第5课时 一元一次方程(组)及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第一部分基础过关 第二章方程（组）与不等式（组） 第5课时 一元一次方程（组）及其应用 课前小测 1.(2025春·博山区期末)x=3是下列哪个方程的解？ A.3x-1=2 B.2x-3=-x C.1x-3|=1 D.(x-1)2=4 2.若方程(m十1)xm-2十3m十3=一2是一元一次方程，则m的值是 A.-2或-1 B.-1 C.-2 D.3 3.(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组） 解的问题.例如方程x十2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地，方程2x十3y=21的正整数 解的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025春·海勃湾区期末)已知2m=n十1，则下列等式中不成立的是 A.2m-1=n B.2m+3=+3 C.m=”+1 2十2 D.4m=2n+2 37x+2y=81, 5.(2025·台湾)若二元一次联立方程式 的解为a, 则a+2b的值为 23x-2y=39 ly=6, A.33 B.9 C.-3 D.-27 知识梳理 知识点I等式的基本性质 基本性质 文字语言 符号语言 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍 基本性质1 如果a=b,那么 等式两边乘同一个数或除以同一个 的 如果a=b,那么 基本性质2 数，结果仍相等 如果a=b(c≠0)，那么 特别提醒：等式不可以除以0,0作分母无意义」 【跟踪训练】 1.根据等式的性质，下列变形不正确的是 A.若a=b,则a+3=b+3 B.若4a=6,则2a=3 C.若a=b,则-5a=-5b D.若a=b,则=b 2.(2025·港南区一模)已知5a+8b=3b+10,利用等式性质可求得a+b的值是 21 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识点2一元一次方程 1.概念：含有未知数的表示量相等的等式称为 ;在一个方程中，只含有 未知数（元）， 且方程中的代数式都是 未知数的次数 ,这样的方程叫作 2.方程的解：使方程 的未知数的值，叫作方程的解.求方程的解的过程称 为 3.一元一次方程的一般形式：ax十b=0(a≠0). 4.解一元一次方程的步骤， (1)去分母：方程中未知数系数有分母时，给方程两边都乘以各分母的 特别提醒：不要漏乘不含分母的项（尤其是常数项），分子是多项式的要添括号. (2)去括号：当方程中有括号时，先去括号 特别提醒：不要漏乘括号内的每一项，括号前是负号时，去括号后括号内各项均要 (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的 边，其他项都移到方程的右边. 特别提醒：移项要 (4)合并同类项：系数相加，字母及其指数均不变，把方程化成ax=一b(a≠0)的形式. b (5)系数化为1：方程两边都除以未知数的 ,得到方程的解是x= a 【跟踪训练】 3.下列选项中，是方程的是 A.x+1=2 B.x+y C.3+5=8 D.x+1<3 4.(2025春·桓台县期末)某同学解一元一次方程5x一1=■x十3时，把“■”处的数字看错了，解得 x=4,他把“■”处的数看成了 ) A.4 B.-9 C.6 D.-6 5.(2025春·鹤壁期末)对于下面解方程的过程，你认为正确的是 A.方程8x-3x=-10,合并同类项，得5x=10 B.方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1),去括号，得2x+3-5+5.x=3x-3 C.方程2x,+1_3x。2-1去分母，得2(2x十1)-3x-2=6 3 6 D.方程5x=-3,系数化为1，得x= 3 6.(2025·陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时 长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg.已知小康平均每小时采摘6kg,小悦平均每 小时采摘4kg,小康采摘的时长是 小时. 22 第一部分基础过关 知识点3二元一次方程组 1.二元一次方程： (1)概念：含有 未知数，并且所含未知数的项的次数 像这样的方程叫作二元一 次方程. (2)二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程左右两边相等的两个 的值，叫作二元 次方程的解. 2.二元一次方程组： (1)定义：把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 特别提醒：方程组中含有两个相同未知数，含有每个未知数的项的次数都是1. (2)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的 ,叫作这个二元一次方程组的解 3.二元一次方程组的解法：核心是 【跟踪训练】 7.2025春·中山区期末)已知是 是二元一次方程2x十ay=10的一个解，则a的值为 2x+y=7,① 8.解方程组： 2x-3y=3.② 知识点④兴三元一次方程组 1.定义：含有 未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有 方程，像 这样的方程组叫作三元一次方程组， 2解三元一次方程组的方法步骤：三元一次方程组 为二元一次方程组，再进一步消元转 化为 方程求解。 