专题1 函数中的面积问题-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第二部分 专题突破 专题一 函数中的面积问题 分类探究 类型一一次函数与三角形面积问题：公式法、割补法 例1【三角形一条边平行于坐标轴】(2025·深圳期中)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 y=kx(k≠0)与一次函数y=一x十7的图象相交于点A(t,3),过点P(0,4)作x轴的平行线，分别 交y=kx的图象于点B,交y=一x十7的图象于点C,连接OC (1)求t= ;k= ； (2)△OBC的面积为 B (3)在坐标轴上是否存在点M,使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，若存在，求 出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由 y=-x+7 变式1(2025·深圳模拟)【三角形的三边都不与坐标轴平行】 【知识呈现】当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长 度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图 形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解 【问题解答】在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(一3，一1)，C(2,1)., B B 图1 图2 242 第二部分专题突破 (1)如图1，分别以点A,B,C向坐标轴作垂线构造长方形BDEF,求△ABC的面积； (2)在图1中过点A作AG∥y轴交BC于点G,如图2. ①求AG的长； ②猜想：△ABC的面积S与DE·AG的数量关系式为 名师点拨： 1,根据S△ABC=S矩形BDEF一S△ABD一S△ACE一S△Bcr即可求得答案. 2.(1)根据SAABC=S△ABG十S△ACG= 1 1 X2XAG+。X3×AG=8即可求得答案： 2 (2)根据S△ABC=S△ABG十S△AcG= 2X2XAG+ ×3XaG= 1 -×5AG,DE=5即可求得答案 例2(2025·深圳校级模拟)割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，《九章算术》已经 能十分灵活地运用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题.在《九章算术》中，三角形被称为圭田. 圭田术曰“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是运用“出 入相补”原理，由长方形面积导出的.如图中的三角形下盈上虚，以下补上.如果图中矩形的面积为20， 那么图中阴影部分的面积是 ( A.15 B.10 C.5 D.2.5 b 图 图2 例2图 变式2图 变式2(2025·深圳校级模拟)割补法是数学中重要的思想方法之一，利用“割”与“补”可以巧 妙地将不规则图形化为规则熟悉的图形，从而使问题变得简单.如图1，AC是矩形ABCD的对角线， 小江利用分割法将△ACD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后利用移补法将分割的图 形按图2重新摆放，观察两图，若a=2,b=3,则矩形ABCD的面积是 名师点拨：设小正方形的边长为x,利用a,b,x表示矩形的面积，再用a,b,x表示三角形ACD的面 积，根据面积列出关于a,b,x的关系式求出x2十5x=6,即可求出矩形面积. 243 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 类型二反比例函数与三角形、四边形面积问题、反比例函数与几何图形变换 例3(2025·武汉模拟)如图，在x轴正半轴上依次截取OB, =B1B2=B2B3=…=B224B225,过点B1,B2,B3,…,B225分别作 x销的垂线，与反比例数y是>0)的图象交于AAA…, A224A22 A2025,连接A1A2,A2A3,A3A4,…,A224A2025,在A2B2上取一点 OB B, B B224B2025X C2,使得A3A2=A3C2,依次类推，在A224B224上取一点C224,使 得A22sA224=A202sC224,连接A2B1,则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是( 2 10124 B.5 C.1024 ·405 D.2025 变式3(2025·深圳校内模拟)如图，点A,B在x轴正半轴上（点B在 点A的右侧)，OA=2AB,分别以OA,AB为直角边作等腰直角三角形OAC, E 等腰直角三角形ABD,反比例函数y=(k>O)的图象经过AD的中点E,与 B 边OC交于点F,作FM⊥x轴于点M,EN⊥y轴于点N.若阴影部分（四边形PMON)的面积等于 5,则k的值为 A.1 B.2 C.4 D.5 名师点拨：设OA=4a,可以得到点D(6a,2a),然后可以得到E(5a,a),然后得到点F的坐标，根据 阴影部分的面积求出a值即可解题， 例4(2025·深圳校内模拟)某数学活动小组在研究反比例函数与几何图形位置关系时，经历 了如下过程： 如图1，正方形ABCD在平面直角坐标系第一象限中，AB∥x轴，AD∥y轴，A(m,n),AB=a. (1)发现问题：小明说：“对于任意的点A(m,n)一定存在一个反比 例函数y=(k≠0)的图象同时经过点B,D.” 