第20课时 锐角三角函数及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 又AC=BC,EA=ED ∴.∠DAE=∠ADE=a, ∴.∠E=180°-2a,∴.∠E=∠BAD, .四边形ABDE为双等四边形； H C ②如答图1，作AH⊥BC于点H, 答图1 cmsB=号，AB=5i .BH=3,AH=4, 设CH=x,则AC=BC=x+3,在Rt△AHC中，CH+AH =AC,即计=（十3），解得x=名， CH=名，BC=AC=5,若∠B- ∠D=∠CAD,CA=CD时， CD=AC=25 6 H C 若∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC 答图2 25 时，.AD=AC=6: 如答图2，作AM⊥CD于点M,.CM=DM, 7 67 =cos∠ACM=cos∠ACB= 25=25' 6 7 、257 .CM=25×7=6 D ∴CD-2CM-号若∠D-∠ACB, DA=DC时，如答图3， HC .∠DAC=∠DCA=∠CAB= 答图3 ∠ABC,∴.△CAB△DAC, 25 CD_AC CD BC-AB25 =5cD=125 36 6 棕上所述，满足条件时，CD-百文了 36 第20课时锐角三角函数及其应用 课前小测 1.D2.A3.C4.5 4 5.1.56.1.02 知识梳理 知识点12名竖竖之语15 2 跟踪训练 1A2A3号 4.B5.D6.5.6 典例探究 例1D变式1C 例2(1)B(2)A变式2(1)A(2)C 课堂检测 1.A2.C3.B4.B5.C6.9.67.14.6cm8.C9.B10.B 11.(65-6)12.0.4 13.解：(1)如答图，过点E作EP⊥AC于点P,,AB=30cm, BE-号AB,AE-号AB-20em ,∠AEP=a=10°，∴.GE=AE·cosa=20Xcos10°≈19.6(cm). .CD=GE=19.6(cm) 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为l9.6cm; E B H D T 答图 (2)如答图，过点B作CF的平行线交ED于点G,交NM的 延长线于点H,作BT⊥CD于点T, 则∠EBG=&=10°，∠HBM=180°-(145°-a)=45°= ∠BFT,.a=10°， 则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG,NF=MN =8cm, 1 AB-30 cm,BE-3 AB-10 cm, 在△BEG中，EG=BE·sina=l.7(cm),BG=BE·cosa= 9.8 cm=DT, GD=DE-EG=21.7-1.7=20(cm)=BT=TF, 则DF=DT+TF=9.8+20=29.8(cm), ∴.DN=DF-NF=29.8-8=21.8(cm). 第五章四边形 第21课时平行四边形 课前小测 1.C2.B3.D4.B5.C6.AE=CF(答案不唯一) 知识梳理 知识点12.(1)相等(2)相等(3)互相平分 知识点22相等3.平分4.平行且相等 跟踪训练 1.C2.A3.2或3或4或5或6 4.证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.CD∥AB,∠AFN=∠CEM, .EN=FM,..EN+NM=FM+MN,:.FN=EM. ,AF=CE,∴.△AFN≌△CEM(SAS)..AN=CM. 5.C6.A 7.证明：AC=DB,∴.AB=DC BE∥CF,∴.∠EBC=∠FCB,∴.∠ABE=∠DCF BE=CF,.△ABE≌△DCF(SAS), ∴.AE=DF,∠BAE=∠CDF,∴.AE∥DF, .四边形AEDF是平行四边形. 典例探究 例1C 变式1解：(1)①BF=CE,理由如下： ,CE⊥AD,BF⊥AD,∴.∠CED=∠F=90° :AD是△ABC的中线，.BD=CD. ∠ADC=∠BDF,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴.BF=CE; ②8-27CE⊥AF,∠AEC=90°， ∴AE=√AC-CE=√82-6=2√7. 由①知，BF=CE=8,∠F=90°， ∴.AF=√AB2-BF-/I02-62-8, EF=AF-AE=8-2√7，故答案为8-2N7; (2)DE·AD是定值，理由如下： .AE=AC?-CE,AF=AB2-BF2,第一部分 基础过关 第20课时 锐角三角函数及其应用 课前小测 1.(2025·云南)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sinA= A. 1 5 B.2 13 03 777777777777777 B C 图1 图2 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2025·南山模拟)如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得BC=15m,则树的高度 AB为 ( B.、16 15 A.15tan a m -m C.15sin a m sin a m D tan a 3.(2025·深圳模拟)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端 的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁 后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意 图，经测量，钢条AB=AC=acm,∠ABC=0,则车位锁的底盒长BC为 ( A.acos 0 B.asin 0 C.2acosθ D.2a sin 0 4.(2025·龙岗模拟)已知一个斜坡的坡角为a,坡度为3：4，那么cosα= 5.(2025·宝安二模)某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如 图1).已知停车场入口的栏杆AO的长度为3米（如图2所示），栏杆AO从水平位置绕点O顺时针 旋转到A'O的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角∠AOA'为30°时，栏杆A端升高了 米 A 30° 图 图2 O BD 第5题图 第6题图 6.(2025·龙岗模拟)如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO= 70°，如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°，那么AC的长 度约为 米.(sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，c0s70°≈0.34，c0s50°≈0.64) 139 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识梳理 知识点①锐角三角函数 1.