专题8 最值问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

新课标中考宝典·数学（广东专用版） 专题八 最值问题 模型一最值问题之将军饮马 写模型分析 例题精讲 ★1.（基本模型） 例1如图，正方形ABCD的边长为 如图1，在直线上找一点P,使得PA+PB最小 6,顶点坐标为A(0,0),B(6, 0),C(6,6),D(0,6).点M 是AD边的中点，点P是AB 边上的动点，点Q是BC边上 的动点.则PM+PQ的最小值 如图2，作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所 为 以PA+PB=PA'+PB. A端点 B P折点 A A.6 B.35 图2 图3 如图3，当A',P,B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时PA+ C.9 D.62 PB最小（两点之间线段最短） ★2.（两定一动之点点） 例2 如图，在∠AOB中，OA=OB= 如图，点P为∠AOB内部一点，在OA,OB上分别取点M, 8,∠A0B=60°，点C是OB边 N,使得△PMN周长最小. 上的定点，且0C=3.点P是 OA边上的动点，点Q是射线 OB上的动点(Q不与0重 合).则PC+PQ的最小 此处M,N均为折点，分别作点P关于OA(折点M所在直 值为 线)，OB(折点N所在直线)的对称点P',P,化PM+MN+ NP为P'M+MW+NP",当P',M,N,P"共线时，△PMN周长 最小 人60° B 198 第二部分 专题突破 ★3.（一定两动之点线) 例3如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=4, BC=3,点P为AC B 边上的动点，过点 P作PD⊥AB于点D,则PB+ 如图，点P为∠AOB内部一点，在OA,OB上分别取点M, PD的最小值为 ( N,使得PM+MN最小 15 24 .4 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P',将PM+ 20 MN转化为P'M+MN,即过点P'作OB的垂线分别交OA, C.5 0.3 OB于点M,N,连接PM,得PM+MW的最小值（点与直线 上所有点的连线中，垂线段最短) 写举一反三 1.如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是 ( A.118° B.125° C.136° D.124° 2.如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP=x,PB+PE=y, 当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M 的坐标是 0 图2 A.（4√2,35) B.(22,35) C.(35,22) D.(35,42) 3.如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B,点C,D分别为线段AB,OB的中 点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为 0 模型二最值问题之隐圆 借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个： (1)定圆的所有弦中，直径最长； (2)圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长 如图，动点P与圆上一点距离PQ的最大值和最小值：连接动点和圆心的 直线OP,与圆交于M,N两点，PQ最大值：PM(OP+r),PQ最小 值：PN(OP-r). 199 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） 方法解读 写例题精讲 ★1.动点到定点的距离等于定长 例4如图，长方形ABCD中，AB=2√3，BC= 如图，若有AB=AC=AD,则B,C,D三点在以A为圆 2,点E是DC边上的动点，现将△BEC 心，AB为半径的圆上 沿直线BE折叠，使点C落在点F处， 则点D到点F的最短距离为 ★2.直角所对的弦是直径 例5 如图，四边形ABCD为矩 如图，若有AB是固定线段，且总有∠ACB=90°， 形，AB=3,BC=4.点P是 则点C在以AB为直径的圆上. 线段BC上一动点，点M 为线段AP上一点，∠ADM =∠BAP,则BM的最小值为( 5 12 6.5 c西 D.√13-2 ★3.定弦定角 例6如图，⊙0的半径为2，弦AB=2,点P 如图，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C 为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 大小固定，可知C点并不是唯一固定的点，且点C 于点C,则△ABC的最大面积是 在⊙O的优弧AB上均可. 2a ★4.四点共圆 例7 如图，等边三角形ABC中，AB=6,P为 如图，若四边形ABCD中有∠ABC+∠ADC=180°， AB上一动点，PD⊥BC,PE⊥AC,则DE 则A,B,C,D四点共圆 的最小值为 200 第二部分 专题突破 写举一反三 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm,BC=3cm.D是BC边上的一个动点，连接AD,过点C 作CE⊥AD于点E,连接BE,在点D运动变化的过程中，线段BE的最小值是 A.1 B.