h, ,要求改造后车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充 电，.当x=1时，y1≥2.5， .y1=-0.02×13+0.3×1+1.6+h=1.88+h≥2.5， 解得h≥0.62，即支柱OA抬高的高度至少需要大于0.62m. 例3(1)D(2)②③变式3B