小红说：“这是一个假命题” 你支持谁的说法，请说明理由 图1 图2 (2)数学思考：若存在一个反比例函数y=(k≠0)的图象同时经过点B,D,则m与n之间的数量关 系为 (3)数学应用： ①若点A(1,1),AB=2,反比例函数y=同时经过点B,D,则1=； ②在①的条件下，如图2，点E,F分别在BC,DC的延长线上，且CE=CF=1,反比例函数y= k 的图象同时经过点E,F,则k2= 244 第二部分 专题突破 ③在②的条件下，若点P,Q在反比例函数y-:上，且四边形EFPQ是正方形，则k, 变式4(2025春·鞍山期末)综合与实践 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用.它不仅帮助我们理解 图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用.某班数学兴趣小组在学习平移的课 程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小.如图，AB∥CD,张华 将一个含45°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，点M,N分别在直线AB,CD上， ∠MPN=90°，∠PMN=∠PNM=45°，∠PNC=a. (1)①如图1，直接写出∠PMA+∠PNC= ②如图1，若2∠PMA+∠MND=135°，求a的大小； (2)如图2所示，李明将一个含30°，60°角的直角三角形EFG的顶点G与点M重合，点E落在直线 CD上，顶点G固定不动，将点E在直线CD上向左平移，同时始终保持直角三角形EFG形状不 变，即30°，60°，90°保持不变，直角三角尺PMN固定不动，且45°<α<75°，当点E运动到点N重 合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形EFG的一边与三角尺PMN的一边平行时，请 直接写出∠BGF的大小（用a的代数式表示）； (3)王芳将直角三角形EFG从图3位置沿两条平行线平移，始终保持GE∥MN,分别作∠MGF和 ∠NEG的角平分线GR和EQ,GR交直线CD于点R,EQ交直线AB于点Q,GR与EQ交于点 H,求∠GHE的大小.（要求：在备用图中画出图形，写出过程） A M B M(G) B A MG) A M B C D E D N(E C N D 图1 图2 图3 备用图 245 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (变式4答题区) 名师点拨： 1.充分利用平行线的性质和方程求解； 2.利用分类讨论思想即可求出后面两问. 246 第二部分 专题突破 巩固提升 1.(2025·深圳校级模拟)如图，反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-一2， 2),过点A作AB⊥y轴，垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P 作直线OA的垂线L,以直线1为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反 比例函数的图象上，则t的值是 A.1+√5 B.4+√2 C.4-2 D.-1+5 2.(2025·深圳校级月考改编)如图，直线AB与y轴，x轴交点分别为A(0,2),B(4,0), y 问题1：直线AB的解析式为 ;△AOB的面积为 问题2：观察函数图象，直接回答：①当 时，y>0;②当 时，y= 0;③当 时，y<0. 3.(2025·深圳月考改编)如图，点A(-2,y),B(-6,y2)在反比例函数y= (x<O)的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C,D,AC与BD相交于点 B E结合以上信息，从下面的两个条件中选择一个作为已知，k的值为 条件①：四边形OCED的面积为2；条件②：BE=2AE. 4.(2024·龙华区期中改编)【项目式学习】 【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？ 【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形 的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习. 任务一：查阅资料 小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材： 把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫作几何变换.因为几何 素材一 图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等 变换.全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称.全等变换前后的两个几何图形是全等形 在平面直角坐标系中，若已知A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),则△ABO的面积可以表示为 素材二 1 2 x1y2一x2y1. 