第7课时 一元二次方程及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第7课时一元二次方程及其应用 课前小测 1.(2025春·长沙期末)下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是 A.2x-xy+3y2=0 B.ax2+6x+c=0 C.x2-2=0 04-0 2.(2025·富锦市二模)若关于x的方程(k一2)x2+3x一1=0是一元二次方程，则k的取值范围是 ( A.k≠0 B.k≠2 C.k>2 D.k>0 3.(2025春·莱芜区期末)若x=1是关于x的方程x2一2x一m=0的一个根，则m的值是 ( A.-3 B.1 C.-1 D.3 4.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a= A.1 B.√2-1 C.√2+1 D.1或√2+1 5.(2025·福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长 的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为 x米，根据题意可列方程 A.5.x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 知识梳理 知识点①一元二次方程及其解法 1.概念：只含有一个未知数且未知数的 ,二次项系数不为0的 ,叫作 元二次方程。 2.一般形式： (其中a,b,c为常数，且a≠0). 3.一元二次方程的解法： 解法名称 基本思路 基本步骤 由直接开平方法可得x=士√币，变形后也可直接开平方 形如x2=p(p≥0)、ax2=p(≥0) 直接开 或a(x+m)2=p(≥0)的形式（正 求得x=士 或x=-m士 ;要求被开方数非负， 平方法 a 数有两个平方根). 当9<0时，方程无解。 34 第一部分基础过关 ①化：化二次项系数为1； 将方程转化为(x十m)2=n的形式 ②移：含未知数的项移项到方程左边，常数项移到 (方程左边是关于x的完全平方式， 右边； 右边是常数)，再利用平方根的定义 ③配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平 配方法 求解.当n≥0时，两边直接开平方， 方，把原方程化为 (左边为完全 便可求得方程的根；当n<0时，方程 平方式)的形式； 在实数范围内无解。 ④求：若n≥0，求得方程的根；若n<0,则原方程无 总结：一化二移三配四求. 实数根，即原方程无解. ①化：将一元二次方程化为一般形式：ax2+bx+c= 一般地，对于一元二次方程a.x2十bx十 0(a≠0)； c=0(a≠0)，当△= ≥0 ②定：确定a,b,c的值； 公式法 时，它的根是x= ③判：判断根的判别式的符号，若△≥0，则方程有实 ≥0) 数根；若△<0，则方程无实数根，即原方程无解； 总结：一化二定三判四求 ④求：代入求根公式求解：x 利用“若A·B=0,则A=0或B=0” ①化：将方程的右边化为0； 的性质求方程的根，方程右侧为0，对 ②分：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 因式分 方程左侧能因式分解的先因式分解，变 ③转：令每个因式分别为0，转化为求解 解法 形为形如(x-a)(x一b)=0. 总结：一化二分三转四解. ④解：两个一元一次方程的解就是原方程的解。 【跟踪训练】 1.(2025·中牟县模拟)下列方程是一元二次方程的是 A.x-1=5 Bx+宝3=4 C.2x2-8x=1 D.(x+1)(x-2)=x2 2.(2025春·长沙期末)若x=1是一元二次方程x2-8x十m=0的根，则m的值为 A.6 B.7 C.8 D.9 3.(2025·南山区模拟)方程x2一4=0的根是 ( A.x=2 B.x=4 C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4 4.用配方法解一元二次方程x2一2x一2023=0，将它转化为(x十a)2=b的形式，则a的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 5.(2025春·贵池区期末)解方程：(x十2)2=3(x十2). 35 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识点2一元二次方程根的情况 一般地，对于一个一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，由根的判别式 可掌握其根的 情况如下： 当b2一4ac>0时 方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有 的实数根 当62 -4ac=0时 方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有 的实数根 当b2 4ac<0时 方程a.x2+bx+c=0(a≠0) 实数根 【跟踪训练】 6.(2025·扬州)关于一元二次方程x2一3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 7.(2025·甘肃)关于x的一元二次方程3x2一6.x十m=0有两个实数根，则m的取值范围是( A.m<3 B.m≤3 C.m>3 D,m≥3 8.(2025·广东)不解方程，判断一元二次方程2x2+x一1=0的根的情况是 知识点3一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：若一元二次方程ax2十bx十c=0( )的两根分别为x1和x2,则x1+ x2= ,x1x2= 【跟踪训练】 9.