第16课时 三角形的基本概念与性质-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

当m,=-2时，a<0a=4XC二2-=-1 4×4 9 9 1 综上，a=2或-2 变式3解：(1)y=一x一4x-3(2)1 (3)证明：化简y=2(x-1)(x+3)得y=2x2+4x一6 则A,B,C三点的坐标分别为A(1,0),B(一3,0)，C(0,一6)， .A,B,C三点关于原点对称的点坐标分别为A1(一1,0) B1(3,0),C1(0,6), ∴.经过A1,B1,C1三点的函数表达式为y=一2x2+4x十6， ∴.y=一2.x2十4x十6与原函数y=2(x一1)(x十3)是旋转 函数. 课堂检测 1.A2.B3.854.0.35.576.0.87.A 8.解：(1)设函数关系式为y=kx十b,由题图可知，直线y=kx十 b经过点(25,30)和点(35,10)， 则有256士6二30·解得一2， 135k+6=10,16=80, 即函数关系式为y=-2x十80： (2)根据产品的利润率不得超过60%，可知产品的售价最高为 每台20×(1+60%)=32元，根据题意有(x一20)y=150, 将y=-2x十80代入(x-20)y=150中， 整理，得x2-60x十875=0， 解得x1=25,xg=35, 价格不得超过32元， x=25,即售价应该定为25元 9解：1D103.5)y=-+号x+6 1 ,A(0,8),AB=1,.B(1,8),如答图，过点F作FK⊥x轴于 点K,过点E作EL⊥FK于点L,.∠ELF=90°， ∠FEC=135°，∠LEC=90°..∠FEL=45°， ∴，△LEF是等腰直角三角形，FL=LE, ·EF-72 7 5 EL=FL=5=1.4 .EC=LK=2.1, .FK=LF+LK=1.4+2.1=3.5. ,OC=11.4,KC=LE=1.4,∴.OK=10, .点F的坐标为(10,3.5)， 设抛物线的解析式为y=ax2+bx十c,把点B(1,8),H(0,6), F(10,3.5)分别代入， ra十b十c=8, 得 c=6. 解得 1b= 9 100a+106+c=3.5, 49 c=6, 1 9 小抛物线的解析式为y=一4x+ 故答案为(10,3.5)，y= 1 9 4x+4x+6: (2:N/x轴，N(s,） 点M的纵坐标为2· 当y时 1 9 7 t+6= 21 参考答案 解得1=10会去，=-1，故M(-1,号） ∴.MN=8-(-1)=9. ∴.保护网MN(线段MN)的长度至少为9米 10.解：（任务1）y=-x3-6x-3y=-x2+6x-3 (任务2)如答图，左侧抛物线解析式为 y=-(x十3)+6，点M(-1,2)关于 y轴的对称点为N(1,2),左侧终点坐 标为Q(-5,2)关于y轴的对称点为 T(5,2), 根据题意，两侧无人机需要同时飞行 答图 移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A(0,5) 处，故M(一1,2)平移到A(0,5),N(1,2)平移到A(0,5),故 左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长 度，得到符合题意的新位置抛物线即y=一(.x+3一1)2+6+ 3=-x2-4x+5, 故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位 长度，得到符合题意的新位置抛物线即y=一(x一3+1)2十6 +3=-x2+4x+5,当y=7时，-x2-4x+5=7, 解得x=二4生25-一2士2， 2 当y=7时，一x2+4x十5=7， 解得x=4生？2=2士2， 2 故水平宽度为2+√2一(-2-√2)=(4+2√2)（米）， 答：水平宽度为(4+2√2)米。 任务3)①6.25②32 第四章三角形 第15课时 线、角、相交线与平行线（含命题） 课前小测 1.C2.D3.C4.D5.C6.C7.C 知识梳理 知识点11.(1)两个一个没有(2)直线线段 2.(1)射线(2)60'60”(3)90°180°相等相等 知识点21.∠3∠4180°∠4 2.(1)有且只有(2)垂线段最短 跟踪训练 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.C3.(1)×(2)/(3)×(4)×4.C5.C6.D 7.(1)假命题(2)假命题(3)真命题(4)真命题8.A 典例探究 例1B变式1B例2B变式2C 课堂检测 1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.C8.C9.D10.C11.B 12.2.713.43 第16课时三角形的基本概念与性质 课前小测 1.B2.D3.A4.C5.C6.B 知识梳理 知识点11.(1)线段2.(1)180°等于(2)大于小于 (3)稳定性 知识点2重要结论中线：(1)DC(2)S△Ae高：(2)∠ADC 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 角平分线：(1)∠CAD中位线：(2)BCBC 跟踪训练 1.D2.2<c<63.10°4.C5.22°6.10 典例探究 例1A变式1C例25V3+5变式2①②④ 课堂检测 1.C2.C3.B4.C5.145°6.37.A8.B9.C10.A 11.59 12.