专题2 与中点有关的问题-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

0 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 专题二 与中点有关的问题 分类探究 类型一 已知中点，考虑中位线 例1(2025·辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点 E在线段OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1,连接BE,点G为BE的中点，连接FG,则FG 的长为 G C D F C 例1图 变式1图 变式1(2025·贵州)如图，在矩形ABCD中，点E,F,M分别在AB,DC,AD边上，BE= 2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G,H,且H是DE的中点.若CF=2,∠ABD=30°，则 HG的长为 名师点拨： 1.如图1，在△ABC中，点D,E分别为AB,AC的中点，连接DE.结论：DE∥BC,DE= A D 连接DE 过，点D作DE∥BC D B 图1 图2 2.如图2，在△ABC中，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E.结论：AE=EC,DE= BC 类型二已知中点，考虑中线 例2(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6,D为边BC的 中点，点E,F分别在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AEDF的面积为 ( A.18 B.9√2 C.9 D.62 变式2(2025·福田区校级三模)Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB的 中点，将△ACD沿CD折叠，得△ECD,DE与CB交于点F,若片，则simA 的值为 名师点拨： 1.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，连接CD.结论：CD=)AB。 250 第二部分专题突破 D 连接CD 连接AD B D D 图1 图2 2.如图2，等腰△ABC中，D为底边BC的中点，连接AD.结论：AD⊥BC,AD平分∠BAC 类型三遇中线考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形 例3(2025·城西区校级三模)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在解决几何问题 时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全 等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知 识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”. E 图1 图2 图3 (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接EC. ①根据所作辅助线可以证得△ADB≌△EDC,其中判定全等的依据为 ②若AB=3,AC=2,则AD的取值范围是 【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题： (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB=BC,求证：AC平分∠DAE; 【问题拓展】 (3)如图3，BD是四边形ABCD的对角线，∠CDB=120°，点E是BC边的中点，点F在BD上，CD =FD,AF=AB=BF,若ED=2,则AD的长为 变式3(2025春·珠海期中)如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点 D F是AD的中点，BE与CF相交于点G,设AB=a.得到以下结论：①BE⊥CF; ②AG=a;③AG=√5CG;④∠DGE=45°.则上述结论正确的是 ( A.①②④ B.②③④ B C.①②③ D.①②③④ 251 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 名师点拨： 1.遇到三角形的中线时，考虑倍长中线构造全等三角形.如图1，AD是△ABC的中线.结论：△ACD ≌△EBD 延长AD到E,使 延长ED到F,使 AD=DE,连接BE FD=DE,连接CF D B 图1 图2 2遇到三角形一边的中点时，考虑倍长中线构造全等三角形.如图2，D是BC的中点.结论：△BDE ≌△CDF, 巩固提升 1.(2025春·玄武区期末)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使得点B恰好落在边AD的中点B'处，折 痕为EF.若菱形ABCD的边长为2cm,∠A=120°，则CF= cm D C 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.(2025春·汾阳市期末)如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,D为BC中点，E为AD中点，连接BE 并延长交AC于点F,若∠BFC=90°，则BC的为 3.(2025春·赤峰期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,AC=8,BD=6,若点E为AB 的中点，点F为CD的中点，连接EF,则EF的长为 4.