任务二：特例验证 (1)小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点A(3,4),点B(2,6)与原点O构成的三角形面积 S△ABO=① ,并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程： 如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设 A(x1y1),B(x2,y2)都在第一象限，且x1<x2,y1>y2. 过点A作x轴的平行线1，交y轴于C点，过点B作y轴的平行线m,交x 轴于D点，l与m交于点E,则E点坐标为② 247 0加 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 因为△ACO与△BDO与△AEB是直角三角形，四边形ECOD是矩形，所以S△AB0=S矩形cOD 1 1 SAAC0-S△BD0-S△ABE=x2y1-2x1y1-2I2y2-2 x2-x1)(③ 整理得S△ABO= 2(x2y1-x1y2); 由于A,B位置可以互换，所以△AB0的面积可以统一表示为SAA-) iy:-z:yl. 任务二：迁移推广 小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一个顶，点 变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角 形的面积与原三角形的面积相等， 例如：已知A(3,4),B(2,6),C(一2,2)，可将△ABC进行平移变换，使得点C平移至原，点，A的对 应点为A1,B的对应点为B1,从而计算出△ABC的面积；也可以通过旋转变换的方法，将△ABC 绕某一点旋转180°，使得点C变换到原点O,A的对应点为A2,B的对应点为B2,从而也可以计算 出△ABC的面积. (2)经过画图分析，可知A1的坐标为 ,A2的坐标为 ,△ABC的面积 S△ABC= 任务三：实践应用 (3)已知A(3,4),B(2,6),C是直线y=一x+1上的动点，当△ABC的面积为3时，求C点坐标. 248 第二部分 专题突破 5.(2025·深圳校内模拟)如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为(0,1)，点B坐标为(0，一2)，反比 例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ar十b的图象经过A,C两，点. (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P点的坐标. B 249新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 6,解：(1D42(2)良的占比为5×10%=50%， 2 (3)差的圆心角度数为30×360°-24.(4)9108 7.D 8.解：(1)50(2)B对应人数为50一6-19-13=12（人）， 补充条形统计图如答图； ↑学生人数 20 19 A B CD选项 答图 (3)1024(4)注意课堂的趣味性，多开展一些能提高学生在 课堂中的专注度的活动（答案不唯一，合理即可）. 9.解：(1)36(2)8590(3)方式二利于开展小组学习， 由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，说明同组成员 之间水平更接近更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互 助、共同进步（答案不唯一，合理即可）. 10.解：(1)35÷17.5%=200. 答：参与这次问卷调查的学生人数为200人； (2)1000×37.5%=375, 答：估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于 两小时的学生人数为375： (3)由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小 时，建议学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时 间（言之有理即可） 第31课时概率 课前小测 1.D2.D3.B4.B5.B 知识梳理 知识点11.12.03.0一1特别提醒：确定性事件 知识点31.(1)列表(2)画树状图(3)用频率估计概率 2.(1)列表画树状图(2)画树状图 跟踪训练 1A2.0223.B4 5.C6.B7.D 典例探究 例1B变式1C例2C变式2D 课堂检测 1A2.A3D4号5号6 7.解：(1)B(2)设装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”卡 片的盲盒分别用A,B,C,D表示，画树状图如答图， 开始 B BCD ACD ABD ABC 由答图可得，一共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着 写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有2种，∴.