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为△ABC中一锐角，则 ∠A的正弦sinA= ∠A的对边 =a:∠A的余弦cosA ∠A的邻边b 斜边 斜边 c ∠A的对边a 6 ∠A的正切tanA= ∠A的邻边b1 a 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。 2.特殊角的三角函数值 类别 30° 45° 60° 基本图形 sin a d 7 2 609 cos a 1 2 45o 1 T30 45 B 3 C B 1 C tan a 【跟踪训练】 1.(2025·深圳模拟)在△ABC中，∠A=80°，∠B=70°，那么sinC的值是 A B.1 2 2.(2025·龙岗模拟)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为 A.1 号 C.3 第2题图 第3题图 3.(2025·坪山模拟)如图，在4×4正方形网格中，点A,B,C为网格交点，AD⊥BC,垂足为D,则 cos∠BAD的值为 知识点2解直角三角形 1.常用关系 (1)边的关系：a2十b2=c2(勾股定理)； (2)角的关系：∠A十∠B=90°（两个锐角互余）； b 、1 (3)边角关系：sinA=cosB=g,cosA=sinB=,tanA=只 b tan Bi a C 140 第一部分基础过关口 (4)面积：S=2ab=2h,其中h为斜边上的高。 2解直角三角形的实际应用 类型 图形 相关概念 坡角：a, h 坡面 坡角 水平线 h 坡度（坡比）：i=tana= 视线 铅 视线在水平线上方的角叫作仰角； 仰俯角 线 衣年收 视线 视线在水平线下方的角叫作俯角 北 北偏东30° 方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 方位角 A7030° 0一东 如图，点A在点O的北偏西70°方向上 45 【跟踪训练】 4.(2025·南山模拟)西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭 表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的 长)为a.已知，冬至时北京的正午日光人射角∠ABC约为26.5°，则立柱AC高为 () A. a tan 26.5 B.atan26.5° C.asin26.5° D c0s26.5 4日光 B 北（子）6 2南（午） 27° E63 冬至线立春春分立夏夏至线 立冬秋分立秋 D 第4题图 第5题图 第6题图 5.(2025·南山模拟)河堤横断面如图所示，堤高BC=7m,迎水坡AB的坡比为1：√3，则AC的长为 ( A.14√2m B.21m C.14m D.7√3m 6.(2025·深圳模拟)如图，身高1.6米的小亮站在B点测得旗杆CD的仰角为27°，小亮向旗杆走了 6米到达F点，测得旗杆CD的仰角为63°，则旗杆的高度为 米.(sin27°≈0.45，c0s27°≈ 0.90,tan27°≈0.50) 141 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 典例探究 考点①锐角三角函数 例1(2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的 值为 A.39 C② 3 B.3 4 D.3 人 D 例1图 变式1图 变式1(2025·深圳模拟)如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物.在水平地面上的点A,C处 分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A,C,D在同一直线上，BD⊥AC,若测得AC =200m,则塔高BD是 ( 200 A.200tan a m B m C.100tan a m D.100sin a m tan a 考点2解直角三角形 例2(1)(2023·深圳)爬坡时坡角与水平面夹角为a,则每爬1m耗能(1.025-cosa)J,若某人爬了 1000m,该坡角为30°，则他耗能（参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414） A.58J B.159J C.1025J D.1732J ,15° A1 15 毅片相机 R 的光轴线 E M 45 130° 77777777777777777777 FD B B C 例2(1)图 例2(2)图 变式2(1)图 变式2(2)图 (2)(2024·深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为 45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的 高度为参考数据：m53≈青cos53≈号an58≈) 4 ( A.22.7m B.22.4m C.21.2m D.23.0m 变式2(1)(2025·深圳模拟)如图，在坡角为α的山坡上有A,B两棵树，两树间的坡面距离AB=6 米，则这两棵树的竖直距离BC可表示为 ( ) A.6sina米 R品米 C.6cosa米 D米 (2)(2025·福田二模)一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”AC与地面DO 的夹角为45°（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为BD.当无人机处于离地面100√3 米时，若∠BAC=∠DAC=15°，则此时宽度BD的值为 ( ) 100 A.150 B.1003 C.200 D.35+50 142 第一部分 基础过关 答题规范 示范题：(2025·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度 (如图1).某学习小组设计了一个方案：如图2所示，点A,E,C依次在同一条水平直线上，CD」 AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世 纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的 高度（结果取整数）.参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6.(6分) B B B 答题 31 Gh-= 319F22D A A E 板 图1 图2 答图 解：如答图，延长DF与AB相交于点G,根据题意，可得DG∥CA, 评 有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB=90°，AG=EF=CD=1.7,DF=CE=32, 标 GB GB 在Rt△FGB中，tan∠GFB= GF.GF= tan 31, 在Rt△DGB中，tan∠GDB G GD·GD= GB tan 22. …2分 .GF+DF=GD.. GB tan31°+32- GB tan 22 ……………………………………………………4分 ..GB= 32×tan22°tan31°。32×0.4X0.6 tan31°-tan22° 0.6-0.4 =38.4，…… ………5分 .AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40. 