(2025·广西)已知x1,x2是方程x2一20x一25=0的两个实数根，则x1十x2= A.-25 B.-20 C.20 D.25 10.(2025·河北)若一元二次方程x(x十2)一3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n) 在平面直角坐标系中位于 A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D.第四象限 典例探究 考点一元二次方程及其解 例1 (1)(2024·深圳)一元二次方程x2一4x+a=0的一个解为x=1,则a= (2)(2025·罗湖区校级模拟)已知n是一元二次方程x2一5x一3=0的一个根，则n2一5n十 2024的值为 变式1(1)(2021·深圳)已知方程x2+m.x一3=0的一个根是1，则m的值为 (2)(2025·福田区校级一模)已知a是方程x2十2x-2=0的一个根，则代数式(a+1)2的值 为 36 第一部分基础过关 考点2一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例2(2025·福田五校联考)设a,3是一元二次方程x2十2x一1=0的两个根，则a8的值是 变式2(2025·南充)设x1,x2是关于x的方程(x一1)(x-2)=m2的两根. (1)当x1=一1时，求x2及m的值；(2)求证：(x1一1)(x2-1)≤0. 考点3由实际问题抽象出一元二次方程 例3(2025·深圳适应性考试)某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元.调查发现，当销售价为 20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.超市要想使这 种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为 ( ) A.(20-15-x)(50+5x)=220 B.(20-15+x)(50+5x)=220 C.(20-15-x)(50-5.x)=220 D.(20-15+x)(50-5.x)=220 变式3(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公 司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司 6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为 ( A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1-x)2=9100 C.2500(1-2x)2=9100 D.2500(1+2x)2=9100 答题规范 示范题：解关于x的一元二次方程：x2一6x十2=0.(5分) 题模 解：移项，得x2一6.x=2, …1分 配方得x2-6.x十32=-2+32， 与 (x-3)2=7, …3分 评 两边开平方，得x一3=士√7， ……4分 标 移项，得x=3士√7 x1=3+√7，x2=3-√7. …5分 37 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：10分钟正确率：/7】 1.(2025·罗湖区二模)一元二次方程x2=x的根为 A.x1=x2=0 B.x1=x2=1 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=-1 2.(2025·广西)已知x1,x2是方程x2一20x-25=0的两个实数根，则x1十x2= A.-25 B.-20 C.20 D.25 3.(2025·安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 A.x2+1=0 B.x2-2x十1=0 C.x2十x十1=0 D.x2十x-1=0 4.(2025·南山区一模)根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2一4x十2=0的解的取值 范围是 ( x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x2-4x+2 2 0.25 -1.75 -2 -1.75 -1 0.25 2 A.0x<0.5,或3.5<x<4 B.0.5<x<1,或3<x<3.5 C.0.5<x<1,或2<x<2.5 D.0<x<0.5,或3<x<3.5 5.(2025·深圳校级模拟)关于x的一元二次方程x2一2x=m有两个不相等实数根，则m的值可能 是 .(只需写出一个即可) 6.已知方程x2一2x十k=0的一个根为一2，则方程的另一个根为。 7.解方程： 1分+x=(配方法： 1 (2)2x2-7x+6=0(公式法). (二)能力提升 【建议用时：8分钟正确率：/5】 8.(2025·南山区二模)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx十(a一c)=0有两个相等的实数 根，则对于以a,b,c为边长的三角形说法正确的是 A.三角形是锐角三角形 B.三角形是钝角三角形 C.边长c所对的角是90 D.边长a所对的角是90° 38 第一部分基础过关 9.(2025·广州模拟)对于字母m、n,定义新运算m☆n=mn一m一n,若方程x2十3x十1=0的解为 a、b,则a☆b+2的值为 10.(2025·罗湖区二模)已知方程x2-2x一8=0的两根为a、3,则a2+β2 11.