第24课时 与圆有关的概念和性质-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第一部分基础过关 第六章 圆 第24课时 与圆有关的概念和性质 课前小测 1.(2025·宝安区校级模拟)如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交 点)上，点A,B,C在⊙O上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是 ( √5 A.2 B. C26 10 D. 5 5 5 C 0 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 2.(2025·深圳二模)如图，AB是⊙O的弦，∠BAC=30°，BC=2,则⊙O的直径等于 ( A.2 B.3 C.4 D.6 3.(2025·南山区校级三模)如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体的深度CD= 2cm,则截面圆中弦AB的长为 ( ) A.4 cm B.4√/2cm C.6 cm D.8 cm 4.(2025·龙华区二模)船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，A,B 表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的 临界点，∠ACB就是“危险角”.船P与两个灯塔的夹角为α，若∠ACB=55°，则船P位于安全区域 时，α的大小可能为 (写出一个即可) 5.(2025·南山区校级三模)如图，点A,B,C在⊙O上，AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°，则∠C为 0 知识梳理 知识点工圆的相关概念 1.圆的定义： (1)在一个平面内，到 距离等于 的所有点组成的图形叫作圆； (2)在一个平面内，一个动点绕一个 旋转 所形成的图形叫作圆. 2.圆的相关概念： (1)圆心：定点叫作圆心.半径：连接圆心与圆上任一点的线段； (2)弦：连接圆上任意两点的 叫作弦，经过圆心的弦叫作 (3)弧：圆上任意两点间的 叫作圆弧，简称弧弧分为半圆、优弧、劣弧； (4)圆心角：顶点在 的角叫作圆心角； (5)圆周角：顶点在 两边分别与圆还有另一个交点的角叫作圆周角 179 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 【跟踪训练】 1.以下说法：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；③ 弦是直径；④直径是圆中最长的弦；⑤直径不是弦；⑥优弧大于劣弧；⑦以O为圆心可以画无数个 圆；⑧顶点在圆上的角是圆周角.正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是 A.4 B.8 C.10 D.12 3.如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于 知识点2弧、弦、圆心角的关系 1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等 2推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等. 【跟踪训练】 4.(2025·漯河模拟)如图，在⊙0中，AB是直径，BC=CD=DE,∠AOE=60°，则∠BOC的度数为 ( ) A.40° B.45 C.50° D.60° 第4题图 第5题图 5.(2025·龙岗区校级改编)如图，AB是⊙O的直径，∠AOD=∠COD,AD=3cm,则CD cm. 知识点③圆周角定理及其推论 1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 2.推论： (1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)直径所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 (3)圆内接四边形的对角 180 第一部分基础过关 【跟踪训练】 6.(2025·南山区校级三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°，若⊙O的半径为1，则弦BC 的长为 ( A.1 B.2 D.√2 2 B 0 图1 图2 第6题图 第7题图 第8题图 7.(2025·龙岗区校级开学)如图，已知AB是⊙O的直径，∠BAC=54°，则∠D的度数是 8.(2025·深圳实验学校三模)筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉， 工作原理基于圆周运动和重力作用.如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A,B,筒车上均匀分布着若 干个盛水筒，D是其中之一，DC是⊙O的直径，连接DA,DB,点M在AB的延长线上，若∠ADC =16°，则∠DBM的度数为 知识点④垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径 2.