两人恰好抽 21 中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为2=6： 8c9A10号 11.解：()从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是子 散答案为子 (2)根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于0.25，所 以该同学的说法错误.故答案为0.25，错误； (3)列表如下： 、小菲 A B C D 小娜 A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰 好在同一个社团的结果有8种， P(恰好在同一社团)=6=2· 81 12.解：(1)20(2)补全条形统计图和扇形统计图如答图所示. ↑人数 男生女生 6 0%15% C 50% AB C D类别 答图 13.D14.2 第二部分专题突破 专题一 函数中的面积问题 分类探究 例1解：14至2号 (3)假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为(m,0),当 点M在y轴上时，设点M的坐标为(0，n). .A(4,3),.A0=√4+32=5， ,'△AOM是以OA为腰的等腰三角形， ∴.分AO=OM及AO=AM两种情况考虑。 ①当AO=OM时，5=|m|或5=|n|,解得m=士5，n=士5， ∴.点M的坐标为（一5,0）或(5,0)或(0，一5)或(0,5)； ②当AO=AM时，5=(m-4)2+3或5=/4+(n-3)2, 解得：m1=8,m2=0(舍去)或n1=6,n2=0(舍去)， .点M的坐标为(8,0)或(0,6). 综上所述：在坐标轴上存在点M,使△AOM是以OA为腰的 等腰三角形，点M的坐标为（一5,0）或(5,0)或(8,0)或(0， 一5)或(0,5)或(0,6). 变式1解：(1)S△ABc=S知形BDEF一S△ABD-S△AcE-S△BCr=20- 4-3-5=8. (2)①根据题意，得SAMg=SAAs+SA=,X2XAG 2×3×AG=8,解得AG=3.2: ②'S△ABc=S△AG+S△AaG=2X2XAG+2X3XAG= 2X5AG,DE-5,SAA-DE AG 1 2 即S=DE,AG故答案为S=DE,AG 2 2 例2C变式212例3A变式3D 例4解：(1)支持小红的说法，理由如下： 由题意知，B(m十a,n),D(m,n十a),a>0. 假设对于任意的点A(m,n)一定存在反比例， :函数y=工 (k≠0)的图象同时经过点B,D,则 (m十a)n=m(n十a),∴.m=n, 这与任意的点A(m,n)相矛盾， .假设不成立，故小红说得对； (2)由题意知，B(m十a,n),D(m,n十a),a>0.(m+a)n= m(n十a),∴m=n,故答案为m=n; (3)①由题意得，点B(3,1),将点B的坐标代人反比例函数表 达式得：k1=3×1=3; ②由题意得，点D(3,3),则点F(4,3), 将点F的坐标代入反比例函数表达式得：k2=4×3=12; ③当PQ在EF的上方时，如答图， 以正方形EFPQ为顶点构建正方形 CMNT,则FM-PM-FC-1, D 由②知，点F(4,3),则点P(5,4),将点P 的坐标代入反比例函数表达式得：，=4 ×5=20;当PQ在EF下方时，同理可得， 答图 点P的坐标为(3,2)，将点P的坐标代入 反比例函数表达式得k,=2×3=6;故答案为①3：②12，③6 或20. 变式4解：(1)①90②过点P作PQ∥AB,如答图1所示， ,AB∥CD∥PQ,∴.∠AMP=∠MPQ,∠CNP=∠NPQ, '.∠PMA+∠PNC=∠MPQ+∠NPQ=∠MPN=90°； .∠PMA=90°-∠PNC=90°-a, .'∠PNM=45°，∴.∠MND=180°-45°-∠PNC=135°-a, ,2∠PMA+∠MND=135°，.2(90°-a)+135°-a=135°， .a=60°： MG) B 30 609 D 答图1 答图2 (2)当MN∥EF时，如答图2所示，则∠DEF=∠DNM= 180°-∠CNP-∠PNM=180°-a-45°=135°-a, 根据解析(1)可知：∠BGF十∠DEF=∠MFE=90°， .∠BGF=90°-∠DEF=90°-135°+a=a-45°： 当PM∥EF时，如答图3所示，则∠PME=∠MEF=60°， ∠EMF=30°，∴.∠PMF=60°+30°=90°，∠MPN+ ∠PMF=180°，.PN∥MF, 根据解析(1)可得∠AMP+∠PNC=∠MPN=90°， .∠AMP=90°-a, '.∠BGF=180°-∠PMF-∠AMP=a; 参考答案 AM(G分B A MG B 309 60 C NE) D E D 答图3 答图4 当ME∥PN时，如答图4所示，则∠MEC=∠PNC=a, .∠DEF=180°-∠MEF-∠MEC=180°-60°-a=120°-a, :∠BGF+∠DEP=∠MFE=9O°， ∠BGF=90°-∠DEF=90°-120°+a=a-30°； ∠BGF=a-45或a或a-30. (3)GE向右移动时，如答图5所示，：GR、EQ分别平分 ∠MGF,∠NEG,∴.∠AGE+∠CEG=180°， :∠GHE-∠MGR+∠CBQ-是∠MGF+号∠CBG ∠MGE+∠BGF)+号∠cBG= 1 2∠MGE+ 7∠CBG+7∠BGf=×150+7×80=105, 1 1 A2 M GB AG MO B 口F C NR E D CE RD 答图5 答图6 GE向左移动时，如答图6所示， GR,EQ分别平分∠MGF,∠NEG, ∠MGR-名∠MGP,∠NEQ-∠NEG, AB∥CD,∴.