第26课时 与圆有关的计算-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第一部分 基础过关 第26课时与圆有关的计算 课前小测 1.(25一26九年级上·广东惠州·期中)船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到 暗礁.如图，A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都 是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”.船P与两个灯塔的夹角为α，若∠ACB=55°，则船 P位于安全区域时，a的大小可能为 ( ) A.75° B.65° C.55° D.45° D B B 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2025·连云港)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧BC的 长为 3.(2025·泰州二模)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆， 则图中阴影部分的面积为 4.(2025·青海)如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,AD为⊙O的弦，连接BD,∠A=∠B=30°. (1)求证：直线BD是⊙O的切线： (2)已知BC=2,求DC的长（结果保留π）. 知识梳理 知识点1圆内接正多边形 1.顶点在同一圆上的正多边形叫作 ,这个圆叫作正多边形的 360° 2.正n边形的中心角 3.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫作这个正五边形的 ,OA是这个正五边形的 ,∠AOB是这个正五边形的 OM是这个正五边形的 195 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 【跟踪训练】 1.(2025·柳州二模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,则∠ABD的度数为 D () A.60 B.72° C.78 D.144° E 2.(2025·晋安区校级模拟)若正六边形的边心距为2√3，则这个正六边形的半径为 ( A.1 B.2 C.4 D.23 知识点2弧长与扇形面积公式（半径为r,圆心角为n°） 1.弧长公式：l=”” 180 2,扇形面积公式：S=” 360 或S= 2 【跟踪训练】 3.(2025·龙华区三模)某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮 带动重物上升.如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转108°，假设绳索（粗细不计）与 滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ) A.6πcm B.9πcm C.12元cm D.15元cm 4.(2025·山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修 身齐家的象征如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已 知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是 ( A.π B2π C.3π D.4π 典例探究 考点I扇形面积的计算 例1(2024·深圳)如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,BC=√2AB,O为BC中点，OE AB=4,则扇形EOF的面积为 B O 图1 图2 例1图 变式1图 变式1(2025·宝安区模拟)传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面 裙，如图2马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中D的长度为写m,0B=2m,圆心角 ∠AOD=∠BOC=60°，则该马面裙的面积为 m 196 第一部分 基础过关 考点2弧长的计算 例2(2025·龙岗区二模)自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固 定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图.已知后轮⊙O与底部停车架切于点 A,与侧面停车架切于点B,已知AC⊥BC,车轮半径为40cm,则AB的长度为 ( ) A.40πcm B.30πcm C.20πcm D.10元cm 图1 图2 图 图2 例2图 变式2图 变式2(2025·福田区二模)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空 舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128（即最高点离水面平台MN的距离），圆 心O到MN的距离为68m,摩天轮匀速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，10min 后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为 m(结果保留π). 答题规范 示范题：(2025·深圳二糢)如图，在△ABC中，以AB上一点O为圆心，OA为半径的⊙O与 BC,AB相交于D,E,连接AD.(9分) (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证 明过程 ①AD平分∠BAC;②∠ACB=90°；③直线BC是⊙O的切线. 你选择的条件是①②，结论是③（填序号）： (2)在(1)的条件下，若∠B=30°，BE=2,求图中阴影部分的面积. 答 解：(1)选择的条件是①②，结论是③（答案不唯一）.…2分 如答图，连接OD,OD=OA,.∠OAD=∠ODA, 与 .AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, 分 .∠ODA=∠CAD,∴.OD∥AC.… 4分 答图 标 .∠ACB=90°，∴.∠ODB=∠ACB=90°，.BC⊥OD, 准 OD为⊙O的半径，.BC是⊙O的切线；… ………5分 (2):∠ODB=90°，∠B=30°，∴.∠BOD=60°，OB=2OD, ………6分 OD=OE,∴.OE=BE=2,∴.OD=2,OB=4,.BD=√OB2-OD=2W3, 7分 Sa影=Sam-Seme=3BD·0D-60x0D=2V5-2 360 · 故阴影部分的面积为23-2 ……9分 197 新课标中考宝典·数学（深圳专用版）》 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：/5】 1.(2025·湖南)如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC=40),东经116°，三沙市海域某处B位 于北纬15°（即∠BOC=15°），东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的 点A和点B之间的劣弧长约为 ( 5 1 A72R千米 B12R千米 36nR千米 0 πR干米 北极 地轴 A(北纬40°，东经116) 地心 B(北纬15°，东经116) 赤道) 南极 第1题图 第2题图 第4题图 2.