专题9 作图-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第二部分 专题突破 专题九 作图 类型一尺规作图在解答题中的考查 例1(2025·深圳二模)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，点C关于AD的对称点C落在AB 边上 【实践与操作】 (1)请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与C'； 【推理与计算】 (2)以D为圆心，CD为半径作⊙D,若点A恰好落在⊙D上，且AB=10,BC=13,求⊙D的半径. 变式1(2025·坪山区二模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5. (1)请用圆规和没有刻度的直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上，且⊙P与AB,BC两边都相切；（保 留作图痕迹，不写作法和证明) (2)在(1)的条件下，求⊙P的半径长。 B C 303 0加 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 尺规作图大题基本思路：复杂的尺规作图往往由基本作图组成，解答的关键是熟悉基本几何 名 图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，经历构思图形、设计作图方 案并进行证明的过程，尺规作图部分根据条件执果索因，先想象并画出满足结论的草图，根据草 图探究所要作的图形满足的条件，再结合已知条件探究作图方案. 类型二网格作图 1.网格作中点 例2(2025·江西)如图，在6×5的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请仅用无刻度直尺 按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） (1)在图1中作出BC的中点； (2)在图2中作出△ABC的重心. 图1 图2 2.网格作相似 例3(2024·南山区三模)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A,B,C,D均在格 点上 PD的值为 (1)在图1中，PA (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 ①如图2，在AB上找一点P,使AP=3; ②如图3，在BD上找一点P,使△APBp△CPD, B C D C D 图1 图2 图3 304 第二部分 专题突破 3.网格作垂线段 例4(2025·二道区校级模拟)图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点.点A、B、C均在格点上，D、E是线段AB与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的 网格中按下列要求作图，保留作图痕迹， (1)在图1中，过点B作AC的垂线； (2)在图2中，在AC上找一点M,连接DM,使DM= 2AB: (3)在图3中，在AC上找一点N,连接EN,使EN=4AB. D 图1 图2 图3 4.网格作特定三角函数值 例5（2025：成海)【问题提出】已知∠a,∠B都是锐角，ana=7am日-号求∠a十∠孕的度数 【问题解决】 (1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD,请你按照这个思路求∠α十 ∠3的度数.（点A,B,C,D都在格点上) 备用图 备用图 【策略迁移】 已知∠a,∠B都是锐角，tana三名，tanB二，则∠a十∠9= (3)已知∠a,∠，∠9都是锐角，ana=3,an月=7，∠a十∠A=∠0，求an0的值.（提示：在正方形 网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案) 305 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (例5答题区) 变式2(2025·兴庆区校级一模)如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点A,B,C均在 格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母. (1)如图1，在线段AB上找一点D,使得DB3: AD 2 (2)如图2，在边AC上找一点E,使得tan∠EBC= 2 (3)如图3，在三角形内寻找格点F,使得∠A=2∠BFC. 图1 图2 图3 网格作图基本思路：网格问题主要的思路是通过格点来作出全等三角形，平行线，相似三角形，利 用性质来解决问题， (1)过格点作格，点线段的垂线：通过构造全等来作出线段的垂线找到两个全等的直角三角形（已 名 知线段为斜边).两对应直角边刚好为水平与竖直且正好相反，则斜边垂直.（理论依据：利用 鑫 直角三角形全等或相似，导角)， (2)过格点作格点线段的平行线：通过构造平行四边形来作平行线， (3)找格点线段的中点：通过平行四边形的对角线互相平分的方法来找中点，也可以构造中位线 的方法来找出中点. 