解：(1)例如：①∠BAE-∠AEB: ,四边形ABCD为平行四边形. ∴AD∥BC,.∠DAE=∠AEB :AE平分∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAE=∠AEB ②AB=AE.(或CD=CE=BE=AB); 四边形ABCD为平行四边形， ,.AD∥BC,.∠DAE=∠AEB, ,AE平分∠BAD, .∠BAE=∠DAE=∠AEB,.AB=BE; ③AD=2AB,四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC ∴.∠DAE=∠AEB AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE=∠AEB,AB=BE .BE=CE.'.AD=2AB: (2)如答图1，作∠BAD的平分线AE 交BC于点E,则∠1=∠2， ,□ABCD,∴.AD∥BC,AD=BC, 3c .∠1=∠3=∠2，.AB=BE 答图1 ..AD=2AB. ,.BC=2BE,即BE=CE ∴.四边形ABCD是“角分平行四边形”： (3)如答图2，延长AE交DC延长线于点F,连接BN, '四边形ABCD角分平行四边形ABCD,AE是角分线， ∴AB∥CD,AB=CD,BE=CE, ∴.∠BAE=∠F,∠ABE=∠FCE ∴△ABE≌△FCE(AAS) ..AB=CF, 又，∠ANM=∠FNC, ∴.△AMN∽△FCN, .'BM=2AM,.'FC=AB=3AM. 答图2 深0 设S△AMN=x,则S△awN=2x,S△N=3S△BY=6.x, 1 BE-CESASA SAC3A △AMN区域的花卉种植费用为a元 ∴△CEN区域的花卉种植费用3a元. 第17课时等腰三角形与直角三角形 课前小测 1.A2.B3.D4.B5.D6.10 知识梳理 知识点1相等相等 知识点2等腰三角形性质：(1)等边对等角 (2)三线合一判定：(2)两个角 等边三角形性质：(1)60°(2)相等判定：(3)等腰三角形 知识点31.(1)互余(2)a+b2=c8(3)斜边的一半 AB(4斜边的-半号AB2.(2)互余(3)a+6- 1 跟踪训练 1.B2.A3.B4.D5.C6.C 典例探究 例1D变式1C例2 20 2 变式230 课堂检测 1.B2.C3.B4.B5B6.287.D8.C9.C10.0 9 11.证明：，DE⊥AC,DF⊥AB,.∠BFD=∠CED=90°， D是BC的中点，.BD=CD, 在Rt△BDF与R△CDE中(DB=DC, DF=DE, .Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),.∠B=∠C, .AB=AC,∴.△ABC是等腰三角形 12.解：(1)217 (2)如答图1所示，过点C作CF⊥BD,垂足为F, CE=CDER=DF=号ED=3 ,·四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC,.∠ADE=∠CBF, 又，∠DAE=∠BFC=90°，∴.△DAEC∽△BFC, .AD_BF DE BC 即AD、5 6=AD解得AD=V30(负值已舍去). 0 E 2 M 答图1 答图2 (3)如答图2所示，作DM⊥BC交BC延长线于点M,作CN ⊥BC交BD于点N, .∠ABC=∠ACD=∠M=90°， .∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴.∠1=∠3， 又.AC=CD,.△ABC≌△CMD,.CM=AB,BC=DM, 设AB=t,则CM=AB=t,BC=DM=2AB=2t, ,AB⊥BC,DM⊥BC,CN⊥BC,.AB∥CN∥DM ∴.∠BNC=∠BDM,∠BCN=∠M,.△BNC∽△BDM :∠ABE-∠ENC,∠BAE=∠ECN,∴△ABEC∽△CEN, 3 第18课时全等三角形 课前小测 1.A2.C3.B4.D 5.证明：AC平分∠BAD,∴.∠BAC=∠DAC. ,AB=AD,AC=AC,.△BAC≌△DAC(SAS). ∴.∠B=∠D 知识梳理 知识点2.(1)相等相等(2)相等(3)相等相等 3.三边两边和它们的夹角两角和它们的夹边两角分别相 0第一部分 基础过关 第16课时 三角形的基本概念与性质 课前小测 1.(2025·广东模拟)若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2.(2025·四川期末)下列长度的三条线段能组成三角形的是 A.1 cm,2 cm,3.5 cm B.4 cm,5 cm,9 cm C.5 cm,8 cm,15 cm D.6 cm,8 cm,9 cm 3.如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用 的几何原理是 A.三角形的稳定性 B.垂线段最短 C两点确定一条直线 D.两点之间，线段最短 4.