(2025·龙岗区模拟)茗茗同学在解关于x的方程ax2一6x一15=0时，过程如下： 第一步：a=a,b=-6,c=-15, 第二步：△=(-6)2-4×a×(-15)=36+60a 第三步：当A≥0（即a≥-）时x,-6+V86+60 ,x,=6-V36+60 ,当△<0时方程无解。 2a 2a 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是 12.(2025·罗湖校级模拟)学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为 72m(观众席不一定要占满球场宽度)，其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观 众席，并在观众席内按行、列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1（如图所示），且观众席 内的区域恰好都安排了座位. (1)若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值； (2)若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由， 舞台 ,72m 第1行 第2行m- 足球场 … 第1列第2列 (三)命题新方向 13.(2025·深圳校级模拟)小海在用公式法解方程2x2一4x=5时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程：2x2-4x=5. 解：.a=2,b=-4,c=5,(第一步) .b2-4ac=(-4)2-4X2X5=-24<0,(第二步) ∴.原方程无实数根（第三步) 小海的解答过程从第 步开始出错的，其错误的原因是 尝试·反思 1.为什么要学习这么多解一元二次方程的方法？有“万能”公式就够了？ 2请你提出一个你生活中能用一元二次方程解决的实际问题. 39知识梳理 知识点1分母中 知识点21.整式方程2.(1)去分母(3)最简公分母为零 增根 跟踪训练 1.②③2.A3.D4.C 15 5.解：(1)去分母，得x2-25-x-5=x2-5x,解得x=2, 检验：当x=号时，+5x-50≠0， 所以工-只是分式方程的解， (2)解：去分母，得3x十3一2x十2=1，解得x=一4， 检验：当x=一4时，x2一1≠0， 所以x=一4是分式方程的解， 典例探究 例1D变式1-1例2(1)-1(2)C变式26 例3A变式3D 课堂检测 B2.D3.D4②®⑤①05.-1690=100 7.解：(1)原方程去分母得3x=2(x十1)，解得x=2, 检验：当x=2时，x(x十1)≠0， 故原方程的解为x=2. (2)解：方程两边同乘(x一2)(x一1)， 得(x-3)(x-1)-2=2(x-2),解得x=1或5， 检验：当x-1时，(x-2)(x-1)-0,为增根， 当x=5时，(x一2)(x一1)≠0，.原方程的解为x=5 8.C9.x=5 10.解：(1)由题意，得2x2-2=0且x十1≠0，y2+4y+4=0, .2(x-1)(x+1)=0且x+1≠0，(y+2)2=0, 解得x=1,y=-2,则x十y=1十(-2)=-1. (2)解分式方程得x=m-g' 3 方程的解为整数，且x≠士1，m为整数， 3。=±3，心m9=土1，解得m=10或m=8 11.解：(1)设一扎小维菊的价格是x元，则一扎玫瑰的价格是 任中5)元根据题意，得0-0解得x=15】 经检验，x=15是所列分式方程的解且符合题意，15十5=20（元）. 答：一扎小雏菊的价格是15元，一扎玫瑰的价格是20元. 2y=2x-6 (2)根据题意，得10+(11一8)a=16,解得a=2, 当x>8时，配送费y(元)与鲜花数量x(扎)之间的函数关系 式为y=10十2(x一8)=2x一6.故答案为2，y=2x-6. (3)①设购买小雏菊m扎，则购进玫瑰(18一m)扎.根据题意， 得18-m≥13， 解得3≤m5, 18-m≤5m, 设此次购花的费用为W元， 则W=15m+20(18-m)=-5m+360, :-5<0,.W随m的增大而减小， ,3≤m≤5，.当m=5时W值最小， W最小=-5×5十360=335. 答：此次购花的费用最少需要335元， 参考答案 24②若一次性配送：当x=18时，y=2×18-6=30, 若分两次配送：一次配送8扎，另一次配送10扎，则配送费为 10+2×10-6=24(元)， 30>24,∴.此次配送费最少需要24元.故答案为24. 12.解：小李的解法中，第一步是去分母；去分母的依据是等式的 基本性质； 小李的解答过程不正确：正确的解答过程： 1-x 1一2 x-22- 去分，x-2》=2-2》-2x-2》, 整理，得1一x=一1-2x十4， 移项并合并，得x=2. 检验：当x=2时，x一2=0..原分式方程无解 13解：当x=3时，分式方程去分母， 得(3-2x)一(2+m.x)=3-x, 由分式方程无解得到x一3=0，即x=3, 代人整式方程得3(m十1)=-2，即m=-号 当x-3≠0时，原式可化为x=一m十' 2 原方程无解，.m十1=0，即m=一1. 综上所述，m=-号或m=-1,故第三步错误 第7课时一元二次方程及其应用 课前小测 1.C2.B3.C4.C5.C 知识梳理 知识点11.最高次数是2整式方程2.a.x2十bx十c=0 3.③(x十m)2=nb2-4ac -b±V6-4ac62-4ac 2a ④-6±v63-4ac ③两个一元一次方程 2a 知识点2△=b2-4ac两个不相等两个相等没有 知识点3a≠0，△>0-b,C aa 跟踪训练 1.C2.B3.C4.D 5.解：移项，得(x十2)2-3(x+2)=0, (x+2)(x+2-3)=0,(x+2)(x-1)=0, x十2=0或x一1=0，解得x1=一2，x2=1. 6.A7.B8.