专题10 几何证明与计算专项突码-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

∴z=亭⊙P的半径为学 例2解：(1)如答图1，点D即为所求 D C C 答图1 答图2 (2)如答图2，分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交 于点O,则点O即为所求 例3解：(1)1：3 如答图1、答图2所示 答图1 答图2 例4解：(1)如答图1中，直线BE即为所求； (2)如答图2中，点M即为所求； (3)如答图3中，点N即为所求， C 答图1 答图2 答图3 例5解：(1)如答图1中，连接BC, AB=BC=√5，BC=√/I0,.AB2+BC=AC2, ∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∠a+∠B=45°； C 答图1 答图2 (2)如答图2中，连接BC,由题意，a=∠BAD,B=∠DAC, △ABC是等腰直角三角形，∴a十B=90°.故答案为90； (3)如答图2中，a=∠GDH,B=∠HDF,在Rt△DGF中， FG 1 tan(a+B)=DG?· 变式2解：(1)如答图1中，点D即为所求；(2)如答图2中，点 E即为所求；(3)如答图3中，点F即为所求. 答图1 答图2 答图3 巩固提升 1.B 2.解：(1)如答图1中，△ABC即为所求： (2)如答图2中，△ABC即为所求： (3)如答图3中，△ABC即为所求， 3 参考答案 C B 答图1 答图2 答图3 3解：(1)如答图，直线MN为折痕，点M为所求作； 证明如下：由题意可知，点B,E关于直线FG对称， .FG垂直平分BE,.BF=EF,OE=OB, 在射线OG上取点M,使得OM=OF, .四边形BFEM是平行四边形， 由条件可知四边形BFEM是菱形； 木W G 答图 (2)FM=2FH=4√2. 4.解：(1)如答图1，则点O,点D与⊙O为所求； C D B A B 答图1 答图2 (2)①证明：连接OA,如答图2，则∠AOB=2∠C, 2∠C+∠B=90°，.∠AOB+∠B=90°，∴.∠OAB=90°， .OA⊥AB, OA为⊙O的半径，∴.直线AB是⊙O的切线： ②解：设⊙O的半径为r,则OA=OC=r, .BC=9,..OB=BC-OC=9-, OA⊥AB,∴.AB2十OA2=OB2, ∴.r2十32=(9-r)2,∴.r=4..⊙O的半径为4. 专题十 几何证明与计算专项突破 分类探究 例1(1)证明：AB∥DE,.∠B=∠E ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中！ ∠A=∠D, AC=DF, .△ABC2△DEF(AAS): (2)解：由(1)可知：△ABC≌△DEF,∴.BC=EF, .BF+CF=EC+CF,..BF=EC, ,BF=4,FC=3,.EC=4, ∴.BE-BF+FC+EC=4+3+4-11. 变式1(1)证明：在等腰Rt△ABC中，AB=AC, ∴.∠ABC=∠BCA=45°， ∴.∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+∠BAD ∠AEB=-∠ACB+∠CBE=45°+∠CBE, ∠BAD=∠CBE,.∠ADC=∠AEB: (2)解：如答图，F为AD中点，取AC的中点H,连接FH, FH-CD.FH/BC. 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 设FH=x,则CD=2x,BC=2x十√2， .AC-BC=+1, ·AH=CH=②x+1 B 2. 答图 由(I)得∠ADC=∠AEB,∴.∠ADB=∠BEC, 又：∠ABD=∠BCE=45°，.△ABD∽△BCE, 8B-C-9cE=原BD=2 EH-CE-CH=2-x+1_3-x 2 2 FH EH :FH∥BC,△EFH∽△EBC,BC-BC, 3-√2x 2 √6 ,x= x √2+2x 2 -,解得x=?(负值已舍去)， ∴.CD=√6」 例2(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线，∴.DE∥BC, ,DG=FC,,四边形DFCG是平行四边形， 又DF⊥BC,.∠DFC=90°， ∴.平行四边形DFCG是矩形； (2)解：DF⊥BC,.∠DFB=90°， ,∠B=45°，.