专题3 与角平分线有关的问题-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 专题三 与角平分线有关的问题 分类探究 类型一遇角一边的垂线，考虑角平分线的性质 例1(2025·贵州二模改编)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆 心，适当长为半径作弧，分别交AC,AB于点E,F;再分别以点E,F为圆心，大于 D G 号EF的长为半径作孤，两弧在∠BAC的内部相文于点G,作射线AG文BC于点 A D.若AC=10,DB=4,则△ACD的面积为 A.10 B.20 C.30 D.40 变式1(2025·揭东一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)作∠A的平分线AP,交BC于点P;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，过点P作PD⊥AB于点D,若BC=8,BP=5,求AD的长. 名师点拨： M M 1.若已知OP为∠MON的平分线，PA⊥OM,PB A ⊥ON,由角平分线上的点到角两边的距离相 作PB⊥ON,交ON于点B 等，得PA=PB,Rt△POA≌Rt△POB; 2.若只有角平分线，可以向角的两边作垂线，构造 边的垂线，得到两个全等三角形」 254 第二部分 专题突破 类型二遇角一边（或角平分线）的平行线，出现等腰三角形 例2(2025·南山区校级三模)如图，在正方形ABCD中，E为AD上 的点，连接CE.①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC,ED于点 N,M;②分别以M,N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED 内交于点P;③连接EP并延长交DC于点H,交BC的延长线于点G.若AB=16,AE:AD=1:4, 则EH的长为 ( A.14 B.6√5 C.16 D.83 变式2(2025·南山区校级三模)如图，已知△ABC中，∠C=90°，按 A 以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AC,AB M 于点M,N;②分别以M,N为圆心，以大于)MN的长为半径画弧，两弧在 D\ 1 △ABC的内部相交于点P:③作射线AP交BC于点D:④分别以A,D为圆心，以大于2AD的长为 半径画弧，两弧相交于点G,H;⑤作直线GH,分别交AC,AB于点E,F,若AF=3,CE=1,则 △ABC的面积是 名师点拨： M M 1.若点P是∠MON的平分线上的一点，且PQ∥ON,可得 等腰△OPQ,利用等腰三角形的性质解题； 作PQ∥ON p 2有角平分线无平行线时，可构造平行，可简记为“角平分线 十平行线，等腰必呈现” 类型三遇角平分线的垂线，考虑等腰三角形三线合一性质 例3如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD,垂足为M,且AB=5,BM=2, AC=9,求证：∠ABC=3∠ACB. M 255 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式3(2025·重庆模拟改编)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，CF平分∠ACB交AB于点F, AE平分∠BAC交BC于点E,AE、CF相交于点G,AD⊥CF交CF的延长线于点D,连接BD,且 AB≠AC (1)求证：AG=2DG; (2)若AC=10,BC=5,求BD的长. 名师点拨：若点P是∠MON的平分线上的一点，且AP⊥ M 延长AP,交 M OP,可延长AP交ON于点B,则△AOP≌△BOP,△AOB OW于点B 是等腰三角形.可记为“角平分线遇上垂直，三线合一试试看”， O B N 类型四角平分线的性质、判定的运用 例4(2025·深汕二模)如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F,AC平分∠DAB,点 C在⊙O上，且CD⊥DA,AC交BF于点P. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求证：AC·PC=BC2. D 256 第二部分专题突破 变式4(2025·北京模拟)八年级上学期我们学习了角平分线性质及其判定定理，课本P106的 例1同时运用了角平分线性质及其判定定理完成了该几何问题的证明， 例1已知：如图，AO,BO分别是∠A,∠B的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为点D,E. 