√3 C.2 D.5 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3,AB=AE=5.连接BD,CE,将 △ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，△ACE的面积为 A.6 B.6√2 C.9 D.92 6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上的动点，且∠EAB= ∠EBC,则PD+PE的最小值为 A.2√/13-2 B.45-2 C.43-2 D.2W15-2 7.如图，点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为坐标平面内一动点，且BC=2,点M为线段AC的 中点，连接OM,当AC取最大值时，点M的纵坐标为 8.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别 是边CD,BC上的动点，且∠AFE=90° (1)证明：△ABF∽△FCE; (2)当DE取何值时，∠AED最大？ 201新课标中考宝典数学（广东专用版） ∴.∠BEE=∠BEE'=60°，EE=BE, ..AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE, 要使AE+BE十CE最小，则点A',E',E,C在同一条线 上，即最小值为A'C的长度， 过点A'作A'F⊥CB,交CB的延长线于点F, 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x,则A'B=2x,根据勾股定理，得A'F=√3x, .'AB=A'B,.'.AB=2x, AB+BC=6,∴.BC=6-AB=6-2x,∴.CF=BF+BC =6一x, 在Rt△A'FC中，根据勾股定理，得A'C2=A'F2十CF2= 3x+6-x)=4(e-名)月 +27, 3 六当x=2,即AB=2x=3时，A'C最小， 此时，BC=6-3=3,A'F=5x=3 2 平行四边形公园ABCD的面积为3×3y3-93。 2 2(平方 千米). 专题五 “将军饮马”问题 例题精讲 例1C例2D例3D 举一反三 1.102.B3./13 ()42w75.D6.c 专题六隐圆与四点共圆问题 例题精讲 例1B例22√22-2例3D 举一反三 1.55205-162.B324 4.证明：由旋转可知，CD=CE,∠DCE=90° 又.∠ACB=90°， .∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE 在△BCD和△ACE中，BC=AC(已知)，∠BCD= ∠ACE(已证)，CD=CE(旋转性质)， ∴.△BCD≌△ACE(SAS).∴.∠CBD=∠CAE. Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠BAC=90°， ∴.∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90. 此时，∠BAE+∠DCE=90°+90°=180°，根据“对角互 补的四边形内接于圆”，可证A,D,E,C四点共圆 专题七动点轨迹、路径长问题 例题精讲 例1B例2B 例3解：如答图，连接AC,将△ACE绕点A顺时针旋转 60°得到△ABR,连接RE,则△AER是等边三角形， R B K 答图 .AE2=BE2+CE2,EA=RE,EC=RB, 2 .RE2=RB2+EB2.∴.∠EBR=90°. ∠RAE+∠RBE=150. .∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°. ∴∠BEC=150. ,∴.点E的运动轨迹在以O为圆心的圆上，在⊙O上另取 一点K,连接KB,KC,OB,OC, ,∠K+∠BEC=180°，∠K=30°，∠B0C=60°， .OB=OC,∴.△OBC是等边三角形， ∴.OB=OC=BC=1, “点E的运动路径的长度=60：x·1-无 180 3 例4B 举一反三 1.12.√5-1 3.解：以C为原点，以AC所在的 直线为x轴，建立如答图所示的 平面直角坐标系，依题意，得0≤ t≤4，当t=0时，点M'的坐标为 (3,0),当t=4时，点”的坐标 0 为(1,4)， 设直线M'M"的解析式为 3k+b=0, MP-A y=x十b,则《 +b=4, 答图 解得径一2， (b=6. .直线M'M"的解析式为y=-2x十6. 由题意得，点P的坐标为(6-t,0),点Q的坐标为(0,2t), “在运动过程中PQ的中点M的坐标为（号，小， 当x=号时y=-2x82+6=, 点M在直线MM"上，作M"N⊥x轴于点N,如答图， 则M'N=4,M'N=2, 由勾股定理，得M'M'"=√/4+22=2√5， .线段PQ中点M所经过的路径长为2√5. 4.245.2π3 6.解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°， ∴.AB=BC,∠A=∠ACB=45°， ,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到 △CBQ,∴.△ABP≌△CBQ,∠PBQ=90°， ∠A=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ,AP=CQ,PB=BQ, ∴.∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°； (2).AB=BC,∠ABC=90°， ∴.AC2=AB2+BC2=2AB2=2X42=32,∴.AC=4√2， AP PC-113.AP-AC-,PC-3 .CQ=AP=√2， 在R△PCQ中，PQ=√PC+0Q=√(32)+(2)=2W5; (3)2PB=PA+PC2.证明如下：在Rt△BPQ中，BP= BQ,∠PBQ=90°，∴.PQ2=PB2+BQ2=2PB2, 在Rt△BPQ中，由勾股定理得，PQ=PC2+CQ2=PC2 +PA2,..2PB2=PA2+PC2. 专题八最值问题 例题精讲 例1B例25例3B例42例5D例6√3 例74.5 举一反三 1.D2.A3.(-1,0)4.A5.A6.A7.2+ 2 8.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∠B=∠C=90°， ∠AFE=90°，.∠AFB+∠EFC=90°， :∠EFC+∠FEC=90°， ∴.∠AFB=∠FEC,∴.△ABFp△FCE； (2)解：如答图，取AE的中点O,连接 OD,OF ∠AFE=∠ADE=90°， ∴.OA=OD=OE=OF, 0 .A,D,E,F四点共圆， ∴.∠AED=∠AFD, :当⊙O与BC相切时，∠AFD的值B 最大， 答图 '.此时∠AED最大，且易知此时BF =CF=4, :△ABFo△PrCE,是-既-& 4EC BG-号DE=0-CE=6-g-号 当DE-号时，∠AED的值最大。 专题九“逆等线”问题 例题精讲 例12√6I例242例34例422 举一反三 1.4√32.973.12.5°4.45.176.3√77.①②④ 专题十阴影面积计算 例题精讲 例1D例2C例3B例43-√2例5A 例62π-4 举一反三 1.c2.4028s+号x495g 6.π 7.(1)证明：如答图，连接OD, AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠OAD, OA=OD,.∠OAD=∠ODA,.∠ODA=∠BAD, .OD∥AB,.∠ODC=∠B=90°， ,OD为半径，∴.BC是⊙O的切线； (2)解：如答图，连接OF交AD 于点H, .OA=OF,.∠OAF =∠OFA, 0 .F是劣弧AD的中点， .OF⊥AD,AH=DH, ∠DOF=∠AOF, :∠DOF=2∠DAF,∠OAD 答图 =∠DAF,∴.∠DOF=∠OAF=∠AOF=∠OFA, :∠OAF+∠AOF+∠OFA=180°， .∠DOF=∠OAF=∠AOF=∠OFA=60°， 由(1)知OD∥AB,∴.∠COD=∠OAF=60°， OD OD 1 '.c0s60°= E+CE,即oD+5-2,解得OD=5. :∠FHA=∠OHD,AH=DH,∠FAH=∠ODH, ∴.△FAH≌△ODH(ASA), 60X5225π .SAFAH=S△ODH,∴.S阴影=S扇形ODR 360元= 6 ·阴影部分的面积为25 元. 2 参考苔宋 专题十一规律探究 例题精讲 例1C例2 1 例3B例4B例5D x 例62223 举一反三 1.D2.C3.91444.B5.B6.100 73 7.C8.A 9.22s(2222,-3×222) 专题十二 阅读理解 例题精讲 例1C 例2【探究发现】解：上述结论依然成立， 理由：如答图1，作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC 的延长线于点F, .四边形ABCD是平行四 边形，.AB∥DC,且AB= DC,∴.∠ABE=∠DCF, 在△ABE和△DCF中， I∠ABE=∠DCF, ∠AEB=∠DFC=90°， 答图1 AB=DC, ∴.△ABE≌△DCF(AAS),∴.AE=DF,BE=CF, 在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2=AE十CE =AE2十(BC-BE)2…①， 在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2=DF2十BF2 =DF2+(BC十CF)2=DF2+(BC+BE)2·②， 由①②，可得 AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+ 2BC2+2BE2, 在Rt△ABE中，由勾股定理，可得 AB2=AE2+BE2,..AC2+BD2=2AE2+2BC2+ 2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2=2a2 +2b2; 【拓展提升】证明：如答图2， 延长BO至点E,使BO 0- =OE, :BO是AC边上的中线， .AO=CO,.四边形 答图2 ABCE是平行四边形， 由【探究发现】可得BE2+AC2=2AB2+2BC2, BE=2BO,..BE2=4BO2, :AB=a,BC=b,AC=c,.4B02+c2=2a2+2b2, B0=Q2+62c2 2 4 【尝试应用】200 例3解：【类比探究】如答图，过点E 作EF⊥CD于点F,连接AF, ,四边形ABCD是正方形， AD=CD=4,∠ADC=90°， DE=CE,EF⊥CD,.DF=B CF=合cD=2,∠ADC- 答图 ∠EFD=90°， .AD∥EF,∴.S△ADE=S△ADF, SAE=合×ADX DF=-号×4X2=4 1 【拓展应用】SAo=2 BCX BC=8.