△BDF是等腰直角三角形， ∴.BF=DF=3, .DG=FC=5,.BC=BF+FC=3+5=8, 由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， DE=号BC=4,cG=DF=3,∠G=90, ∴.EG=DG-DE=5-4=1, ∴.CE=√CG2+EG=√32+1=√10， ,E为AC的中点，∴.AC=2CE=210 变式2解：(1)图形如答图所示. 结论：四边形BEDF是菱形. 理由：四边形ABCD是矩形， 答图 ∴.OB=OD,AD∥BC,.∠EDO=∠FBO, ∠EOD=∠FOB, 在△EOD和△FOB中，JOD=OB, ∠EDO=∠FBO, .△EOD≌△FOB(ASA),.DE=BF, EF垂直平分线段BD,,EB=ED,FB=DF, ∴BE=ED=DF=FB,∴四边形BEDF是菱形； (2),∠BCD=90°，CD=3,BC=4, .BD=√BC+CD=√40+3=5， 5 :.OB=0D=2: 25 设BF=DF=x,则有x2=(4一x)2十32，∴.x= 8 ,∴.OF=√BF2-OB2= :AE0D≌△FOB,∴0E=0F=5,EF=5 15 例3解：(1)图形如答图所示 (2)①证明：如答图，过点O作OA⊥PQ于点A.由条件可知 OB⊥BP .∠OPQ=∠OPB,∴.OA=OB=r .PQ是⊙0的切线； ②解：'sim∠BDP=PD=亏， PB 3 5 PD=3PB=10, 答图 BD=√PD-PB=8, 由条件可知PA=PB=6, .AD=PD-PA=4在△DAO和△DPB中， :∠DAO=∠DPB=90°，∠ADO=∠BDP, DA OA △DAO∽△DPB.DB=PB1 OA=DA·PB4X6 DB 8 3,∴.⊙0的半径为3. 变式3(1)证明：连接OD,如答图.，AB为⊙O的直径 .∠ACB=90°， ,CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD =45°，.∠AOD=2∠ACD=90°， :DE为⊙O的切线，.∠ODE=90°， .∠AOD+∠ODE=180°， .AB∥DE: 答图 (2)解：如答图，连接BD, AB为⊙O的直径，∠ADB=90°， ∠BAD=∠BCD=45°，AB=10,.AD=5√2， ∠BCD=∠DCA=∠BAD,∠ADF=∠CDA, .DF AD :.△ADFn△CDA,AD-CD' ∵AD=52,CD=8,E=8DF-25 5√2 Γ4 巩固提升 1.(1)证明：AD∥BE,∠A=∠B, AC=BE, 在△ACD和△BEC中， ∠A=∠B, AD=BC, ∴.△ACD≌△BEC(SAS); (2)解：由(1)知△ADC≌△BCE,.DC=CE, 又CF平分∠DCE,∴CF⊥DE,DF=EF, .CF垂直平分DE, CF=3,DF=4..DE=2DF=8, .SADCE DE·CF_8X3=12,即△DCE的面积是12. 2 2 2.(1)证明：在直角三角形ABC中，∠C=90°，OE⊥AC,OD⊥ BC,垂足分别是E和D,AO平分∠BAE, 如答图1，过点O作OF⊥BA于点F, .∠D=∠E=∠C=90°，OF=OE,.四边形CDOE是矩形， 同理可得OF=OD,.OD=OE,.矩形CDOE是正方形， ..CD=CE; ■ G D 答图1 答图2 8 (2)解：如答图2，延长CD到点G,使DG=AE,连接OG 由(1)可知四边形CDOE是正方形，.OD=OE, OE=OD, 在△ODG和△OEA中 ∠E=∠ODG=90°， AE=GD, ∴.△ODG≌△OEA(SAS),.∠GOD=∠AOE,OG=OA. .∠C=90°，∴.∠BAC+∠CBA=90°， ∴.∠BAE+∠ABD=270°， 又，AO,BO分别平分∠BAE和∠ABD, ∴.∠BAO+∠OBA=135°，.∠AOB=45°， '.∠EOA+∠BOD=45°， ∴.∠GOD+∠BOD=45°，即∠GOB=45° OG=OA, 在△GOB和△AOB中，J∠GOB=∠AOB=45°， OB=OB. .△GOB≌△AOB(SAS),.BA=BG=BD+AE=3+2=5, 设CE=CD=x,∴.BC=x-3,AC=x-2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2十AC2-AB2, ∴.(x-3)2+(x-2)2=52, 解得x1=6,x2=一1（不合题意，舍去），.CE=6. 3.①(1)证明：AF=BF,EF=DF, .四边形ADBE是平行四边形， AF=EF,..AF=BF=EF=DF, ∴.AF十BF=EF+DF,即AB=DE, ∴.