求证：点O在∠C的平分线上， 证明：过点O作OF⊥AC,垂足为点F. .AO,BO分别是∠A,∠B的平分线（已知）： OE⊥AB,OD⊥BC(已知)，OF⊥AC(所作)， ∴.OE=OD,OE=OF( ∴.OD=OF(等量代换). ∴.点O在∠C的平分线上( 【研究原图形】(1)补全例1的证明过程： (2)在例1的图中，分别联结DE,EF,FD.小婷发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关 系，若∠BAC=m°，用含m的代数式表示∠EDF的度数. 名师点拨： 角平分线的性质和判定是解题的一个常用“工具”，要熟练掌握、灵活运用.角平分线的 PA⊥OM 判定要具备三个条件：PB⊥ON →OP平分∠MON PA=PB 巩固提升 1.(2025·深圳校级模拟)如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧， 交BA于点M,交BC于点N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径 D M 画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P,过点P作射线BP交AC于点D,过点D 作DE∥BC,交AB于点E.若∠A=65°，∠BDC=95°，则∠AED的度数为 A.85° B.75° C.60° D.55 257 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 2.(2025·济南模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的 正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D,作以下操作： (1)以点B为圆心，任意长为半径作弧，交BO于点M,交AB于点N;(2)分别以 M,N为圆心，以大于MV的长为半径作弧，两弧交于点G:(3)作射线BG,交 OA于点P,交AC于点Q.若OP=2,则点Q的坐标为 A.(3,2) B.(2+1,1) C.(2+2,2) D.(3,1) 3.(2025·长沙)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA 于点M,交CB于点N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的长度为半径作孤，两弧相交于点 P,作射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数； (2)若BC=2.5,求AD的长. 4.(2025·福田区校级三模)如图，点P是⊙O外一点，PB是⊙O的切线，切点为B,连接OP (1)尺规作图：在OP上方作射线PQ,满足∠OPQ=∠OPB(保留作图痕迹，不写 作法)： (2)在(1)所作的图中， ①求证：PQ是⊙O的切线： 2并延长，交射线PQ于点D,若sin/BDP-,PB=6,求 258 第二部分 专题突破 5.(2025·龙岗二模)【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为 “角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”. 例如：如图1，在□ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E,若E为BC边的中点，则称 □ABCD是“角分平行四边形”，AE是“角分线” D E 图1 图2 图3 【性质】(1)如图1，从定义上我们可以得到“角分平行四边形ABCD”具有“平行四边形，AE平分 ∠BAD,BE=CE”的基本性质，除此之外，还有其他性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由. 【判定】(2)如图2，在□ABCD中，AD=2AB.求证：四边形ABCD是“角分平行四边形” 【应用】(3)现计划在如图3所示的“角分平行四边形”ABCD绿地上进行景观美化，其中小路AE是 它的“角分线”，另一条小路CM与边AB交于点M,且BM=2AM,在△AMN和△CEN区域种植 同品种的花卉，若△AMN区域的花卉种植费用为a元，求△CEN区域的花卉种植费用（用含有a 的式子表示). 259新课标中考宝典·数学（深圳专用版） ∴.