专题7 方程、函数及不等式的实际应用-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第二部分 专题突破 专题七方程、 函数及不等式的实际应用 分类探究 类型一方案设计问题 例1(2025·深汕合作区一模)荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,B两种文创饰品对游客 销售.已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多 1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件， 不超过A种件数的4倍： (1)求A,B饰品每件的进价分别为多少元； (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进 价打6折.设购进A种饰品x件 ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润. 283 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式1(2025·深圳校级一模)为落实《健康中国行动(2019一2030)》等文件精神，某学校准备 购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买 素材1 的足球数量相等. 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的2，同时该体育器 材店为支持该学校体育活动，对排球提供75折优惠，足球提供8折优惠， 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 名师点拨：此类方案设计问题一般会涉及到不等式或不等式组的解集，即自变量的取值范围，结合一 次函数或二次函数，利用增减性解决方案的最值问题 284 第二部分 专题突破 类型二费用、利润最值问题 例2(2025·福田区校级三模)2025年蛇年春晚吉祥物形象“已升升”已正式发布亮相，因其憨 态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱.某厂家生产A,B两款“巳升 升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元.若花800元批发购买A 款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同. (1)求A,B两款“已升升”吉祥物的批发单价分别是多少元； (2)某网店从该厂家处批发购进了A,B两款型号的“已升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超 过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价 高30%若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A 款吉祥物多少个？最大利润是多少？ 285 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式2(2025·深圳校级模拟)抖音直播购物逐渐走进了人们的生活.为提高我县特产红富士苹 果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售.已知苹果的成本价为6元/千克， 如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减 少20千克.若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为x元，每日获得的利润为心元， (1)涨价后每日销量将减少 件（用含x的代数式表示）； (2)当售价为多少时，每日获得利润最大？最大利润为多少？ 名师点拨：利用一次函数的增减性得出最少的费用或最大的利润，注意解题的规范过程；利用二次函 数y=ax2十bx十c的性质求最大利润：当a<0时，y在顶点处取得最大值，在受自变量取值范围的 影响下，当二次函数的顶点不在范围内时，利用二次函数y=ax2十bx十c的增减性求最大利润. 类型三三角形函数的实际应用 例3(2025·深圳校级三模)如图1是高铁受电弓装置，它 H G 是由两个四连杆BEDC和DFGH(这8根连杆在运动过程中长度 保持不变)组成，工作原理是利用“四边形的不稳定性”，图2是受 电弓抽象后得到的图形.已知E,A,B是定点，HG=1cm,HD= B 图1 图2 8.2cm,DC=1.1cm,BC=4.9cm,HG始终与AB垂直.当DB 之间距离最大时，H运动至最高点时，这时测得∠HDC=117°，∠CBP=70°，则点G与水平直线AB 的距离为（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73）() A.11.6 B.10.6 C.7.1 D.10.2 286 第二部分 专题突破 变式3(2025·深圳校级模拟)【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发 生折射现象（如图1D我们把n-n称为折射率（其中。代表入彩角9代表折别角2 【观察实验】为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底 的物块C,但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A,C,B在 同一直线上，测得BF=12cm,DF=16cm. (1)求入射角a的度数. （②)若C=7m求光线从空气射人水中的折射率参考数n5ms5对号n5 入射角α法线 ,介质 折射角B1 介质（折射率n) 图1 图2 图3 名师点拨：将条件放入几何图形，熟练掌握直角三角形中三角函数的应用；从具体的综合实践活动中 感受动手操作、实践活动的重要性一用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界， 287 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 巩固提升 1.(2025·北京)某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售.当一家经 销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系 如下： n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 A 40 60 / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 D 14 38 62 86 110 134 (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售 出后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”); (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的 总利润的最大值为 万元. 2.