306 第二部分 专题突破 巩固提升 1.(2025·河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个 顶点均在网格线的交点上，点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点，连接 DE,则DE的长为 A号 B.1 C.√2 D.3 2.(2025·长春)图1、图2、图3均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为 格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,使△ABC的顶点均在格点上. (1)在图1中，△ABC是面积最大的等腰三角形； (2)在图2中，△ABC是面积最大的直角三角形； (3)在图3中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形 图1 图2 图3 3.(2025·深圳一模)尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且 只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数 学问题：如图，在矩形纸片ABCD中，点E在AD边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合. (1)请在图中作出折痕，交AB边于点F,交CD边于点G,连接EF,并在矩形纸片内用尺规作出一 点M,使得四边形BFEM是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，若折痕FG交BE于点H,连接AH,若AH长为6，BF为2√11，直接写出FM 的长。 B E D 307 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 4.(2025·南山区校级三模)如图，在△ABC中，AC<BC. (1)实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作⊙O,⊙O恰好过A,C两点，并与线段BC交于 另一点D.小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示.请你用尺规作图：作出点 O与点D,并补全⊙O (2)推理与计算：在(1)的条件下，若2∠C+∠B=90°. ①求证：直线AB是⊙O的切线； ②若AB=3,BC=9,求⊙O的半径. 308新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 设y2关于x的函数表达式为y2= ty,/N kx十b(k,b为常数，且k≠0)， 5 30 将坐标(10,5)和(15,10)分别代入 15 10+b=5, 10 y2=kx十b,得 015k+b=10, 5 解得∫-1， 0T510152025x/cm 1b=-5, 答图 ∴.y2关于x的函数表达式为y2=x一5， 当x=30时，y2=30-5=25, .弹簧B在弹性限度内的最大拉力是25N。 (3)设购买A弹簧m根，则购买B弹簧(10一m)根，根据题意， 得6m+3(10-m)≤40，解得m<3号， 当x=30时，y1=1.4×30-7=35,y=35m+25(10-m)= 10m+250, 10>0,∴y随m的增大面增大，：m<3子且m为非负整数， .当m=3时y值最大y最大=10×3+250=280,10-3=7（根）. 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力 最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为280N. 3.解：(1)观察上述各点的分布规律可得，y关于x的函数是二次 函数，设该二次函数的解析式为y=ax2十bx十c, 将(0,35)，(1,56)，(2,63)代人，得 /c=35, a=-7, a+b十c=56,解得b=28, 4a+2b+c=63, c=35, ∴.该二次函数的解析式为y=一7x2+28x+35; (2)当x=0时，y=35,.种子自然发芽率为35%， ∴.当y=35时，一7x2+28x十35=35，解得x1=0,x2=4, 当y=0时，-7x2+28x十35=0，解得x1=-1(舍去)，x2= 5,∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 4.解：【任务1】：四边形OCDE始终为平行四边形，OE=8cm, .'.CD=OE=8 cm, :当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上， ..AB=DE+DB=DE++CD+BC=16+8+17=41(cm) 故答案为：8,41； 【任务2】如答图，过点C作CH⊥AB交 AB于点H,依题意，得∠COB=30°， ,四边形OCDE为平行四边形， E .'ED=CO=16 cm, 答图 CH⊥AB, .