推论：平分弦( )的直径垂直于弦，并且 【跟踪训练】 9.(2025·罗湖区校级三模)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,∠CAB= 25°，则∠AOD等于 A.155° B.140° C.130° D.110° 10.(2025·深圳校级二模改编)如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，与AB交于点E,且CE=DE.连 接AC,OC,BC (1)求证：∠ACO=∠BCD; (2)若CD=AE=8,求BC的长. D 181 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 典例探究 考点1圆周角定理及其推论的综合应用 例1(2023·深圳)如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线 与⊙O交于点D,若∠ADC=20°，则∠BAD= 变式1(2021·深圳)如图，AB为⊙O的弦，D,C为ACB的三等分点，延长DC至点 E,AC∥BE. (1)求证：∠A=∠E; (2)若BC=3,BE=5,求CE的长 D 考点②创设情境的垂径定理 例2(2025·福田区三模)如图，摩天轮⊙P最高处A离地面1的距离是42米，最低处B离地面1 的距离是 米.摩天轮旋转一周需12分钟.若游客从B处乘摩天轮旋转一周，则该游客在离 地面1的距离32米以上的时间有 分钟。 B C 图1 图2 例2图 变式2图 变式2(2025·南山区二模)七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”.小明用一 个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞” 图过该图形的A,B,C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为 182 第一部分 基础过关 答题规范 示范题：(2025·深圳15校联考二模)如图，AB是圆O的直径，D,E为圆O上位于AB异侧的两 点，连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交圆O于点F,连接AE,DE,DF.求证：AB =AC.(4分) 证明：如答图，连接AD, 答 AB是⊙O的直径，∠ADB=90°，即AD⊥BC,… 2分 模 又CD=BD,AD垂直平分BC,………………3分 么 AB=AC.………………………………………… 分 分标准 答图 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率： /5】 1.(2025·山西)如图，AB为⊙O的直径，点C,D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD,CD.若AC BC,则∠D的度数为 A.30° B.45° C.60° D.75° D O C 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 2.(2025·新疆)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠BOC= A.30° B.45° C.60° D.75° 3.(2025·宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD的长是() A.3 B.2 C.6 4.(2025·甘肃)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC,连接BD,若∠ABC=70°，则∠BDC的度 数为 ) A.20° B.35 C.55° D.70° 5.(2025·宜宾)如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC=40°，则∠OBC= 0 183 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (二)能九提升 【建议用时：5分钟正确率：/3】 6.(2025·广安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径 为6，则BD的长为 09 7.(2025·上海)如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA,OB分别交CD于点E,F, 且CE=DF,连接BD. (1)求证：AB∥CD； (2)若AB=BD,求证：AB2=BF·OB. E 8.(2025·福建节选)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相交于 点F.G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. (1)求证：∠ABC=∠DBE十∠E; (2)求证：AH=HF·HC. 184 第一部分 基础过关 (三)命题新方向 9.