(2025·深圳二模)深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角， 圭表由铅垂的表AB(高2.0米)和水平的圭BC组成.冬至日正午，测得太 阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB=44°，则冬至日正午表AB落在圭面 B D BC的影长BD为 米.（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97） 3.(2025·铁岭模拟)某工厂加工某种型号芯片，成本价为20元/个.根据市场调查发现，销售量y(个) 是关于销售单价提高x(元)的一次函数(x≥0，且x为整数)，其关系如下表： 提高x元 单价（元/个） 销售量（个） 0 25 500 26 480 2 27 460 … … … 25+x (1)求销售量y与x之间的函数关系式： (2)由于工厂生产规模受限，每日加工该种芯片不能少于340个且不能超过620个，每日加工的芯 片全部售出，该芯片销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 288 第二部分 专题突破 0 4.(2025·龙华三模)如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转 时，最高点距地面145m,最低点距地面55m.如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD 垂直于水平地面MN(点O,A,B,C,D,M,N在同一平面内). (1)求风轮叶片OA的长度； (2)如图2，点A在OD右侧，且α=14.4°，求此时风叶OB的端点B距地面的高度.（参考数据： sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98) B C 0 A M D 图1 图2 289 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 5.(2025·深圳模拟) 设计校园午休躺睡方案 为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校新购了一批可躺 信息1问题背景 式座椅，可适应坐直、躺睡两种状态.如图是躺睡状态的实物展示图 把上述实物图抽象成如图示意图， 该椅子的椅面AB始终与地面MN保持平行，可调节高度 信息2数学抽象 的椅脚GH始终与地面MN保持垂直.测量得腿托AD长 为28cm,椅面AB长为45cm,椅背BC长为56cm,桌子 高度PQ=80cm. 根据人体工学原理，当腿托与椅面夹角、椅面与椅背夹角均为135°左右时比较舒适，即 信息3 舒适标准 ∠DAG=∠ABC=135° 问题解决 求解关 调整椅脚高度GH可使得椅背BC的C点恰好靠在后桌的桌子边缘处，加强椅背支 任务1 键高度 撑，请求出合适的椅脚高度GH. 躺睡时每个学生所需的前后间距至少为座椅在地面的水平长度E℉，预计每班一列需 方案可行 任务2 容纳6位学生躺睡，已知教室长度为8m,请问该躺椅是否能满足该校躺睡需求.（参考 性评估 数据：√2≈1.4) 290,DG⊥BC,∴.∠CDG=∠BDG=∠DCE=90°， .∠ACB=45,.∠CGD=∠ACB=45°，.DG=DC ∴△BDG≌△ECD(SAS).∴∠BGD=∠EDC,BG=DE. :点H是BG的中点，∠BDG=90,DH=G=专BG。 ∴.∠HDG=∠HGD,∴.∠HDG=∠EDC. ∴.∠HDG十∠GDE=∠EDC+∠GDE, 即∠HDF=∠GDC=90°， 点F是DE的中点，∠DCE=90,DF=CF=2DE, ..DH=DF, .△HDF是等腰直角三角形，∴.HF=√2DF=√2CF 即HF=√2CF, 4.(1)证明：，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点 D落在边AB上， AC CD AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE∴CB-CE .△BCE∽△ACD (2)解：.BC=2,AC=1,∠ACB=90°， ∴.AC=CD=1,AB=/AC+BC=2+1F=√5， BC ÷an∠A=Ac=2, 如答图，过D作DH⊥AC, m∠A-沿-2DH=2AH 在△CDH中CH+DH=CD2. 即(1-AH)+(2AH)2=1, 解得AH=台，AH=0(会去)， 答 4 :.DH-5 在△ADH中AH2+DH=AD2, AD-AHF(2AH)-/5AH-25 5 BE BC △BCEn△ACD,ADAC,即BE习 25 千BE=4w5 5 5 (3)证明：设旋转角为a,则∠ACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE ∠cDA-∠A-180-90-2 2 ∠CEB=∠CBE=2=902a, ∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∠DCB=90°-a, ∴.∠ECF=90°-a,∠DCB=∠ECF, :GF∥AB,.∠F+∠A=180°，∴.∠CDA+∠CDB=180, ∠CDA=∠A,∴.∠CDB=∠F, '∠DCB=∠ECF,∠CDB=∠F,CB=CE, ∴.△BCD≌△ECF(AAS),.CD=CF, CD=AC,∴.AC=CF. 5.解：(1)，正方形ABCD,.∠OAB=∠DAC=45° AD-E0A,旋转角为45，k-识-反。 故答案为45°：√2： (2)根据题意，得△AEF∽△AOB, AFAE ∠EAF=∠OAB,AB=AO 3 参考答案 AFAB ∠FAB=∠EAO,A5-A6△AFB△ABO. 器 ∠0A=45∠0B=08-区.8E-8: (3)BR OE的值与a无关，理由如下，如答图. 同理可证△AFB△AEO一OE一AO BF AB :菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴.∠AB0=30°， G O是AB的垂直平分线与BD的交点， ..AO=BO, ∴.∠BAO=∠ABO=30°， 过点O作OG⊥AB于点G, AB-2BG.005 ZABO-08-00- =cox30°= 2 小识小能侣能的值与：无关 .BF 专题六几何法求最值问题 分类探究 类型一线段和差最值问题 例12√3变式1A变式2√13变式33 类型二隐圆与最值问题 例1PA=d-r,PB=d+r变式12/10-2 例225例32√18-2 3 专题七方程、函数及不等式的实际应用 分类探究 例1解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件 的进价为a一D元，由驱意得0”-9×2，标得。