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟 正确率：7】 1.(2025·天津)tan45°-√2cos45的值等于 C.1 √2 A.0 B.1 D.1-2 2.(2025·深圳模拟)如图，在坡度i=1：√3的山坡AB上植树，要求相邻两树间的 水平距离AC为2√3m,则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为 ( i1:3 A.√3m B.2 m C.4m D.4√3m 143 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 3.(2025·深圳模拟)如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为h的斜面顶端向 下滑，若斜面与水平面的夹角为α，沿斜面下滑的时间为t,则小车在斜面上下滑的平均速度为 A号 h h h B. D t·sina "t·tana t·cosa 仰角15° 摄像头A-- 水平线 俯角15° B 7777177777771T 7777777777777777977 a 图1 图2 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2025·光明二模)要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般 要满足50°≤α≤75°，如果现在想要安全地攀上5m高的墙，那么使用的梯子最短约为（结果精确到 0.1m,参考数据：sin50°≈0.77，c0s50°≈0.64，sin75°≈0.97，c0s75°≈0.26》 ( ) A.4.9m B.5.2m C.6.5m D.19.2m 5.(2025·宝中模拟)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被 识别)，图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为165cm.人笔直站在离摄像头 水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（参考数据：sin15°≈0.26， cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) A.165 cm B.184 cm C.192 cm D.219 cm 6.(2025·盐田二模)如图，平地上一旗杆高为10米，两次观察地面上的影子，第一次太阳光线OA与 地面成45°，第二次太阳光线OB与地面成27°，第二次观察到的影子比第一次长 米（结果保 留一位小数，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51) 地面 B 第6题图 第7题图 7.(2025·罗湖二模)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳.小敏设计 了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=20cm, ∠AOB=120°；若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了 (保留一位小数，√3≈1.73) 144 第一部分 基础过关 (二)能力提升 【建议用时：6分钟正确率：/5】 8.(2025·光明二模)如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为 30°，连接装置转动90°后箱子完全打开，每一根连接装置长15cm(可看作一条线段)，当三层工具箱 完全打开后，整体高度比打开前增加 ( A.15√3cm B.30.3 cm C.(15√3-15)cm 15W315、 D.2 太阳光线 T D 65A 第8题图 第9题图 9.(2025·深圳模拟)如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB,P为立柱上的滑动调节节 点，伞体的截面示意图为△PDE,F为PD的中点，AC=2.8m,PD=2m,CF=1m,∠DPE=15°. 根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角 为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77， c0s50°≈0.64) ( ) A.2.0m B.1.5m C.1.3m D.1.2m 10.(2025·广东)如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE,AF相交于点G,连 接CG.若AB=8,BC=l2,则tan∠GCF的值是 ( ) 2 B.3 c.310 10 D. 天花板A B 3 m B M C 地板 G 第10题图 第11题图 第12题图 11.(2025·南山模拟)如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN上的 C,D两点反射到天花板上形成光斑A,B.中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，3.由光 的反射原理可知，∠PCM=∠ACV=a,∠ADM=∠BDN=B.已知天花板与地面是平行的，且它 们之间的距离为3m,当a=45°，3=30°时，光斑移动的距离AB为 米 12.(2025·南山外国语三模)如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长 度相等的支柱构成.小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面 之间的夹角最大能达到约60°，即∠BAF=60°，最小能达到约37°，即∠CDF=37°，已知该三脚架的 支柱AB=CD=1.5m,则该三脚架可调节的部分BC的长度为 m.(答案精确到0.1m,已 知cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，√3=1.732) 145 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 (三)命题新方向 13.【跨学科】(2025·深圳模拟)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的 化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管， AB=30cm,BE=3AB,试管倾斜角a为10. (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D,N, F在一条直线上)，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长度.（参 考数据：sin10°≈0.17，c0s10°≈0.98，tan10°≈0.18) 高锰酸钾1 E 蓬松的棉花团 D T 图1 图2 尝试·反思 总结初中数学中有哪些常见的相似三角形的基本模型？思考这些模型有什么共性呢？ 146