第6课时 分式方程及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识梳理 知识点11.B≠0A=0且B≠0 跟踪训练 1.x≠-32.x-23. 5 4.B 典例探究 例12变式1 一 y 例2解：(1)②③ x(x-3) x+3.-9 (2)小深：原式-[z十3(x-3)十(x+3)x一3D] x x-3十x十3=2x, 或者小圳：原式3·9+工·9三x一3+x士 x十x-3 x 3=2x. 变式2解：(1)原式= [+a]×a a-1_1 1 a+。当a=0时，原式=0-1--1 2。号 课堂检测 1.解：a十b-3=0,a十b=3, “原式=4a-46+86_4(a十6)_4 4 (a+b)2 (a+b)3a+b-3 2.解：原式= +1）a少- a a(a+1)2-a+11 1 1√5 当a=5-1时，原式= 5-1+1551 3.B 1 4.解：原式=(a+1)(a-) .(a-1)2 +1 =4-1 a(a+1)+ a+1 2a 2 a(a+1)a(a+1)a+11 当a=2in60°1=2×%1=3-1时， 2223 原式=5-1+1后3 5.解：(1)完全平方 （2)由-2万定知x0,则+1-2x-1+1 1 :牛+1=2+1+=(+2”-2+1=3-1=8， 1 小x+x+18 6.解：任务一：二通分的时候分子和分母没有同时乘(a一1) a+2 a-1 3 1 (a+1)(a-1) · 6a+a-D·- 6=2(a+1 1 =2a十2 任务三：由题意，得a2-1≠0，a≠士1，当-3<a≤1且a为 整数时，a=一2或a=0, 1 1 ①当a=-2时，原式=2X(-2)+2=-2: ②当a=0时，原式=2×0+2-2 11 第二章方程（组）与不等式（组） 第5课时一元一次方程（组）及其应用 课前小测 1.D2.D3.C4.B5.B 知识梳理 知识点1相等a士c=b士c不为0ac=bc日=b cc 知识点21.方程一个整式都是1一元一次方程 2.左、右两边的值相等解方程 4.(1)最小公倍数(2)特别提醒：变号(3)左特别提醒：变号 (5)系数 知识点31.(1)两个都是1(2)未知数 2.(1)两个相同未知数(2)公共解3.消元 知识点41.三个三个2.消元转化一元一次 跟踪训练 1.D2.23.A4.A5.D6.1.27.-2 8.解：①-②，得4y=4,解得y=1. 将y=1代人①，解得x=3.则原方程组的解为下=3， y=1. /x=4, 9.{y=2, z=1. 典例探究 例1B变式1C例2A变式23(x-2)=2x+9 3 例3(1)4(2)A变式3(1)？(2)A 课堂检测 1.A2.A3.4(x-3)=3x+84.4 5.解：(1)去分母，得3(x-1)+2(2x+1)=6, 去括号，得3x-3+4x十2=6， 移项，合并同类项，得7x=7, 系数化为1，得x=1. (2)解：①×3，得3x+6y=3③， ③-②，得2y=-4,解得y=一2， 把y=一2代入①，得x=5,所以方程组的解是=5， {y=-2. 6.C7.38.-20159.6 10.解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条AD的长 度为(5x-10)cm,BC=。(5z-10)cm,AB=CD=x,头部 高为xcm,尾部高为2xcm,这只风筝的骨架的总高为 m,由AD=AB+BC+CD,可得5z-10=zx+8 10)+x,解得x=20: 所以这只风筝的骨架的总高4x=80(cm). 答：这只风筝的骨架的总高80cm. 第6课时分式方程及其应用 课前小测 1.D2.A3.B4.D5.B 知识梳理 知识点1分母中 知识点21.整式方程2.(1)去分母(3)最简公分母为零 增根 跟踪训练 1.②③2.A3.D4.C 15 5.解：(1)去分母，得x2-25-x-5=x2-5x,解得x=2, 检验：当x=号时，+5x-50≠0， 所以工-只是分式方程的解， (2)解：去分母，得3x十3一2x十2=1，解得x=一4， 检验：当x=一4时，x2一1≠0， 所以x=一4是分式方程的解， 典例探究 例1D变式1-1例2(1)-1(2)C变式26 例3A变式3D 课堂检测 B2.D3.D4②®⑤①05.-1690=100 7.解：(1)原方程去分母得3x=2(x十1)，解得x=2, 检验：当x=2时，x(x十1)≠0， 故原方程的解为x=2. (2)解：方程两边同乘(x一2)(x一1)， 得(x-3)(x-1)-2=2(x-2),解得x=1或5， 检验：当x-1时，(x-2)(x-1)-0,为增根， 当x=5时，(x一2)(x一1)≠0，.