∠MGE+∠NEG=180°， :∠GHE-∠MGR+∠NEQ-号∠MGF+号∠NBG （∠MGE-∠BGP)+名∠NBG-g∠MGE+ 1 号∠NBG合∠BGF=X180号×30=75 ∴∠GHE=105或75. 巩固提升 1.A2.y=-2x+24①x<4②x=4⑤x>43.-6 4.解：(1)根据阅读材料可得：点A(3,4),点B(2,6)与原点0构 1 成的三角形面积S△A∞=名×3X6-4X2|=5; :A(x1,y1),B(x2,y)都在第一象限，且x1<x,y1>y2, ∴.E点坐标为(xz,y1); ∴.SAAB0=S矩形ED-SAAD-S△BD0一SAABE=x2y1-2x1yi 1 1 2::-2(z:-)(y1-y:): 故答案为①5；②(x2y1);③y1一y2; (2)如答图所示，A(3,4),C(一2,2) o12345x -5 答图 5 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） ∴点C平移到原点O,即向右平移2个单位，再向下平移2个 单位，A的对应点A1的坐标为(5,2)： C(-2,2)旋转变换到原点O(0,0), .旋转中心为OC的中点（一1,1）， .AA2的中点也为(-1,1)， ∴.A(3,4)的对应点为Az的坐标为(-5，一2)； 1 同理可得B,(4,④)，.SA4c=SA40=2X5X4-2X4=6; 故答案为(5,2)：(-5，-2)；6； (3)设C(m,-m十1)，当C(m,一m+1)平移到O(0,0)时， A(3,4)的对应点A'(3一m,3+m),B(2,6)的对应点B'(2 m,5+m), :△ABC的面积为3,21(3-m)(5+m)-(3+m)(2- m)|=3,整理得|一m十9|=6，解得m=3或m=15, .C的坐标为(3，-2)或(15，-14). 5.解：(1)，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(0，一2)， .AB=1+2=3, ,四边形ABCD为正方形，BC=3,C(3,一2)，把C(3, 一2)代人y=克得k=3×(-2)=-6, 二反比例函数解析式为y三-。把C(3,一2)，A(0,1)代入 y-ax+6得8a十6一2”解得a1， b=1, 1b=1, .一次函数解析式为y=一x十1： (8)如答图，设P(,一) ,△OAP的面积恰好等于正方形 ABCD的面积， 7×1x1川=3×3， 解得t=18或t=一18， P点坐标为18，-专）或(-18，合） 专题二 与中点有关的问题 分类探究 例1丽变式129例2c变式226 3 5 例31解SAS合<AD<号 1 (2)证明：如答图，延长AD至点F,使FD=AD,连接FC, 同法(1)得△ABD≌△FCD, .CF=AB,∠ABD=∠FCD, .CE=AB=BC, .CF=CE,∠BAC=∠ACB, B Di :∠ACE=∠ABC+∠BAC, ∴.∠ACE=∠ACB+∠BCF 答图 =∠ACF, CF=CE 在△ACF和△ACE中，∠ACF=∠ACE, AC=AC, .△ACF≌△ACE(SAS), ∴.∠CAF=∠CAE,即AC平分∠DAE. 变式3D 2 巩固提升 1片22735410 AD-CD 5.(1)证明：在Rt△ADE和Rt△DCF中， ∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF, 故Rt△ADE≌Rt△DCF(SAS),故AE=DF,∠DEA= ∠CFD,'∠CDF+∠CFD=90°， ∴.∠CDF+∠DEA=90°，即∠DGE=90°，即证无论点E在何 处，总有AE⊥DF,且AE=DF. (2)证明：①类比小明思路：如答图1所示， D E 延长DG,AB交于点N, .CD∥BN,∴.△CDFp△BNF, G BN BF 1 ∴CD-CF=2' M B 设BF=a,CF=2a, 答图1 则CD=AB=BC=3a, 4AB=3 0-BM= ,AM=×3a= 9 4a, BN-CD-4. 3 9 故MN=BM+BN=4Q=AM,即M为AN的中点， 又∠AGN=90°，.GM为Rt△AGN的中线，.AM=GM. ②类比小明思路：作MQ⊥AG于点Q,交 D AD于点P,反向延长PM交CB的延长线 于点N, 如答图2所示，则PN∥DF,DP∥EN,故 四边形DPNF为平行四边形. M 0∴设BM-a,AB-4,AM- 答图2 3aBF=专Bc-分a 4 AP∥BN△PAMANBM,.S-a0-8, 4 设BN=x,故AP=3BN=3x,NF=BN+BF=x+3a. 2 :PD=NP,AD=AP+PD=3z+x十3a=4u,解得x=3 4 a,故PD=x+3a=2a,AP=4a-2a-2a,即PD=AP, 可得Q为AG的中点，进而知MQ为线段AG的中垂线， ..AM-GM. 专题三与角平分线有关的问题 分类探究 例1B 变式1解：(1)如答图所示，点P即为所求； (2)如答图，过点P作PD⊥AB于D, BC=8,BP=5,.PC=3, AP平分∠BAC,∠C=90°，PD⊥AB,.PD=PC=3, 在Rt△BDP中，BD=√BP-PD2=√52-32=4， 在Rt△ACP和Rt△ADP中， (AP=AP, PD=PC, ∴.△ACP≌∠△ADP(HL),