点C平移到原点O,即向右平移2个单位，再向下平移2个 单位，A的对应点A,的坐标为(5,2)： ,C(一2,2)旋转变换到原点O(0,0), .旋转中心为OC的中点(-1,1)， AA2的中点也为（一1,1）， .A(3,4)的对应点为A:的坐标为（一5，一2）： 1 同理可得B,(4,4)S6c=SA4a6=2X5X4-2X4=6: 故答案为(5,2)；（一5，一2）：6： (3)设C(m,-m十1)，当C(m,一m十1)平移到O(0.0)时 A(3.4)的对应点A'(3一m,3十m),B(2,6)的对应点B'(2 m,5+m), “△ABC的面积为3.z(3-m)(5+m)-(3+m)(2- m)|-3,整理得|一m十9|=6，解得m=3或=15， .C的坐标为(3，一2)或(15，一14). 5.解：(1)点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(0，一2)， ∴.AB=1+2=3, ,四边形ABCD为正方形，.BC=3,.C(3,一2)，把C(3 一2)代入y=冬得k=3X(-2)=-6. ·反比例函数解析式为y=一 6,把C(3.-2).A(01D代人 y-4十6得8a+6-2解得1 1b=1, 1b=1, ∴一次函数解析式为y=一x十1： 2如答图设P(-） △OAP的面积恰好等于正方形 ABCD的面积. 2×1×=3×3 解得1=18或1=-18， P点坐标为(18，-专）安(-18，) 专题二 与中点有关的问题 分类探究 例1压变式12例2C变226 3 5 例31)解：SAS号<AD<号 1 (2)证明：如答图，延长AD至点F,使FD=AD,连接FC 同法(1)得△ABD≌△FCD, .CF=AB,∠ABD=∠FCD CE=AB=BC. .CF=CE,∠BAC=∠ACB B D月 :∠ACE=∠ABC+∠BAC, ∴.∠ACE=∠ACB+∠BCF 答图 =∠ACF, CF=CE 在△ACF和△ACE中，∠ACF=∠ACE, AC=AC. .△ACF≌△ACE(SAS), ∴.∠CAF=∠CAE,即AC平分∠DAE, 变式3D 2 巩固提升 1227540 AD-CD 5.(1)证明：在Rt△ADE和Rt△DCF中， ∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF, 故Rt△ADE≌Rt△DCF(SAS),故AE=DF,∠DEA= ∠CFD,∠CDF+∠CFD=90°， ∴.∠CDF+∠DEA=90°，即∠DGE=90°，即证无论点E在何 处，总有AE⊥DF,且AE=DF」 (2)证明：①类比小明思路：如答图1所示， D E 延长DG,AB交于点N, :CD∥BN,∴.△CDF∽△BNF, G BN BF 1 CDCF2 M B 设BF=a,CF=2a, 答图1 则CD=AB=BC=3a, 4AM=3 3a= 9 44, BN-CD-4 3 9 故MN=BM+BN=4a=AM.即M为AN的中点， 又.∠AGN=90°，.GM为Rt△AGN的中线，.AM=GM. ②类比小明思路：作MQ⊥AG于点Q,交 D AD于点P,反向延长PM交CB的延长线 于点N, 如答图2所示，则PN∥DF,DP∥EN,故 四边形DPNF为平行四边形. M ..BM 1 AB-有，设BM=a,AB=4aAM 答图2 3aBF=C=a AP/BN.△PAM△NBM.S-3: AP AM 设BN=x,故AP=3BN=3x,NF=BN+BF=x+3a. 4 4 2 :PD=NF.∴AD=AP+PD=3x+x+3a=4a,解得x=3 4 a,故PD=x+3a=2a,AP=4a-2a=2a,即PD=AP, 可得Q为AG的中点，进而知MQ为线段AG的中垂线， ∴.AM=GM. 专题三与角平分线有关的问题 分类探究 例1B 变式1解：(1)如答图所示，点P即为所求： (2)如答图，过点P作PD⊥AB于D, BC=8,BP=5,.PC=3, AP平分∠BAC,∠C=90°，PD⊥AB,.PD=PC=3, 在Rt△BDP中，BD=BP2-PD=/52-32=4, 在Rt△ACP和Rt△ADP中， (AP=AP, PD=PC. ∴.△ACP≌∠△ADP(HL), ..AC=AD, 设AD=x,则AC=x,AB=x十4， 在Rt△ACB中，AC2+BC=AB2,即x+82=(x+4),解得 x=6,AD的长为6. 例2B变式216√2 例3证明：如答图，延长BM,交AC于E ,'AD平分∠BAC,BM⊥AD .∠BAM=∠EAM,∠AMB= ∠AME-90°， 在△ABM和△AEM中， /∠BAM=∠EAM, AM=AM. ∠AMB=∠AME .