方程有两个不相等的实数根9.C10.C 典例探究 例1(1)3(2)2027变式1(1)2(2)3例2-1 变式2解：(1)把x1=一1代人方程(x一1)(x-2)=m2, 得m2=6, ∴.m=士√6.∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. (x-4)(x+1)=0..x1=-1,x2=4.xg=4,m=士6. (2)方程(x一1)(x-2)=m2可化为x2-3x十2-m2=0. △=9-4(2-m2)-4m2+1>0, .方程有两个不相等的实数根 ,方程(x-1)(x-2)=m2即x2-3x+2-m2=0的两根为 x1、x2 x1十x2=3,x1·x2=2-m2..(x1-1)(x2-1)=x1 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） x2-(x1十x2)+1=2-m2-3+1=-m3, m2≥0，∴.-m2≤0，即(x1一1)(x2一1)≤0 例3A变式3A 课堂检测 1.C2.C3.D4.B5.0(答案不唯一)6.4 7.解：(1)x2+2x=3, x2+2x+1-3+1,(x+1)2-4,x--1±2， .x1=1,x2=-3. (2)解：.a=2,b=-7,c=6, .△=(-7)2-4×2×6=49-48=1， “x=-6±V6-4ae_7士1 3 2a -2X2心x1=2,1=2 8.D9.610.20 11.a可以为0当a-0时，方程化为一6x一15-0，解得x- 、65 -2 12.解：(1)移动围栏的总长为140m,且观众席内有x行座椅， .每行的座椅数为(140一2x)个. 140-2x≤72，.x≥34，∴.x的最小值为34. (2)座位够坐，理由如下： 依题意，得x(140-2x)=2400, 整理，得x2一70x+1200=0,解得x1=30(不符合题意，舍 去)，x2=40, ,若全校师生共2400人，那么座位够坐 13.一原方程没有化成一般形式 第8课时不等式与不等式组及解法 课前小测 1.D2.A3.A4.A5.x≥-3 知识梳理 知识点11.“<”（或“≤”），“>”（或“≥”） 2.不等式成立所有解3.不变a士c>b士c正数 0a>⑧名发生改变 ①acbe②b 知识点21.一个12.(1)最小公倍数(2)特别提醒：变号 (3)左特别提醒：变号(5)系数3.向左实心圆点 知识点31.一元一次不等式2.公共部分3.(3)公共部分 4.x≥bx≤aa≤x≤b无解 跟踪训练 1.A2.C3.A4.C5.x-5<0(答案不唯一) 6.1(答案不唯一)7.B8.C 典例探究 例1C变式1A 例2x≥-1x<4一1≤x<4解：在数轴上表示如答图. -5-4-3-2-1012345 答图 变式2(1)D(2)x≤1x≥-2(3)-2≤x≤1 解：(2)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如答图 上 -4-3-2-101234 答图 例3x=3变式3-2≤a<-1例4B变式4C 课堂检测 1.B2.D3.C4.C5.-26.a>2 7.解：(1)去分母，得3(3x-1)≤2(2x十1)， 去括号，得9x-3≤4x十2，移项，得9x-4x≤2十3， 合并同类项，得5x≤5，化系数为1，得x≤1， ∴，该不等式的解集为x≤1，数轴表示如答图所示. ，。，。，。。 -4-3-2-1012345 答图 (2)解：解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x>一3， 不等式组的解集为一3<x≤1. ∴.不等式组的负整数解有一2，一1. 8-25x<49-}<a<010m<3 11.解：(1)-1<x<3 (2)原不等式可化为①任+>0'或@：+40， 11-x<0 1-x>0, 解①得x>1,解②得x<-4, .原不等式的解集为x<一4或x>1. 12.解：(1)①一2<x<2②x<-5或x>5 (2)|x+2|+1≥5，|x+2≥4，.x+2≤-4或x+2≥4， .x≤一6或x≥2. (3)-3.5≤x≤2.5 13.解：（任务1）设“红粉”西红柿的进价是x元，则“有机”西红柿 的进价是1.5x元，根据题意，得 300300 x1.5.x =20,解得x=5,经检验，x=5是所列方程的解， 且符合题意，.1.5x=1.5×5=7.5(元). 答：“有机”西红柿的进价是7.5元，“红粉”西红柿的进价是 5元. (任务2)设“有机”西红柿的标价（白天的售价）是y元，根据 题意，得20y+2×0.9y+2×0.8y+2×0.7y+2×0.6y+2× 0.5y-7.5×30≥7.5×30×20%， 解得y≥10，∴.y的最小值为10. 答：“有机”西红柿的标价（白天的售价）最低价是10元. (任务3)10×0.8=8（元），10×0.7=7（元），8>7.5>7， ∴.20：00之前全部售出，获得的利润最大， ∴.20+2十2=24（千克）. 答：每天购进24千克“有机”西红柿时利润最大。 第9课时方程（组）与不等式（组）的应用 课前小测 1.D2.B3.A4.A5.C 知识梳理 知识点32.(1)a(1-x)=b(4)(a-2x)(b-2x)(a-x) (b一x) 知识点41.(3)找不等关系2.(1)>(2)<(3)≤(4)≥ 跟踪训练 1.A2.B3.B4.C5.B6.C7.A8.D9.A 典例探究 例1解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条 件①②： 根据题意，得十y十30=140，解得=60， 2y-x=40, y=50, 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元. (2)540 变式1 (5x-11=7y, {7x-25=5y.