(2025·济南一模)如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) 3.(2025·哈尔滨二模)若扇形的面积为54π，半径为18，则该扇形的弧长为 4.(2025·德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中 应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个 顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB=1,那么 这个等宽曲线的周长是 5.(2025·罗湖区二模)如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点O,AB=AC,BD为⊙O的 直径，AD交BC于点E,AE=3,DE=6. (1)AB的长为 (2)连OC,求证：四边形ABOC为菱形； (3)直接写出图2中阴影部分的面积. 图1 图2 198 第一部分 基础过关 (二)能力提升 【建议用时：8分钟正确率：3】 6.(2025·福田区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2,将Rt△ABC绕点A逆 时针旋转30°后得到△ABC',则图中阴影部分的面积是 B 7.(2025·广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立 平面直角坐标系，再分别以原点O,O(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点，其公 共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②， (1)直接写出A,B两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长（结果保留π）： (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到. 8.(2025·广州校级三模)如图，已知在△ABC中，∠C=90°. (1)已知点O在BC边上，请用尺规作图作出⊙O:使⊙O经过点C,且与AB相切于点D,与CB的 另一个交点为点E(保留作图痕迹，不写作法)： (2)若∠B=30°，若BD=4√3，求劣弧DE与线段BD,BE所围成的图形的面积（结果保留π）； (3)若AB=10,tan∠AOC=2,求⊙O的半径， 199 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 (三)命题新方向 9.(2025·罗湖区校级模拟)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图，是某高 铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B, 过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中的转角α为60°，若该圆曲线的半 径OA=1.8千米，则这段圆曲线AB的长为 交点Ca 曲线 B曲线 起点A 终点 曲线半径 曲线半径 圆心0 10.如图，扇形PON为某运动场内的投掷区，PN所在圆的圆心为O,A,B,N,O在同一直线上.直线 AP与PN所在⊙O相切于点P,此时测得∠PAO=45°；从点A处沿AO方向前进8.0m到达B 处.直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q,此时测得∠QBO=60°（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，元 ≈3.14) (1)求圆心角∠PON的度数； (2)求PN的弧长（结果精确到0.1m). 459 160° B 尝试·反思 结合实际情境创设一个关于求弧长或扇形面积的实际问题. 200第26课时 与圆有关的计算 课前小测 4π 1.D2.元3.3 4.(1)证明：如答图，连接OD, ,∠A=∠B=30°， ∴.∠BOD=2∠A=60°， .∠ODB=180°-∠B-∠BOD=90°， OD是⊙O的半径， 答图 .直线BD是⊙O的切线 (2)由(1)知∠ODB=90°，∴.∠B=30°，OD=OC, ..OB=20D=20C, .BC=OB-OC=20C-OC=OC,BC=2,..OC=2, 又由1知∠00-60，C的长是2-经 3 知识梳理 知识点11.圆内接正多边形外接圆 3.中心半径中心角边心距 跟踪训练 1.B2.C3.B4.D 典例探究 例1杯变式1 ·例2C变式240π 课堂检测 1.c2.8 3.6π4.π 5.解：(1)33 (2)证明：连接OA,如答图 BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°， AE35 :tan∠ABE-AB3N5-3' .∠ABE=30 答 AB=AC,AB=AC,OA⊥BC, ∠BAO=90°-∠ABE=60°， ,OB=OA,.△OBA为等边三角形，∴.OB=OA=AB, .OB=OC,..OB=AB=AC=OC, .四边形ABOC为菱形； (3)解：阴影部分的面积为2元. 9 44√3 6.3π 3 7.解：(1)A(0,5),B(5,0); (2).原点0，O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆， 两个圆是等圆， ∠AOB=∠AO'B=90°， ,90° :叶瓣①的周长为2x×0A×360X2=5元 (3)叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到 8.解：(1)如答图所示，即为所求： (2)如答图，连接OD, AB与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AB, ∠B=30°，BD=43, 在Rt△ODB中，tan30°=BD, OD 参考答案 ∠D0B=60,0D= 3BD=4. 劣弧DE与线段BD,BE所围成的图形的面积为SAOD sm=合×4X48-60-8g-经， 360 (3)设⊙O的半径为r.∠C=90°..AC⊥BC, .AC是⊙O的切线， ,AB是⊙O的切线，∴.AC=AD,AB⊥OD, ∴.∠ACB=∠BDO=90°， tan∠AOC=2,∴AC=2OC=2r. ..OD=OC=r,AC=AD=2r,BD=10-2r. '∠ACB=∠BDO,∠B=∠B,∴△BDO∽△BCA, S-8S-20=2Bn=20-4 ,AC2+BC2=AB2,∴.(2r)2+(20-4r)=102, 解得r=3或5（不合题意，舍去）.∴.⊙O的半径为3. 9晋千米 10.解：(1)直线AP与PN所在⊙0相切于点P, ∴.∠APO=90°， ∠PA0=45°，∴∠PON=90°-∠PA0=45°； (2)直线BQ与PN所在⊙O相切于点Q,.∠BQO=90°， :∠QB0=60,co∠QB0=cs60-器-7， 设BQ=xm,BO=2xm, ∴.OQ=OP=√BO2-BQ=√3xm, .AB=8.0m, ..AO=AB+BO=(8.0+2x)m :在Rt△AP0中，∠A=45°， 六sinA=sin45°=P0_VE AO2 3x 六8.0+2z=乞，解得x=46+8, .OP=√3×(4√6+8)=(12√2+8√3)m, :PN的长为45mX(125+8v3)≈24.1m, 180 答：PN的长为24.1m. 第七章 图形与变换 第27课时尺规作图 课前小测 1.B2.B3.B4.D5.D 跟踪训练 1.C2.C3.D4.10 5解：如答图，点P即为所求 D B B 第5题答图 第6题答图 第7题答图 6.解：(1)图形如答图所示. (2)三边相等的三角形是等边三角形 ∠DCA等边对等角 7解：如答图，则⊙O即为所求.