△ABM≌△AEM(ASA) .BM=ME,AE=AB,∠AEB=∠ABE ..BE=BM+ME=4.AE=AB=5. ∴.CE=AC-AE=9-5=4, ∴.CE=BE,∴，△BCE是等腰三角形，∴.∠EBC=∠ACB 又.∠ABE=∠AEB=∠ACB+∠EBC,..∠ABE=2∠ACB, .∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠ACB. 变式3(1)证明：，在△ABC中，∠ABC=60°， ·∠ACB+∠BAC=180°-∠ABC=120°， CF平分∠ACB,AE平分∠BAC, 1 ∠GCA=∠ACB.∠GAC=∠BAC. 六∠GCA+∠GAC=2(∠ACB+∠BAC)=2X120°=60， ,·∠AGD是△GAC的外角，∴.∠AGD=∠GCA十∠GAC=60°. AD⊥CF交CF的延长线于点D,.△ADG是直角三角形 在Rt△ADG中，∠GAD=90°-∠AGD=30°，∴.AG=2DG; (2)如答图，分别延长AD,CB, 交于点H :CF平分∠ACB, .∠ACD=∠HCD, AD⊥CF, .∠ADC=∠HDC=90°， 答图 .∠CAD=∠H, ..CA=CH, ,CD⊥AH,∴，点D是AH的中点 AC=10,BC=5,.CH=10, 点B是CH的中点BD=2AC=5. 例4(1)证明：如答图，连接OC, ,OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, .AC平分∠DAB,.∠DAC= ∠OAC,∴.∠DAC=∠OCA, .DA∥OC, CD⊥DA,.OC⊥CD CD是⊙O的切线： (2)证明：AB为⊙O的直径， 答图 ∴.∠ACB=90°， ,AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC, ∠DAC=∠PBC,∴∠BAC=∠PBC, 又.∠ACB=∠BCP,∴.△ACB∽△BCP, 参考答案 .AC BC BC=PCAC·PC=BC 变式4(1)在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平 分线上 (2)解：如答图，连接DE,EF,DF,延长DO交AB于点H, ,OE⊥AB,OF⊥AC. .∠AEO=∠AFO=90°， :∠BAC=m°，.∠EOF=180°-m°， .OD=OF=OE, ∴.∠EOH=2∠ODE ∠HOF=∠ODF+∠OFD=2∠ODF, 答图 ∠EOF=2∠EDF, ∴.∠EDF (90-) 巩固提升 1.C2.B 3.解：(1)，AB=AC,∠B=72,.∠ACB=∠B=72°， 由作图可知：CD是∠ACB的角平分线， ∠BCD=∠ACD=2∠ACB=36.: (2).∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，∠B=72°， ∴.∠BDC=∠B,∴.CD=CB, :∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36, ∴.∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°， .∠A=∠ACD,.AD=CD,.AD=BC=2.5. 4.解：(1)图形如答图所示： (2)①证明：如答图，过点O作OA⊥ PQ于点A.由条件可知OB⊥BP :∠OPQ=∠OPB,∴.OA=OB=r. .PQ是⊙O的切线； @解：m∠BDP-路 答图 5 PD=3 PB=10.BD=PD-PBF=8. 由条件可知PA=PB=6.∴.AD=PD-PA=4. 在△DAO和△DPB中， :∠DAO=∠DPB=90°，∠ADO=∠BDP, △DAO∽△DPB.DBPB 、DAOA :OA=DA:PB-4X5=3⊙0的半径为3. DB 8 5.,1)解：AB=2BC,理由如下。 ,'AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE, 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, .∠DAE=∠AEB,.∠BAE=∠AEB,∴AB=BE :BE=CE∴AB=BE=CE,∴AB=2BC: (2)证明：如答图1，作∠BAD的平分线AE,交BC于点E, ∴.∠DAE=∠BAE, 四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠AEB,∴AB=BE .'AD=2AB...BC=2AB..'.BE=CE .