【跟踪训练】 x=2y, 9.三元一次方程组 x+y一之=5，的解为 y+之=3 典例探究 考点等式基本性质的综合应用 例1下列等式的变形正确的是 A.由a十b=a-c可得b=c B.由2=C可得b=c aa C.由2x=3一x可得x=3 D.h写-1=可得2x-1=3x 23 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式1若a=b,则下列计算正确的有 ①a+m=b+m;②a-m=b-m;③am=b;④a+b=m+m A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点2由实际问题抽象出一次方程（组） 例2(2025·罗湖校级三模)某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜 架50个.两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安 排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组 ( (x+y=60, A. B./+y=60, x十y=60, x+y=60, C D 200x=2×50y 2×200x=50y 200x=50y 200x=2X50y 变式2(2025·吉林)《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问 车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一 车，最终剩下9人因无车可乘而步行.问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方 程为 考点3一次方程（组）及其解法 例3(1)(2025·深圳)若关于x的方程x十a=5的解为x=1,则a= (2)(2024·深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中， 一房七客多七客，一房九客一房空诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客 房住7人，那么有？人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房 x间，房客y人，则可列方程组为 A. 7x+7=y, 7x+7=y, B. 9(x-1)=y 9(x+1)=y 法 7x-7=y, 7x-7=y, C. D. 9(x-1)=y 9(x+1)=y 宗 变式3(1)若方程2m一(1十2x)=6的解为x=-2,则m的值为 (2)(2025·罗湖区二模)“拔萝卜，拔萝卜，嘿呦嘿呦拔萝卜，嘿呦嘿呦拔不动，小兔子，快快 来，快来帮我们拔萝卜…”经典儿歌《拔萝卜》深受小朋友喜爱.这一天，一群兔爸爸、兔 妈妈带着各自的小兔子宝宝来到田地里拔萝卜；领队兔爷数了数，大小兔子正好100只； 规定每只大兔子拔3个萝卜，而小兔子每3只合作拔1个萝卜，收工后，兔爷数了数萝卜， 刚好100个，若设大兔子有x只，小兔子有y只，则下列所列方程组正确的是 x+y=100, [x+y=100, [x+y=100, x-y=100, A. B =100 y D. 3 3x- =100 3 3+y=100 3 =100 24 第一部分基础过关 答题规范 答 示范题：解关于x的一元一次方程：43-1=242 5 3 .(5分) 解：去分丹，得3(4x一3)-15=5(2x-2),…1分 与 去括号，得12x-9-15=10x-10, 分 移项，得12x-10x=24-10,… …3分 标 合并同类项，得2x=14, 准 系数化为1，得x=7.…5分 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：8分钟正确率：5】 1.(2025·烟台)某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的 九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为 A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 2.(2025·罗湖区校级模拟)地理老师介绍到：长江比黄河长836k,黄河长度的6倍比长江长度的 5倍多1284km.小东根据地理老师的介绍，设长江长为xkm,黄河长为ykm,然后通过列、解二元 一次方程组，正确地求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是 ( A./2-y=836, B./-y=836, C.+y=836, D./+y=836, 6y-5x=1284 6.x-5y=1284 6y-5x=1284 5x-6y=1284 3.(2025春·海淀区校级期末)《孙子算经》中记载：“今有四人共车，三车空；三人共车，八人步，问人和 车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每4人乘一辆车，最终剩余3辆空车，若每3人同乘一辆车， 最终剩下8人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车.根据题意，可列方程 为 4.(2025春·洛宁县期末)如果关于x的方程2十1=3和方程2-“，乙=1的解相同，那么4的值为 3 5.解方程（组）： 0g21- (2)/+2y=1,0 3 3x+4y=7.