(2025·龙岗模拟)如图，已知AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°，则∠EDC等于 A A.40 B.30° C.20° D.10 5.(2025·盐田模拟)下列尺规作图，能确定∠BAD=∠CAD的是 6.(2025·河南)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的 三个顶点均在网格线的交点上，点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点，连接 DE,则DE的长为 1 2 B.1 C.√2 D.√3 知识梳理 知识点1三角形的概念及性质 1.三角形的基本概念： (1)三角形的概念：由不在同一直线上的三条 首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 111 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 (2)三角形的分类： 锐角三角形 按角分{直角三角形 钝角三角形 三角形 三边都不相等的三角形 按边分 底边和腰不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 2.三角形的性质： (1)角的关系：三角形三个内角的和等于 ;三角形的一个外角 和它不相邻的两个 内角的和， (2)边的关系：三角形任意两边之和 第三边；三角形任意两边之差 第三边. (3)稳定性：三角形具有 【跟踪训练】 1.在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则△ABC为 A.等边三角形 B.钝角三角形 C等腰三角形 D.直角三角形 2.在△ABC中，a=4,b=2,则第三边c的取值范围是 3.(教材习题改编)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD,AE分别是角平分 线和高，则∠DAE的度数是 B 知识点2三角形的重要线段 名称 图形 重要结论 1 中线 (1)BD= BC:(2)SAMD= AAWC (3)三角形的重心：三角形的三条中线的交点， (1)AD⊥BC;(2)∠ADB= =90°； 高 (3)S△ABD:S△ADC=BD:CD; (4)三角形的垂心：三角形的三条高所在直线的交点 D (1)∠BAD= 2∠BAC;(2)DE=DF; 角平分线 (3)S△ABD:S△ADc=AB:AC; (4)三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点. (1)AD=BD,AE=CE;(2)DE// 且DE= 2 中位线 (3)S△ADE:S四边形BDBc=1:3; (4)三角形的三条中位线把三角形分成四个全等的小三角形 补充：三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点， 112 第一部分基础过关 【跟踪训练】 4.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，边AB,BC分别与网格线交于点D,E, 连接AE,CD交于点F,则点F为△ABC的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.中心 B DE 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，且DE∥BC,则 ∠EDC的度数是 6.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD,AE分别是角平分线和高，则∠DAE的度数是 典例探究 考点①三角形的边角关系 例1(2023·深圳)如图为商场某品牌椅子的侧面示意图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD =50°，则∠ACB= ( A.70° B.65 C.60° D.50° D 图1 图2 例1题图 变式1题图 变式1(2025·深汕合作区二模)如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形 ACDE构成，若∠D=59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为 ( A.59° B.41 C.31° D.49° 考点2三角形中的重要线段 例2(2021·深圳)如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10,作AD的垂 B 直平分线交AC于点F,作DE⊥AC,则△DEF周长为 变式2(2025·罗湖模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心， F头E 适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点M,N;再分别以点M,N为圆心，大 于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.