四边形ABCD是“角分平行四边形”： 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 答图1 答图2 (3)解：如答图2，过点E作EF∥AB,交CM于点F, 设MA=a,则BM=2a, 由(1)可得：AB=BE=CE-3a, YEF∥AB,∴.△CEF∽△CBM.BM-BC-CM EF CE CF 小贾-岩g-名FaGF=PEr=AM, .'EF∥AM,∴.∠AMN=∠NFE,∠MAN=∠NEF, .△AMN≌△EFN(ASA). .5M-SmMN-FN-FM-CF, ∴.S&C=2S△rN=2S△AMN, ,△AMN区域的花卉种植费用为a元 ∴.△CEN区域的花卉种植费用为3a元 专题四几何图形的折叠问题 分类探究 例1D变式125或15例2号或 变式21 4 例33√2-√6变式3A 例4(1)9 (2)解：AB+AC=CD.证明：如答图1，在AF上截取AG AC,连接DG, .AD平分∠CAF,∴.∠CAD=∠GAD AG=AC. 在△CAD和△GAD中， ∠CAD=∠GAD, IAD-AD. ,.△CAD≌△GAD(SAS),..CD=GD.∠ACD=∠AGD, :∠ACD+∠ACB=180°，∠AGD+∠DGF-180°， ,.∠ACB=∠DGF, .'∠ACB=2∠B,∴.∠DGF=2∠B, ,∠DGF=∠B十∠BDG,.∠B=∠BDG, ∴.BG=DG,∴.BA+AG=BG=DG=CD, ..AB+AC=CD; F G D C D B H 答图1 答图2 (3)如答图2，在AB上截取AH=AD,连接CH, .AC平分∠BAD,∴.∠HAC=∠DAC AH=AD. 在△CAH和△CAD中，∠HAC=DAC AC=AC. ∴.△CAH≌△CAD(SAS),∴.∠D=∠CHA,CD=CH, ..BH=CH=CD=10,.'AH=AD=8...AB=18. 变式4解：(1)①BE=CD,理由如下：·△ABD,△AEC都是 等边三角形，.AE=AC,AB=AD,∠EAC=∠BAD, .△ACD可以看成是△AEB绕点A旋转得到的，其中点E 的对应点是点C,点B的对应点是点D,BE=CD: ②∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=2, :BC=2AC=4∴AB=√BC-AC=√4-22=23， ,·△ABD是等边三角形，∴.BD=AB=2√5，∠ABD=60°， ∴.∠CBD=∠ABC+∠ABD=30°+60°=90°， ∴.CD=√BD2+BC=√(2√3)2+4=2√7， ∴.BE=CD=2√7，故答案为2√7： 4 2 B 答图1 答图2 答图3 (2),∠ADC=60°，AD=DC,∴.以D点为旋转中心，把△BCD 绕点D顺时针旋转60得到△BAD,连接B'B,如答图1， ∴B'D=BD,∠BDB'=60°，∠B'AD=∠C,BA=BC=32, .△BDB'是等边三角形， 过B作B'E⊥BA交BA延长线于点E,如答图2， :∠ABC=75°，∠ADC=60°， .∠BAD+∠C=360°-75-60°=225°. .∠B'AD=∠C,.∠BAD+∠B'AD=225°， ∴.∠B'AB=360°-∠BAD-∠B'AD=135°， ∴.∠BAE=180°-∠B'AB=180°-135=45°， 又，B'E⊥BE,∴.△B'AE为等腰直角三角形， B'A=3√2，∴.B'E=AE=3, ,AB=8,.BE=AB+AE=8+3=11, 在Rt△BEB'中，BB'-√BE+BE-√1+3-√I30, .∴，BD=BB'=130. (3)如答图3，将BD绕着点D逆时针旋转60°且延长得到 DE,使DE:BD=2:I,连接BE,CE, .∠ADC=60°，CD:AD=2:1, ∴.∠ADB=∠CDE,CD:AD=DE:BD ∴.△ABD∽△CED,.CE=2AB=6N2,∠A=∠DCE, ∠ABC=75°，∠ADC=60°， ∴.∠A+∠DCB=360°-135°=225°，∠DCE+∠DCB=360 -∠BCE,.∠BCE=135°， 如答图3，过点E作EG垂直BC的延长线于点G, .∠GCE=45°，.EG=CG=6,BG=9, .BE=WBG+EG=√36+8I=3√I3, :∠BDE=60·DE=2 、DB1 =cos∠BDE, ∴△DBE是直角三角形，∠DBE=90°， :.BD-BE-313-/39. 巩固提升 1.D2.100 3.(1)证明：：矩形ABCD.∴.AB=CD,∠B=∠D=90°， ,·将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点F处， .AF=AB,∠F=∠B,.∠F=∠D,AF=CD