平行四边形ADBE是矩形： (2)解：由(1)可知，四边形ADBE是矩形， ∴.∠ADB=90°，AE∥BD,∴.∠ADC=90°， ,AC∥ED,∴.四边形ACDE是平行四边形， ..CD=AE=5,AC=DE, .'tan C=12_AD 5CD-12, ∴.AC=√/AD2+CD2=√12+5=13，.DE=13 DF=号DE=号，即线段DF的长为号 4.解：(1)理由如下：如答图，连接OC, D :AC平分∠BAE,∴∠EAC=∠OAC, E .OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, .∠EAC=∠OCA,∴.AE∥OC, CD⊥AE,∴.OC⊥CD 而OC为⊙O的半径， 答图 '.直线CD是⊙O的切线；故答案为AC平分∠BAE; (2)如答图，CM为所作， .AC平分∠EAB,CD⊥AE,CG⊥AB, ∴CD=CG,∠EAC=∠OAC,∴.CE=CB,CE=CB, 在Rt△CDE和Rt△CGB中，CE=CB, CD=CG, ∴.Rt△CDE≌Rt△CGB(HL),.DE=BG=2, :∠ECD+∠DEC=90°，∠B+∠BAC=90°， 而∠B=∠DEC,∠BAC=∠EAC,∴.∠ECD=∠EAC, '∠CDE=∠ADC,.△DCE∽△DAC, .DC:DA=DE DC, 3 参考答案 即DC:(2+4)=2:DC,解得DC=2√3. 5.(1)证明：如答图，连接OC,则OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, :过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D, ∴.OC⊥CD,∴.∠BCD+∠OCB=90°， AB为直径，.∠ACB=90°，∠OCA+∠OCB=90°， ∴∠OCA=∠BCD,∴.∠CAB=∠BCD, EC=BC,∴.∠CAE=∠CAB=∠BCD, ,∠CAB=∠EBC,.∠EBC=∠BCD,∴，BE∥CD; (2)解：设半圆O的半径为r,则OC=OB=r, ,BD=1,∴.OD=r+1, :ocLCD,∴sinD=O那，+3' OC r 2 .r=2,即半圆O的半径为2，.AB=2r=4, 如答图，连接AE,则∠AEB=90°， 答图 .BE∥CD,.∠ABE=∠D, ∴.sin∠ABE=sinD _AE_AE-2 、AB=4=3，∴.AE=3、】 BE-ABT-AET45 3 :EC-BC,∠EAF-∠BAF,AF平分∠BAE, ∴，F到AE,AB的距离相等，都等于EF的长， 2AE·EF EF.EF AE 2.EF2 S△ABF TAB.EF BFBAB=3小距=行 EF=号E-8 51 专题十一二次函数综合题 分类探究 例1解：(1)将B(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得 -9+3b+c=0 解得62， c=3, c=3, 二次函数的解析式为y=一x2+2x十3. 答：二次函数的解析式为y=-x+2x十3. 答图1 答图2 (2)如答图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q, 设P(x,-x2+2x十3)，直线BC的解析式为y=mx十n,将 (n=3,解得m1, 点B(3,0),C(03)代入得3m十n=0, 1n=3, 直线BC的解析式为y=-x十3，则Q(x,一x十3)， i.Sacm-Sam+Saco-QPOB-+3)X3 1 9第二部分 专题突破 专题十几何证明与计算专项突破 分类探究 类型一关于三角形的专项突破 例1(2025·内江)如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE: (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若BF=4,FC=3,求BE的长. D 变式1(2025·安徽模拟)如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,D,E分别在边BC,AC上，连 接AD,BE交于点F,且∠BAD=∠CBE,连接CF. (1)求证：∠ADC=∠AEB; (2)若点F为AD中点，BD=√2，求CD的长. 名师点拔：熟练掌握三角形全等、相似的判定方法与性质，结合题目条件选择恰当的方法进行证明、计 算.