专题6 几何法求最值问题-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 专题六 几何法求最值问题 分类探究 类型一 线段和差最值问题 例1(2025·绥化)如图，在菱形ABCD中，AB=4,对角线BD=4√3，点P是边CD的中点， 点M是对角线BD上的一个动点，连接PM,CM,则PM+CM的最小值是 D B A E 例1题图 变式1题图 变式2题图 变式3题图 变式1(2025·安微)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3,AD=1, 点E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接FB,FC,EC,则下列 结论错误的是 ( A.EC-ED的最大值是2√5 B.FB的最小值是√/10 C.EC+ED的最小值是4√2 D.FC的最大值是√13 变式2(2025·连云港)如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点，四边 形DAEF为平行四边形，则BE十BF的最小值为 变式3(2025·东营)如图，在△ABC中，AB=6,∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点 D,M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 名师点拨： 一、两定一动型 作端点关于折点所在直线的对称点，化折线段为直线段 B “将军饮马”模型：当，点A,B在直线m同侧，在直线m上取点P,使PA十PB最小. 取A关于直线m的对称，点A',连接A'B,并与直线m交于点P,则PA十PB最 小，点P就是将军饮马的地，点 二、一定两动型 1.定点A在直线n上，点B,C分别是直线m和直线 2.已知点A位于直线m,n的 n上的动，点，找，点B,C使得BA十BC最短， 内侧，在直线m,n上分别求 A A 点P,Q使得PA+PQ+ m QA最短. A 名师点拨：作点A关于直线n 名师点拨：作点A关于直线m的对称点A',过A' 的对称点A'和关于直线m的对称点A”,连接 作A'C⊥直线n交直线m于点B,则BA十BC A'A",分别交直线n,m于点Q,P,连接AQ, 最短 AP,则PA十PQ十QA最短. 280 第二部分 专题突破 三、两动两定型 1.已知，点A,B位于直线m,n的内侧，在直线n, 2.己知两定点A,B,在直线m上有两动点P, m分别上求点D,E点，使得围成的四边形 Q,且PQ=a,分别找两动点P,Q,使AP十PQ ADEB周长最短. 十QB十AB最小，(PQ是滑动定值线段) 名师点拨：过A,点作AE∥n,且AE=PQ,作点 名师点拨：作点A关于直线n的对称点A',作点 B关于直线m的对称点B',连接A'B',分别交直 B关于直线m的对称点B',连接B'E交直线n 线n,m于点D,E,连接AD,BE,则四边形 于Q,点Q向左平移PQ长，即为P点，此时P, Q即为所求的，点. ADEB周长最短. 3.已知两定，点A,B及直线m,n,且m∥n,CD⊥m,确定点C,D的位置，使AD十DC 十BC最小. D -m 名师点拔：过A作AE⊥m,且AE等于两平行直线m,n间的距离，连接BE交直线n C 于点C,作CD⊥m于D,连接AD,则AD十DC+BC最小. 四、已知两定点A,B,在一条直线m上找一动点P,使|PA一PB|最大 2.点A,B在直线m异侧： 1.点A,B在直线m同侧： B-1 1-pm m B 名师点拨：延长AB交直线m于点P,|PA一 名师点拔：过B作关于直线m的对称点B',连 PB最大，值为AB,因此，点P为所求的点 接AB'交直线m于点P,此时|PA一PB|最大， 值为AB' 类型二 隐圆与最值问题 一、圆的定义求最值 例1如图，点P是⊙O外一定点，PO=d,⊙O的半径是r,过P作直线交 ⊙O于点A和点B,则点P和圆上各点的距离中， 最短， A 最长 变式1(2025·黄冈模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB 边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△B'EF,连 B 接B'D,则BD的最小值是 281 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 二、定弦定角 例2(2025·翠屏区校级三模)如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC,CA上两个动点， 且BE=CF,连接AE,BF,交点为P,则CP的最小值为 名师点拨： 1如图，动，点P与定线段AB组成的三角形中，定线段AB所对的∠APB是定值，则动点P的运动 轨迹是以AB为弦，∠APB为圆周角的圆，也就是△APB的外接圆.圆心O在线段AB的垂直平分 线上，且OA=OB=OP.当∠APB=90时，该图的圆心0为线段AB的中点，半径，=2AB。 1 2.