-10 经检验，a=10是所列方程的解，且符合题意，a一1=9， 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为 9元； （2)0由题意，得600-之390·解得120≤≤210. 1600-x4x, .购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为 整数； ②设采购A种饰品x件时的总利润为元， 当120≤x150时，=15×600-10x-9(600-x)=一x十3600， 一1<0∴随x的增大而减小， ∴.当x=120时，有最大值是：-120十3600=3480， 当150<x≤210时，w=15×600-[10×150+10×60%(x 150)]-9(600-x)=3x+3000, 3>0,心随x的增大而增大， .当x=210时，0有最大值是：3×210+3000=3630， 3630>3480,∴.的最大值是3630，此时600-x=600- 210=390. 答：当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大， 最大利润为3630元. 变式1解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是(x十 20元根据意意角2。幅得=0， 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 经检验，x=80是原方程的根，故x十20=100， 答：每个排球80元，每个足球100元： 任务2：设排球购买m个，则足球购买了(60一m)个，根据题 意，得60一m≥m,解得0≤m≤40， 设总费用为元，根据题意=0.75×80×m十100×0.8(60 -m)=-20m十4800， 故心随x的增大而减小，∴m=40时，心最小，最小为4000元， 答：方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元. 例2解：(1)设B款“已升升”吉祥物的批发单价为x元，则A 款“已升升”吉祥物的批发单价为(x十20)元， 根据想意，得30 .解得x=60, 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， .∴.x十20=60十20=80， 答：A款“已升升”吉祥物的批发单价为80元，B款“已升升 吉祥物的批发单价为60元： (2)设该网店购进A款吉祥物m个，则购买B款吉祥物(60 m)个.由题意，得m≤之(60-m),解得m≤20， 设利润为u元，由题意，得心=[80×(1十30%)一80]m十(80 -60)(60-m)=4n+1200, .4>0,∴.心随m的增大而增大.∴.当m=20时，w有最大 值，最大值=4×20十1200=1280， 答：该网店购进A款吉祥物20个，最大利润是1280元. 变式2(1)(20x-200) (2)解：设每日获得利润为元，由题意可，得 w=(.x-6)[160-20(x-10)]=(x-6)(360-20x)= 20x2+480x-2160=-20(x-12)2+720, 一20<0，.当x=12时，W最大，最大值为720 .∴.当售价为12元时，每日获得利润最大，最大利润为720元 例3B 变式3解：(1)如答图，过点D作DG⊥AB,垂足为G,由题意 得，四边形DGBF是矩形， .'DG=BF=12 cm,BG=DF=16 cm, BG 16 在Rt△DGB中，tan∠BDG DG 12 3∠BDG=53, G C B .∠PDH=∠BDG=53°， 答图 ∴入射角a的度数为53°； (2)'.'BG=16 cm.BC=7 cm...CG=BG-BC=9(cm), 在Rt△CDG中，DG=12cm .DC=√CG2+DG=√9+122=15(cm), '.sin 8=sin/GDC-cp-155 CG93 由(I)得∠PDH=53dsim∠PDH=sma≈5 sin a 5 4 .折射率n sin B 33 5 “光线从空气射入水中的折射率n约为专 巩固提升 1.(1)B(2)1572.2.1 3 3.解：(1)：销售量y(件)是关于销价单价提高x(元)的一次函 数，.可设y=kx十b :500=0·k+6 解得=二20：.y=500-20x 1480=1·k+b 1b=500. (2)由题意，，每日加工量限制为340≤y≤620，且y=一20x 十500，.0≤x≤8且x为整数.又：销售单价为(25十x)元， .单个利润为(25+x-20)=(x+5)元. ∴.总利润P=(x十5)（一20x+500)=-20x8+400x+2500= -20(x-10)2+4500. ,0≤x≤8且x为整数 .当x=8时，销售单价为25+8=33（元）， 此时销售量为y=一20×8+500=340， 总利润为P=(8十5)×340=4420（元）. 答：销售单价定为33元时，利润最大，最大利润为4420元. 4.解：(1)如答图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO 交⊙O于点P, 设直线DO与⊙O交于点Q,由题意，得 PD=145m,DQ=55m, .PQ=PD-DQ=145-55=90(m), 0A=0p-P0=45m. .风轮叶片OA的长度为45m: (2)如答图，过点B作BE⊥MN,垂足为 M DE N 答图 E,过点O作OF⊥BE,垂足为F,则四边形 ODEF是矩形， .∠DOF=90°，EF=OD. 由题意得∠AOB=120°，∠AOD=14.4°， ∴.∠BOF=∠AOB+∠AOD-∠DOF=44.4°， ..BF=OBsin44.4°≈45×0.70=31.5(m), .OD=PD-OP=145-45=100(m),.EF=OD=100m, ∴.BE=BF+EF=131.5(m), ∴.此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m. 5.解：（任务1）如答图，延长AB交CF于点X,由题意，得 P G B E OM H N 答图 ∠BXC=90°，CF=PQ=80cm,GH=XF, ∠ABC=135°，∴.∠CBX=45°， BC=56 cm,C=5640(cm), √2 .XF=80-40=40(cm),∴.GH=40(cm) 答：合适的椅脚高度GH长40cm: (任务2)该躺椅能满足该校躺睡需求.理由：如答图，延长BA 交DE于点Y,由题意得∠AYD=90°， ,∠DAG=135°，∴.∠DAY=45°， AD-28 cm.A20(cm). √2 .∠CBX=45°，∠BXC=90°，XC≈40cm,.BX=40cm, .AB=45cm,.XY=20+45+40=105(cm)=1.05(m), .每班一列需容纳6位学生躺睡，∴.6×1.05=6.3(m), 638,∴.该躺椅能满足该校躺睡需求