学会构造全等、相似三角形解决问题 309 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 类型二关于四边形的专项突破 例2(2025·北京)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G 在DE的延长线上，DG=FC (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC的长. D G 变式2(2025·深圳模拟改编)如图，在矩形ABCD中，BD为对角线. (I)用尺规完成以下作图：作BD的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,判断四边形BEDF的形状 并证明； (2)在(1)所作的图形中，若BC=4,DC=3,求EF的长. 名师点拨：熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定方法与性质，结合题目条件选择恰当的方法 进行证明、计算.思路要清晰，过程要严密 310 第二部分 专题突破 类型三关于圆的专项突破 例3(2025·深圳校级三模)如图，点P是⊙O外一点，PB是⊙O的切线，切点为B,连接OP. (I)尺规作图：在OP上方作射线PQ,满足∠OPQ=∠OPB(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中， ①求证：PQ是⊙O的切线； ○ ②连接BO并延长，交射线PQ于点D,若sin∠BDP= PB=6,求⊙0的半径. 变式3(2025·南山区模拟)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB交 ⊙O于点D,交AB于点F,过点D作⊙O的切线DE交CA的延长线于点E (1)求证：AB∥DE; (2)连接AD,如果AB=10,CD=8,求DF的长 名师点拨：熟练掌握切线的判定、性质，若证切线：条件给出所证的切线与圆有公共点，则连接圆心与 此公共，点（一条半径），证明此半径垂直是所证的切线即可；若条件没有给出所证的切线与圆有公共 点，则过圆心作所证切线的垂线段，证明垂线段等于半径即可；若已知切线，则连接切点和圆心得一半 径，此半径垂直于切线，再结合其它条件解决问题。 311 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 巩固提升 1.(2025·河北中考改编)如图，点C在线段AB上，AD∥EB,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE. (1)证明：△ADC≌△BCE; (2)若CF=3,DF=4,求△DCE的面积. 2.(2025·山东二模)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，△ABC的外角∠BAE和∠ABD的平 分线AO,BO交于点O,过点O作OE⊥AC,OD⊥BC,垂足分别是E和D. (1)求证：CD=CE; (2)若BD=3,AE=2,求CE的长. B 312 第二部分专题突破 3.(2025·南山区校级三模)如图，在四边形ADBE中，对角线AB,ED相交于点F,且AF=BF,EF =DF,过点A作AC∥ED,交BD的延长线于点C, 请从“①AF=EF;②AB=AC”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解 决下列问题： (1)求证：四边形ADBE是矩形； (2)若anC-号，AD-5,求线段Dr的长。 4.(2025·福田区校级三模)如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙O上，CD⊥AE交AE的延长线于 点D (1)请在不增加新的点和线的情况下，添加一个条件： ,使得直线CD是⊙O的 切线，并加以证明； (2)尺规作图：作点C关于直径AB的对称点M,连接CM交AB于点G.(保留作图痕迹，不写作法) 若BG=2,AE=4,直接写出DC的长. E 313 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 5.(2025·成都)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC,BC,过点C作半圆O的切线，交 AB的延长线于点D,在AC上取点E,使EC=BC,连接BE,交AC于点F. (1)求证：BE∥CD; (2若smD号，BD1,求半阴0的半径及EF的长. D 314