原方程的解为x=5 8.C9.x=5 10.解：(1)由题意，得2x2-2=0且x十1≠0，y2+4y+4=0, .2(x-1)(x+1)=0且x+1≠0，(y+2)2=0, 解得x=1,y=-2,则x十y=1十(-2)=-1. (2)解分式方程得x=m-g' 3 方程的解为整数，且x≠士1，m为整数， 3。=±3，心m9=土1，解得m=10或m=8 11.解：(1)设一扎小维菊的价格是x元，则一扎玫瑰的价格是 任中5)元根据题意，得0-0解得x=15】 经检验，x=15是所列分式方程的解且符合题意，15十5=20（元）. 答：一扎小雏菊的价格是15元，一扎玫瑰的价格是20元. 2y=2x-6 (2)根据题意，得10+(11一8)a=16,解得a=2, 当x>8时，配送费y(元)与鲜花数量x(扎)之间的函数关系 式为y=10十2(x一8)=2x一6.故答案为2，y=2x-6. (3)①设购买小雏菊m扎，则购进玫瑰(18一m)扎.根据题意， 得18-m≥13， 解得3≤m5, 18-m≤5m, 设此次购花的费用为W元， 则W=15m+20(18-m)=-5m+360, :-5<0,.W随m的增大而减小， ,3≤m≤5，.当m=5时W值最小， W最小=-5×5十360=335. 答：此次购花的费用最少需要335元， 参考答案 24②若一次性配送：当x=18时，y=2×18-6=30, 若分两次配送：一次配送8扎，另一次配送10扎，则配送费为 10+2×10-6=24(元)， 30>24,∴.此次配送费最少需要24元.故答案为24. 12.解：小李的解法中，第一步是去分母；去分母的依据是等式的 基本性质； 小李的解答过程不正确：正确的解答过程： 1-x 1一2 x-22- 去分，x-2》=2-2》-2x-2》, 整理，得1一x=一1-2x十4， 移项并合并，得x=2. 检验：当x=2时，x一2=0..原分式方程无解 13解：当x=3时，分式方程去分母， 得(3-2x)一(2+m.x)=3-x, 由分式方程无解得到x一3=0，即x=3, 代人整式方程得3(m十1)=-2，即m=-号 当x-3≠0时，原式可化为x=一m十' 2 原方程无解，.m十1=0，即m=一1. 综上所述，m=-号或m=-1,故第三步错误 第7课时一元二次方程及其应用 课前小测 1.C2.B3.C4.C5.C 知识梳理 知识点11.最高次数是2整式方程2.a.x2十bx十c=0 3.③(x十m)2=nb2-4ac -b±V6-4ac62-4ac 2a ④-6±v63-4ac ③两个一元一次方程 2a 知识点2△=b2-4ac两个不相等两个相等没有 知识点3a≠0，△>0-b,C aa 跟踪训练 1.C2.B3.C4.D 5.解：移项，得(x十2)2-3(x+2)=0, (x+2)(x+2-3)=0,(x+2)(x-1)=0, x十2=0或x一1=0，解得x1=一2，x2=1. 6.A7.B8.方程有两个不相等的实数根9.C10.C 典例探究 例1(1)3(2)2027变式1(1)2(2)3例2-1 变式2解：(1)把x1=一1代人方程(x一1)(x-2)=m2, 得m2=6, ∴.m=士√6.∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0. (x-4)(x+1)=0..x1=-1,x2=4.xg=4,m=士6. (2)方程(x一1)(x-2)=m2可化为x2-3x十2-m2=0. △=9-4(2-m2)-4m2+1>0, .方程有两个不相等的实数根 ,方程(x-1)(x-2)=m2即x2-3x+2-m2=0的两根为 x1、x2 x1十x2=3,x1·x2=2-m2..(x1-1)(x2-1)=x1第一部分基础过关 第6课时分式方程及其应用 课前小测 1.(2025春·滕州市校级月考)下列关于x的方程是分式方程的是 3十x=1一 A x+1 B.5千 =2十x 5一x=1 3 元 D2 2.(2025·湖南)将分式方程1-2 xx+ ，去分母后得到的整式方程为 A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x十1) 1 ®(2025本·顺德区期末)分式方程号，一 的增根是 A.-1 B.1 C.±1 D.2 4方程2 3 =3的解是 x-3 x A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 5.(2025·坪山区二模)在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计 划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同.