在Rt△OCH中，CH= 2C0=8(cm), 0H=0C·6os30°=16x5 2 =8√3(cm), 又，CH⊥AB,CB=17cm, .根据勾股定理可得BH=√BC-CH=l5(cm), ∴.OB=OH+HB=(15+83)(cm), ∴.限位器P的位置离A点的距离为41一（15+8√3)= (26-8√3)(cm) 答：限位器P应装在离A点(26一8√3)cm的位置 3 5.解：任务1：(1)根据题中数据可得m=7,n=4, 甲种小麦苗高频数直方图 ↑频数 6 5 4 3 2 1 0 710131619甲种小麦苗高/cm 答图 (2)12.511.515 任务2：①③ 任务3：建议选择甲种小麦。 理由：甲种小麦方差为7.609375cm,乙种小麦方差为10cm, 稳定性优先：选择方差更小的甲种小麦 甲种小麦优质安苗频率为品，乙种小支优质麦苗频率为。 产量潜力：选择甲种小麦，∴建议选择甲种小麦。 专题九作图 分类探究 例1解：(1)作∠BAC的平分线AE,AE交BC于点D,过点C 作CF⊥AD于点F,延长CF交AB于点C',如答图1，则点 D,C为所求. E 答图1 答图2 (2)以D为圆心，CD为半径作⊙D,若点A恰好落在⊙D上， 如答图2，则DC=DA,∠DAC=∠C. 由题意得∠CAD-∠BAD,,∠BAD-∠C, ∠B=∠B,△ARDACBA,8器， 7A8=10.c=13品8BD-0 13 DC=BC-BD=18-智-8OD的半径为铝 变式1解：(1)如答图，⊙P即为所求。 D B C 答图 (2)设⊙P与AB相切于点D,连接PD,.PD⊥AB, BC切⊙P于点C,.BD=BC,在△ABC中，∠C=90°， .AC=3,AB=5,..BC=AB-AC=4, ..BD=BC=4,..AD=AB-BD=1, 设⊙P的半径为x,PD=PC=x, ..PA=AC-PC=3-x, ,AD2+PD2=PA2,.12+x2=(3-x)2, 6 ∴z=亭⊙P的半径为学 例2解：(1)如答图1，点D即为所求 D C C 答图1 答图2 (2)如答图2，分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交 于点O,则点O即为所求 例3解：(1)1：3 如答图1、答图2所示 答图1 答图2 例4解：(1)如答图1中，直线BE即为所求； (2)如答图2中，点M即为所求； (3)如答图3中，点N即为所求， C 答图1 答图2 答图3 例5解：(1)如答图1中，连接BC, AB=BC=√5，BC=√/I0,.AB2+BC=AC2, ∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∠a+∠B=45°； C 答图1 答图2 (2)如答图2中，连接BC,由题意，a=∠BAD,B=∠DAC, △ABC是等腰直角三角形，∴a十B=90°.故答案为90； (3)如答图2中，a=∠GDH,B=∠HDF,在Rt△DGF中， FG 1 tan(a+B)=DG?· 变式2解：(1)如答图1中，点D即为所求；(2)如答图2中，点 E即为所求；(3)如答图3中，点F即为所求. 答图1 答图2 答图3 巩固提升 1.B 2.解：(1)如答图1中，△ABC即为所求： (2)如答图2中，△ABC即为所求： (3)如答图3中，△ABC即为所求， 3 参考答案 C B 答图1 答图2 答图3 3解：(1)如答图，直线MN为折痕，点M为所求作； 证明如下：由题意可知，点B,E关于直线FG对称， .FG垂直平分BE,.BF=EF,OE=OB, 在射线OG上取点M,使得OM=OF, .四边形BFEM是平行四边形， 由条件可知四边形BFEM是菱形； 木W G 答图 (2)FM=2FH=4√2. 4.解：(1)如答图1，则点O,点D与⊙O为所求； C D B A B 答图1 答图2 (2)①证明：连接OA,如答图2，则∠AOB=2∠C, 2∠C+∠B=90°，.∠AOB+∠B=90°，∴.∠OAB=90°， .OA⊥AB, OA为⊙O的半径，∴.直线AB是⊙O的切线： ②解：设⊙O的半径为r,则OA=OC=r, .BC=9,..OB=BC-OC=9-, OA⊥AB,∴.AB2十OA2=OB2, ∴.r2十32=(9-r)2,∴.r=4..⊙O的半径为4. 专题十 几何证明与计算专项突破 分类探究 例1(1)证明：AB∥DE,.∠B=∠E ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中！ ∠A=∠D, AC=DF, .△ABC2△DEF(AAS): (2)解：由(1)可知：△ABC≌△DEF,∴.BC=EF, .BF+CF=EC+CF,..BF=EC, ,BF=4,FC=3,.EC=4, ∴.BE-BF+FC+EC=4+3+4-11. 变式1(1)证明：在等腰Rt△ABC中，AB=AC, ∴.∠ABC=∠BCA=45°， ∴.∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+∠BAD ∠AEB=-∠ACB+∠CBE=45°+∠CBE, ∠BAD=∠CBE,.∠ADC=∠AEB: (2)解：如答图，F为AD中点，取AC的中点H,连接FH, FH-CD.FH/BC.