∠P度数也是特殊角，如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆. D 309 15o A 609 20° Os O 60 909 120ò B 若∠P=30°，以连接 若∠P=45°，以AB连接 若∠P=60°，以连接AB为 若∠P=120°，以连接AB AB为边，同侧构造 为斜边，同侧构造等腰直 底，同侧构造顶角为120°的 为底，异侧为边构造顶角 等边三角形AOB,O 角三角形AOB,O即为 等腰三角形AOB,O即为 为120°的等腰三角形 即为圆心 圆心 圆心， AOB,O即为圆心 三、隐圆十将军饮马 例3(2025·武汉模拟)如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE,过 点A作AF⊥BE于点F,点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 282.DG⊥BC,.∠CDG=∠BDG=∠DCE=90°， :∠ACB=45°，∠CGD=∠ACB=45,∴.DG=DC, '.△BDG≌△ECD(SAS),.∠BGD=∠EDC,BG=DE, :点H是BG的中点，∠BDG=90,∴DH=HG=2BG, .∠HDG=∠HGD,∴.∠HDG=∠EDC, ∴.∠HDG+∠GDE=∠EDC十∠GDE, 即∠HDF=∠GDC=90°， :点F是DE的中点，∠DCE=90,DF=CF=2DE, ..DH=DF, .△HDF是等腰直角三角形，∴.HF=√2DF=√2CF, 即HF-√2CF. 4.(1)证明：将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点 D落在边AB上， ∴AC-CD.CB-CE,∠ACD-∠BCES-80 .△BCE∽△ACD. (2)解：.BC=2,AC=1,∠ACB=90°， ∴.AC=CD=1,AB-AC2+BC2-√22+12=√5， BC tan∠A=AC-2, 如答图，过D作DH⊥AC, ∴tm∠A-R沿-2DH-2an. 在△CDH中CH2+DH2=CD2, 即(1-AH)2+(2AH)2=1, 解得AH=号，AH=0(会去)， 答 DH=5' 4 在△ADH中AH2+DH2=AD2, AD=√AH+(2AH-5AH=25 5 △BCEO△Ac,小6-C即E-片BE- 25 5 5 (3)证明：设旋转角为a,则∠ACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE, ÷∠cDA=∠A-18020-=90-2, 2 ∠CEB=∠CBE=1s02&=90°2a, :∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∠DCB=90°-a, ∴∠ECF=90°-a,∴∠DCB=∠ECF, GF∥AB,.∠F+∠A=180°，.∠CDA+∠CDB=180°， ∠CDA=∠A,∴.∠CDB=∠F, '∠DCB=∠ECF,∠CDB=∠F,CB=CE, ∴.△BCD≌△ECF(AAS),∴.CD=CF, .CD=AC,..AC=CF. 5.解：(1).正方形ABCD,.∠OAB=∠DAC=45°， AD=20A,“旋转角为45k-AR-2 故答案为45°；√2； (2)根据题意，得△AEF∽△AOB, AF AE ∠EAF=∠OAB,AB=AO' 3 参考答案 AFAB ∠FAB=∠EAO,AE-A0△AFBO△AEO, 器品 ∠0A8=45∠08=0小8-，8器8， (3) OE的值与a无关，理由如下，如答图， BF AB 同理可证△AFB∽△AEO,OE一AO, ,菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴.∠ABO=30°， “O是AB的垂直平分线与BD的交点， G 答图 ∴.AO=BO, ∴.∠BAO=∠ABO=30°， 过点O作OG⊥AB于点G, =c0830°=3 ∴AB=2BG,cos∠AB0=86-68=c0 2 小识5小配沿-何，8能的位与0无关 BF 专题六几何法求最值问题 分类探究 类型一线段和差最值问题 例12W3变式1A变式2V√13变式33 类型二隐圆与最值问题 例1PA=d-r,PB=d+r变式12√I0-2 例225例32V丽-2 3 专题七方程、函数及不等式的实际应用 分类探究 例1解：(1)设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件 的进价为aD元由愿意，每20-鹘×2，架得：=10 经检验，a=10是所列方程的解，且符合题意，a一1=9， 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为 9元； (2)0由题意，得600-工≥390”解得120≤≤210， 600-x≤4x, .购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为 整数； ②设采购A种饰品x件时的总利润为0元， 当120≤x≤150时，w=15X600-10x-9(600-x)=-x+3600, 一1<0，.w随x的增大而诚小， ∴.当x=120时，w有最大值是：一120十3600=3480， 当150<x≤210时，w=15×600-[10×150+10×60%(x 150)]-9(600-x)=3.x+3000, 3>0,∴.心随x的增大而增大， .当x=210时，w有最大值是：3×210+3000=3630， 3630>3480,.0的最大值是3630，此时600一x=600一 210=390. 答：当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大， 最大利润为3630元. 变式1解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是(x十 20元，根格题意，得0-20部得一80，