(2025·深圳二模)【理解概念】分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两 个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形 中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫作这两个直角三角形 的相似分割线。 【巩固新知】已知：如图1,2，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，∠ACP=∠D,∠DFQ =∠A. (1)求证：CP,FQ分别是△ABC和△DEF的相似分割线； (2)若AC=6,BC=8,DF=8,EF=4,求AP的长. D 图 图2 尝试·反思 尝试用点的集合来对圆下定义，关于点的集合你还有什么想法？ 185新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (2)对于y=2x一6，令x=0,则y=一6，.G(0,一6) :点E关于直线DG的对称点F,∴.SACE=S△BaP, ∴Sxa=2S0=2X号EG·CB, 设点E的坐标为(0，m),∴.EG=m+6, ,S四边形BEGF一 3SE方B04c,B(6,6),∴.SE方形0Ax=6X6=36) S动带8m=2S△0F=2X乞EG·CB=6(m+6)=3 36,解得m=2,∴.点E的坐标为(0,2). 13.解：(1)：平行四边形，矩形的四条边不 都相等，正方形的邻角相等， 平行四边形，矩形，正方形不是等边 半正多边形， 菱形四条边都相等，且相间的角相 答图1 等、相邻的角不相等，∴菱形是等边半正多边形； 示意图如答图1， 菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A≠∠B,∠A= ∠C,∠B=∠D； (2),六边形内角和为(6-2)×180°=720°，且∠A-∠C ∠E,∠B=∠D=∠F, ∴.等边半正六边形相邻两个内角的和为720°÷3=240°， .研究报告中“▲”处空缺的内容为240.故答案为240； (3)性质：对角线AD是∠BAD的平分线， 理由如下：如答图2，连接AD,BD,FD 六边形ABCDEF是等边半正六边形， ..AB=BC=CD=DE=EF=FA,C= ∠E,∴.△BCD≌△FED(SAS), D 答图2 .BD=FD. AB=AF, 在△ABD和△AFD中，BD=FD, AD-AD, .△ABD≌△AFD(SSS),∴.∠BAD=∠FAD, ∴.对角线AD是∠BAF的平分线. 第六章圆 第24课时与圆有关的概念和性质 课前小测 1.C2.C3.D4.20°(0°<a<55即可)5.20 知识梳理 知识点11.(1)定点定长(2)定点一周 2.(2)线段直径(3)部分(4)圆心(5)圆上 知识点21.弧弦 知识点31.圆心角度数的一半 2.(2)直角直径(3)互补 知识点41.平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.不是直径平分弦所对的弧 跟踪训练 1.C2.D3.80°4.A5.36.D7.36°8.106°9.C 10.(1)证明：.AB是直径，.∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCD=90°， CE=DE,∴AB⊥CD,∴.∠A+∠ACE=90°， .∠A=∠BCD, .OA=OC,.∠A=∠ACO,.∠ACO=∠BCD: (2)解：AB1CD,AB是直径，∴CE=DE=之CD=4, 又由(1)知∠AEC=∠CEB=90°，∠A=∠BCE, △ACEACBE,器-高EB=2 .BC=√EB2+CE=√22+4=25. 典例探究 例135 变式1(1)证明：：AC∥BE,∴∠E=∠ACD, :D,C为ACB的三等分点，BC=CD=AD, .∠ACD=∠A,.∠E=∠A. (2)解：由(1)知BC=CD=AD, ∴∠D=∠CBD=∠A=∠E, .BE=BD=5,BC=CD=3,△CBD∽△BED, ÷品-记即-解得DE=5, CB BD 25 .16 ÷CE=DE-CD=3-3=3 例224变式22√5 课堂检测 1.B2.C3.A4.C5.506.63 7.证明：(1)如答图，连接OC,OD, OC=OD,∴.∠OCD=∠ODC, CE=DF,∴.△OCE≌△ODF(SAS),∴. E六F OE=OF. D OA=0B,8折-86EF∥AB, OE OF A 答图 CD∥AB: (2).△OCE≌△ODF,.∠COE=∠DOF, ,AB=BD,∴.∠AOB=∠DOF, ∴∠AOB=∠DOF=∠COE, 如答图，连接AF,,OA=OD,∴.△AOF≌△DOF(SAS), ∴.∠OAF=∠ODF=∠OCE, :∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠AEF,.△OEC∽△FEA, ∴.∠COE=∠AFE, 又由(1)知AB∥CD,∴.∠AOB=∠FAB=∠AFE, 、ABBF △BAFn△BOA,心OB-ABAB=BF·OB. 8.(1)证明：：AB=AC,.