(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF 的面积为4，则图中阴影部分的面积为 5.(2025·福田区校级模拟)四边形ABCD是正方形，E,F分别是CD,BC边上两点，且满足DE= CF,连接AE和DF交于G,连接BG. D E D E D E G M 图1 图2 图3 (1)【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，无论点E在何处，总有AE⊥DF,且AE=DF,请 证明这个结论 252 第二部分专题突破 (2)【类比应用】当E是CD边中点，经过度量后发现BG=AB,兴趣小组的同学经过自主探究后， 小明和小雅各给出了一种方法 小明思路：延长DF和AB交于P,可证得△PBF≌ D 0 △DCF,可得B是AP中点，即GB是Rt△AGP斜边 G 中线，所以BG=AB. 小雅思路：过B作BH⊥AE于H,延长BH交AD于 小明思路 小雅思路 K,可证得AK=DK,可得H是AG中点，得到BH 是AG的垂直平分线，所以BG=AB. 如周2，若器8邵-日M是AB边上一点，且，连接MG,请类比上面的其中一希方肤说 明AM=GM. 《③【拓辰应用如图3者8是-8需-6a>1.M是AB延长线上一点，当 时（用 含n的式子表示)，AM=GM. 253新课标中考宝典·数学（深圳专用版） ∴点C平移到原点O,即向右平移2个单位，再向下平移2个 单位，A的对应点A1的坐标为(5,2)： C(-2,2)旋转变换到原点O(0,0), .旋转中心为OC的中点（一1,1）， .AA2的中点也为(-1,1)， ∴.A(3,4)的对应点为Az的坐标为(-5，一2)； 1 同理可得B,(4,④)，.SA4c=SA40=2X5X4-2X4=6; 故答案为(5,2)：(-5，-2)；6； (3)设C(m,-m十1)，当C(m,一m+1)平移到O(0,0)时， A(3,4)的对应点A'(3一m,3+m),B(2,6)的对应点B'(2 m,5+m), :△ABC的面积为3,21(3-m)(5+m)-(3+m)(2- m)|=3,整理得|一m十9|=6，解得m=3或m=15, .C的坐标为(3，-2)或(15，-14). 5.解：(1)，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(0，一2)， .AB=1+2=3, ,四边形ABCD为正方形，BC=3,C(3,一2)，把C(3, 一2)代人y=克得k=3×(-2)=-6, 二反比例函数解析式为y三-。把C(3,一2)，A(0,1)代入 y-ax+6得8a十6一2”解得a1， b=1, 1b=1, .一次函数解析式为y=一x十1： (8)如答图，设P(,一) ,△OAP的面积恰好等于正方形 ABCD的面积， 7×1x1川=3×3， 解得t=18或t=一18， P点坐标为18，-专）或(-18，合） 专题二 与中点有关的问题 分类探究 例1丽变式129例2c变式226 3 5 例31解SAS合<AD<号 1 (2)证明：如答图，延长AD至点F,使FD=AD,连接FC, 同法(1)得△ABD≌△FCD, .CF=AB,∠ABD=∠FCD, .CE=AB=BC, .CF=CE,∠BAC=∠ACB, B Di :∠ACE=∠ABC+∠BAC, ∴.∠ACE=∠ACB+∠BCF 答图 =∠ACF, CF=CE 在△ACF和△ACE中，∠ACF=∠ACE, AC=AC, .△ACF≌△ACE(SAS), ∴.∠CAF=∠CAE,即AC平分∠DAE. 变式3D 2 巩固提升 1片22735410 AD-CD 5.(1)证明：在Rt△ADE和Rt△DCF中， ∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF, 故Rt△ADE≌Rt△DCF(SAS),故AE=DF,∠DEA= ∠CFD,'∠CDF+∠CFD=90°， ∴.∠CDF+∠DEA=90°，即∠DGE=90°，即证无论点E在何 处，总有AE⊥DF,且AE=DF. (2)证明：①类比小明思路：如答图1所示， D E 延长DG,AB交于点N, .CD∥BN,∴.△CDFp△BNF, G BN BF 1 ∴CD-CF=2' M B 设BF=a,CF=2a, 答图1 则CD=AB=BC=3a, 4AB=3 0-BM= ,AM=×3a= 9 4a, BN-CD-4. 3 9 故MN=BM+BN=4Q=AM,即M为AN的中点， 又∠AGN=90°，.GM为Rt△AGN的中线，.AM=GM. ②类比小明思路：作MQ⊥AG于点Q,交 D AD于点P,反向延长PM交CB的延长线 于点N, 如答图2所示，则PN∥DF,DP∥EN,故 四边形DPNF为平行四边形. M 0∴设BM-a,AB-4,AM- 答图2 3aBF=专Bc-分a 4 AP∥BN△PAMANBM,.S-a0-8, 4 设BN=x,故AP=3BN=3x,NF=BN+BF=x+3a. 2 :PD=NP,AD=AP+PD=3z+x十3a=4u,解得x=3 4 a,故PD=x+3a=2a,AP=4a-2a-2a,即PD=AP, 可得Q为AG的中点，进而知MQ为线段AG的中垂线， ..AM-GM. 专题三与角平分线有关的问题 分类探究 例1B 变式1解：(1)如答图所示，点P即为所求； (2)如答图，过点P作PD⊥AB于D, BC=8,BP=5,.PC=3, AP平分∠BAC,∠C=90°，PD⊥AB,.PD=PC=3, 在Rt△BDP中，BD=√BP-PD2=√52-32=4， 在Rt△ACP和Rt△ADP中， (AP=AP, PD=PC, ∴.△ACP≌∠△ADP(HL),