设小明每天 原计划读的页数为x页，则所列方程正确的是 ) 160100 160100 100 A. 160 100 160 B. D. x-30x x+30 C x x+30 x-30 知识梳理 知识点I分式方程的概念 含有未知数的方程叫作分式方程. 【跟踪训练】 1有下列方程02x+号-10，②x-2,®23：0 2xx一1」 =0,其中属于分式方程的有 2 (填序号) 知识点2分式方程的解法 1解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 2解分式方程的一般步骤： (1) ,在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入 ,看结果是否为零.使最简公分母 的根是原 方程的 必须舍去 (4)写出原分式方程的根.概括：一化、二解、三检验. 27 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 3.分式方程增根与无解的区分：分式方程的增根与无解并非同一概念。 (1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使原分式方程分母为0的根； (2)分式方程无解的原因有两个： ①去分母后的整式方程无解；②整式方程的解使最简公分母为0，即为增根 【跟踪训练】 2(②025春，南山区期未)若分式十号的值为0，则e的值是 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2025·汉龙江一模)若分式方程，g十3 3 =2无解，则a的值是 A.3或2 B.1 C.1或3 D.1或2 4,(2025春·合肥校级期未)数学课上，李老师在黑板上写了关于x的分式方程”5=1，让同学们时 论该分式方程的解.A同学说：当m<一5时，方程的解为负数；B同学说：当>一5时，方程的解 为正数关于两位同学的说法，正确的是 A.A,B同学都答对 B.A,B同学都答错 C.只有A同学答对 D.只有B同学答对 5.解方程： 2 1 (1)1- x-5x十5 (2)3 x-1x+1x2-11 典例探究 考点工分式方程的解 例1(2025·龙沙区二模)若关于x的分式方程3x =2- x-1 一有增根，则m的值是 A.-1 B.3 C.1 D.-3 变式1 (2025·凉山州)若关于工的分式方程+0十，】=3无解，则m x-2 2-x 28 第一部分基础过关 考点②解分式方程 例2(1)(2025·甘肃)方程 2x -1 =1的解是x= 22025·临平区模拟对于实数a,6,定义一种新运算“女”为：0☆6三26，例如：1☆3三 1+3 1-1×3 =一2，则方程(-2)☆x=1的解是 A.x=1 B.x=3 C.x=-3 D.x=-1 变式2（8025·南商区三提)定义-形新运算0欢6=6生。”6者m☆2=0，则m 考点③由实际问题抽象出分式方程 例3(2025·深圳)某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比 原计划少了3棵若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是 ( A.6060 B.50_60=3 c.60=2×60 D.60=2X60 x 2x 3 2x x x+3 x-3 变式3(2025·宝安区期末)粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥 等.一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55km),若货车的平均速度提高 10km/h,则通行时间可减少0.1h.设货车原来的平均速度为xkm/h,则可列方程为（) 55,55 5555 A.- B x-10x =0.1 x+10 x 二01 c.5 55 5555 =0.1 D =0.1 ”xx+10 x+10 答题规范 3 3x 示范题：解分式方程： x7=5+ 1-x (6分) 解：去分母得，3=5(x一1)一3x,……1分 去括号得，3=5x-5-3x, 答 题 移项，合并同类项得，一2x=一8， …3分 系数化为1，得x=4,… …5分 与 检验：当x=4时，x-1=4-1=3≠0， 则原分式方程的解为x=4. 6分 标 29 0 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：8分钟正确率：/7】 1.2025·京口区潮未)解分式方程，十2=时，去分母变形正确的是 ( A.1+2=3x(1-x) B.1+2(x-1)=-3xC.x-1+2=-3x D.1+2(x-1)=3x 2.