② 25 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 (二)能九提升 【建议用时：5分钟正确率：/4】 6.(2025·宝安区二模)滨海学校在“玩转数学”为主题的数学节活动中，将x份奖品分给了y名学生， 若每人分4份，则剩余30份；若每人分5份，则还缺20份，根据题意可列方程（组） ( [x+30 C.4y+30=x, 4 y A.4y-30=5y+20 B.4x+20=5x-30 D 15y-20=x x-20 -y 7.(2025春·铜梁区期末)已知=2， 是关于x,y二元一次方程mx十ny=4的解，则代数式4m+ y=3 6n-5的值是 8.(2025·南山区模拟)我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每 条对角线上的三个数之和相等.如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是 2025 第8题图 第9题图 9.如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高76cm的收纳柜恰好可以收纳 把休闲凳。 (三)命题新方向 10【问题解决】风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹 条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一 起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2.已知单根膀条长是胸腹高 的5倍，门条比单根膀条短10cm,图1中BC的长是门条长的号AB,CD的长均等于胸腹高.求 这只风筝的骨架的总高. A B D 头部高 胸腹高 总高 尾条 尾条 尾部高 图1 图2 尝试·反思 1.为什么要学习方程？方程的本质是什么？ 2如何得到一个方程？求解方程（组）的基本思路是什么？ 26新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识梳理 知识点11.B≠0A=0且B≠0 跟踪训练 1.x≠-32.x-23. 5 4.B 典例探究 例12变式1 一 y 例2解：(1)②③ x(x-3) x+3.-9 (2)小深：原式-[z十3(x-3)十(x+3)x一3D] x x-3十x十3=2x, 或者小圳：原式3·9+工·9三x一3+x士 x十x-3 x 3=2x. 变式2解：(1)原式= [+a]×a a-1_1 1 a+。当a=0时，原式=0-1--1 2。号 课堂检测 1.解：a十b-3=0,a十b=3, “原式=4a-46+86_4(a十6)_4 4 (a+b)2 (a+b)3a+b-3 2.解：原式= +1）a少- a a(a+1)2-a+11 1 1√5 当a=5-1时，原式= 5-1+1551 3.B 1 4.解：原式=(a+1)(a-) .(a-1)2 +1 =4-1 a(a+1)+ a+1 2a 2 a(a+1)a(a+1)a+11 当a=2in60°1=2×%1=3-1时， 2223 原式=5-1+1后3 5.解：(1)完全平方 （2)由-2万定知x0,则+1-2x-1+1 1 :牛+1=2+1+=(+2”-2+1=3-1=8， 1 小x+x+18 6.解：任务一：二通分的时候分子和分母没有同时乘(a一1) a+2 a-1 3 1 (a+1)(a-1) · 6a+a-D·- 6=2(a+1 1 =2a十2 任务三：由题意，得a2-1≠0，a≠士1，当-3<a≤1且a为 整数时，a=一2或a=0, 1 1 ①当a=-2时，原式=2X(-2)+2=-2: ②当a=0时，原式=2×0+2-2 11 第二章方程（组）与不等式（组） 第5课时一元一次方程（组）及其应用 课前小测 1.D2.D3.C4.B5.B 知识梳理 知识点1相等a士c=b士c不为0ac=bc日=b cc 知识点21.方程一个整式都是1一元一次方程 2.左、右两边的值相等解方程 4.(1)最小公倍数(2)特别提醒：变号(3)左特别提醒：变号 (5)系数 知识点31.(1)两个都是1(2)未知数 2.(1)两个相同未知数(2)公共解3.消元 知识点41.三个三个2.消元转化一元一次 跟踪训练 1.D2.23.A4.A5.D6.1.27.-2 8.解：①-②，得4y=4,解得y=1. 将y=1代人①，解得x=3.则原方程组的解为下=3， y=1. /x=4, 9.{y=2, z=1. 典例探究 例1B变式1C例2A变式23(x-2)=2x+9 3 例3(1)4(2)A变式3(1)？(2)A 课堂检测 1.A2.A3.4(x-3)=3x+84.4 5.解：(1)去分母，得3(x-1)+2(2x+1)=6, 去括号，得3x-3+4x十2=6， 移项，合并同类项，得7x=7, 系数化为1，得x=1. (2)解：①×3，得3x+6y=3③， ③-②，得2y=-4,解得y=一2， 把y=一2代入①，得x=5,所以方程组的解是=5， {y=-2. 6.C7.38.-20159.6 10.解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条AD的长 度为(5x-10)cm,BC=。(5z-10)cm,AB=CD=x,头部 高为xcm,尾部高为2xcm,这只风筝的骨架的总高为 m,由AD=AB+BC+CD,可得5z-10=zx+8 10)+x,解得x=20: 所以这只风筝的骨架的总高4x=80(cm). 答：这只风筝的骨架的总高80cm. 第6课时分式方程及其应用 课前小测 1.D2.A3.B4.D5.B