∠ABC=∠ACB, ·∠ACB=∠ADB,∠ABC=∠ADB. .∠ADB=∠DBE+∠E,∴.∠ABC=∠DBE+∠E; (2)证明：BG=DG,.∠ABD=∠GDB, 由(1)知：∠ABC=∠ADB, ∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ADB=∠GDB+∠GDA, ∴∠DBE=∠GDA, ∠DBE=∠CAD,∠CAD=∠GDA,.AH=HD. '∠ACD=∠ABD,∴∠ACD=∠GDB. :∠CHD=∠DHF,.△CHDD△DHF,∴HF=HD, HD HC ∴.HD2=HC·HF,∴.AH2=HF·HC. 9.(1)证明：，∠ACP=∠D,∠DFQ=∠A, .△ACP∽△FDQ, :∠ACB=∠DFE=90°， .∠ACP+∠BCP=90°，∠D+∠E=90°，'.∠BCP=∠E, 8 同法可证，∠B=∠EFQ,.△BCPC∽△FEQ, ∴.CP,FQ分别是△ABC和△DEF的相似分割线； (2)解：如答图中，过点A作AH⊥AC交CP 的延长线于H. ,∠CAH=90°，∠ACP=∠D, EF 1 tan∠ACP=tanD-DF=Z' 名 .AC=6,.AH=3,∠BCA=90°， ∴.∠BCA+∠CAH=180°，∴.AH∥BC， △AHp△CBP,部是-营 :AB=VAC+BC=V尽+g=10,AP=品AB= 30 第25课时与圆有关的位置关系 课前小测 1.D2.203.70° 4.(1)证明：AB是圆0的直径， .∠ACB=90°，.∠BAC+∠ABC=90. :直线BF是圆O的切线，∴∠OBF=90°， .∠ABC+∠CBF=90°，∴∠BAC=∠CBF .CB=CD,∴.∠DAC=∠BAC ∴.∠DAC=∠BAC=∠CBF. ∴.∠DAB=∠DAC+∠BAC=2∠CBF (2)解：如答图，过点C作OC的垂线1，则 直线！即为所求. 5.(1)证明：如答图，连接OA, 答目 BE是⊙O的直径，∴.∠BAE=90°， ∴.∠BAO+∠OAE=90°， 'OA=OB,∴.∠ABC=∠BAO ,∠EAC=∠ABC, .∠EAC=∠BAO, ∴.∠EAC+∠OAE=90°， .∠OAC=90°， ,OA是⊙O的半径，∴.CA是⊙O的切线： 答图 (2)6√2解：，∠EAC-∠ABC,∠C-∠C, .AC CE 8 4 △ABCn△EAC,BC-AC,BC8 ∴.BC=16,∴.BE=BC-CE=12, 如答图，连接BD,'AD平分∠BAE, ∠BAD=∠EAD,∴BD=DE,BD=DE, ,BE是⊙O的直径，.∠BDE-90°， ·DE=BD= 2BE=6V2.故答案为62. 知识梳理 知识点11.(1)外(2)上(3)内2.(1)0(2)1(3)2 知识点21.切线切点2.过切点4.相等 知识点31.(1)不在同一条直线上(3)三边垂直平分线 2.(2)三条角平分线 跟踪训练 1.C2.相交3.D4.D5.B6.2 典例探究 例1(1)证明：AD=CE,CD=AE, 参考答案 ,四边形ADCE为平行四边形， 又，∠ACB=90°，且D为AB中点， ∴CD=2AB=AD=BD,平行四边形ADCE为菱形. (2)解：①30°四边形ADCE为菱形， ∴.DA=DC, .∠DAC=∠ACD, 又OA=OD=r,∴∠OAD=∠ODA, .∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD= 2∠OCD, 答图 ,CD切⊙O于D,∴.∠CDO=90°， .∠COD+∠ACD=2∠ACD+∠ACD=90°， ∠ACD=30°，故答案为30°； ②设半径为r,AC=4,∴，OC=4一r, .∠ACD=30°，∠CDO=90°， sin∠ACD=OD -亡，解得7 1 4 39 (3)解：由题意，作图如答图. 变式1(1)证明：连接DO,B0并延长BO 交AD于H点，如答图.，AB=BD,OA =OD, ∴.BO垂直平分AD, ∴.∠BHD=90°， 答图 ,BE为⊙O的切线，∴.OB⊥BE, .∠OBE=90°， AC为⊙0的直径，∠ADC=90°， ∴.四边形BEDH为矩形，.∠E=90°，∴，BE⊥DE; (2)解：BO垂直平分AD,AH-DH=AD, 四边形BEDH为矩形，∴.DH=BE=5, 在Rt△BDH中，.BD=AB=5√6，DH=5, ∴.BH=√(5√6)2-5=55， 设⊙O的半径为r,则OH=55一r,OD=r, 在Rt△ODH中，(55-r)2+52=r2,解得r=3√5，即⊙0 的半径为35. 例2(1)证明：如答图，连接OD,,AB是⊙O的直径， ..OB=OA, 点D是BC边的中点，.BD=CD,∴OD∥AC, DE⊥AC,垂足为E,∴.∠ODE=∠DEC=90, ,OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于D, ,DE是⊙O的切线； (2)解：如答图，连接AD,AB是⊙O 的直径，.AD⊥BC, 又：点D是BC边的中点， ∴.AD垂直平分BC,.AC=AB 答图 DE⊥AC,.⊙O的半径为5，AB是 ⊙O的直径，.AC=AB=10,∠ADB=90°， :∠DBC=∠AC=0mC-8器-把-号， ∴AD=AC=号×10=8 .CD=√AC-AD=√102-8=6， DB=CD=X6=4, 5 9