(2025·淮北期末)已知关于x的方程 ”2一1=0的解是非负数，则a的取值范周是 ( A.a≤-2 B.a≤-2且a≠-4 C.a≥-2 .a≥-2且a≠0 3在分式为整十25中，设21-)调得到关于)的整式方程为 x2 A.y2+5y+5=0 B.y2-5y+5=0 C.y2+5y+1=0 D.y2-5y+1=0 4在关于x的方程：@时号共，®号普=0：@-1号，@”-品®时+号-号a为 x 常数)中，整式方程有 ,分式方程有 (填序号) 5.关于x的分式方程十”十，1=3有增根，则m= x-22-x 6.(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯 电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每 百公里的耗电费设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 7.解方程： (1)(2025·兰州) 32 (2)(2025·上海)工-3 2 2 x+1x x-2x2-3x+2x-1 30 第一部分 基础过关 (二)能九提升 【建议用时：8分钟正确率：/5】 8.(2025·宝安校级三模)记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■.”其 大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收人896文 ■.”设绫布有x尺，则可得方程为120 896 896,根据此情境，题中“☐_”表示缺失的 30-x 条件，下列可以作为补充条件的是 ( A.每尺绫布比每尺罗布贵120文 B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D.绫布的总价比罗布总价便宜120文 9.对于实数a,b,定义一种新运算“&”为：a⑧b= 。26这里等式右边是通常的实数运算.例如：1⑧4 -号则方程：⊙1=一1的解是 10.2025套·成运是核级期中)1)若分式2十的值为0，分式，3 y千4十4无意义，求x十y的值， 3,6 mx (2)已知关于x的方程： 十1十x一1（红+1）（一若方程的解为整数，求整数m的值. 11.(2025春·南山区期末)荷兰花卉小镇是郦城市民休闲娱乐、赏花购花的生态休闲区，小镇某花店 现推出小雏菊和玫瑰两种特价鲜花，一扎玫瑰比一扎小雏菊多5元，甲公司现场购买小雏菊花费 300元，购买玫瑰花费400元，且两种鲜花扎数相等.请解决以下问题： (1)一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格各是多少元？ (2)如图1，该店现有区内配送服务，结合图2信息可得a= ;当鲜花数量超过8扎时，一次性 配送，配送费y(元)与鲜花数量x(扎)之间的函数关系式为 ； (3)区内乙公司计划购买小雏菊和玫瑰两种鲜花共18扎，若购进玫瑰的数量不低于13扎，且不超 过小雏菊数量的5倍 31 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） ①此次购花的费用最少需要多少元？ ②现公司需要配送服务，则此次配送费最少需要 元 公告 商品费用 亲爱的顾客： 【特价鲜花】玫瑰 本店设有区内配送服务：当 鲜花数量不超过8扎时，需要配送 11扎 …元 费10元；当鲜花数量超过8扎时， 用户配送费 16元 超过部分另收a元/扎。 合计 …元 图1 图2 12(2025·广东)在解分式方程名2,2时，小车的解法如下： 第-专x-2》-2x-2》-2 1 第二步：1-x=-1-2, 第三步：-x=一1-2-1， 第四步：x=4. 第五步：检验：当x=4时，x一2≠0. 第六步：.原分式方程的解为x=4. 32 第一部分基础过关 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确若不正确， 请写出你的解答过程. (三)命题新方向 13.(2025·罗湖区校级楼拟)已知关于x的方程3-2+2，+mx=-1无解，求m的值.浩浩求m的 x-33-x 值的过程如下： 解：方程两边同乘(x-3),得(3一2x)一(2十mx)=3-x,第一步 整理，得(m十1)x=一2，第二步 当x=3时，原方程无解，此时，(m十1)X3=一2，m=-5 3,因此m三3. 第三步 你认为浩浩的解题过程是从第几步开始出错的，请你指出来并改正. 尝试·反思 1.分式方程的增根从何而来？ 2学习方程的基本思路是什么？ 33