则下列结 M 论：①BP是∠ABC的平分线；②AD=BD;③S△BD:S△ABD=1:3;④CD= ,BD其中正确的是」 (填正确结论的序号) B NI C 113 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 答题规范 答 示范题：如图，AB=AD,AC平分∠BAD.求证：∠B=∠D.(4分) 证明：，AC平分∠BAD 板 ∴.∠BAC=∠DAC, 与 .AB=AD,AC=AC, 分 .△BAC≌△DAC(SAS),… 3分 标 准 .∠B=∠D 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：6】 1.(2025·广东模拟)一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是 A.2 B.3 C.9 D.10 2.(2025·广东期末)如图所示，CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误 的是 A.BA=2BF B.∠ACE 2∠ACB C.AE=BE D.CD⊥AB 4 309 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 3.(2025·宝安模拟)将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线12上， 若l1∥12，∠1=25°，则∠2的度数是 A.459 B.35 C.30 D.25 4.(2025·广东)如图，点D,E,F分别是△ABC各边的中点，∠A=70°，则∠EDF= A.20° B.40° C.70 D.110 5.(2025·南山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边 AD.CD于点M.N:再分别以点M.N为圆心，大于号MN长为半径作弧交于点P:作射线DP交 边AB于点E,若∠ADE=35°，则DEB= 6.(2025·湖南)如图，在△ABC中，BC-6,点E是AC的中点，分别以点A,B为圆心，以大于2AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交AB于点D,连接DE,则DE的长是 114 第一部分 基础过关 (二)能力提升 【建议用时：5分钟 正确率：5】 7.(2025·上海模拟)三角形的重心是 A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线所在直线的交点 C,三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点 8.(2025·南山模拟)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4.以点A为圆 心，以AC长为半径作弧，交BC于点D;再分别以点C和点D为圆心，以大于2DC 长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线AE交BC于点F,则BF的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 9.(2025·深圳模拟)通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等是 B C 10.(2025·坪山模拟)如图，a∥b,∠1=119°，∠2=99°，则∠3为 A.142 B.132° C.148 D.158° B 第10题图 第11题图 11.(2025·山东期末)如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°， ∠ABC=48°，那么∠3= (三)命题新方向 12【新定义】(2025·龙岗二模)若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称 为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”.例如：如图1，在口ABCD中，∠BAD的角平分线 AE交BC于点E,若E为BC边的中点，则称□ABCD是“角分平行四边形”，AE是“角分线”， 【性质】(1)如图1，从定义上我们可以得到“角分平行四边形ABCD”具有“平行四边形，AE平分 ∠BAD,BE=CE”的基本性质，除此之外，还有其他性质吗？请写出其中一条性质，并 说明理由； 【判定】(2)如图2，在□ABCD中，AD=2AB.求证：四边形ABCD是“角分平行四边形”； 115 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 【应用】(3)现计划在如图3所示的“角分平行四边形”ABCD绿地上进行景观美化，其中小路AE是 它的“角分线”，另一条小路CM与边AB交于点M,且BM=2AM,在△AMN和 △CEN区域种植同品种的花卉，若△AMN区域的花卉种植费用为a元，求△CEN区 域的花卉种植费用（用含有a的式子表示）. 图1 图2 图3 尝试·反思 作一个等腰三角形的顶角平分线的尺规作图的方法有哪些？与同学交流一下， 116