第19课时 相似三角形及其应用-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

等且其中一组等角的对边斜边和一条直角边 跟踪训练 1.B2.C3.C 典例探究 例130变式13例2A变式2B 课堂检测 1.C2.B3.D4.C5.C 6.证明：∠CBE=∠CDF,∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+ ∠CDF=180°，.∠ABC=∠ADC. ∠ABC=∠ADC, 在△ABC和△ADC中， ∠ACB=∠ACD. AC=AC. ∴.△ABC≌△ADC(AAS),∴.AB=AD. 7.A8.D9.C10.18 11.(1)证明：.四边形ABCD是矩形. ∴.AB=CD,∠B=∠C=90. .'∠BAE=∠CDF,∴.△ABE≌△DCF(ASA): (2)解：，△ABE≌△DCF,.AE=DF=13, .∠B=90°，AB=12,∴.BE=√AE2-AB=5 12.(1)证明：.MN⊥AB,.∠PCA=∠PCB=90° .AC=BC,PC=PC. AC=BC. 在△PCA和△PCB中，∠PCA=∠PCB. PC=PC. ∴.△PCA≌△PCB(SAS),∴.PA=PB (2)解：，EF垂直平分AC,,AE=EC .AD LBC.BD=DE,..AB=AE...AB=EC. ,△ABC的周长为20，.AB+BC+AC=20. .AC=9,∴.AB+BC=11. .BD=DE. ÷C-DE+BC=专BE+2EC+号AB= 1 (AB+BC) =5.5； (3)解：矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=12, CG=DG=2X12=6. ∠D=∠DCF, 在△DEG和△CFG中，DG=CG, ∠DGE=∠CGF, .△DEG≌△CFG(ASA).∴.DE=CF,EG=FG. 设DE=x,则BF=BC+CF=AD+CF=6十x十x=6十2x, 在Rt△DEG中，EG=√DE+DG=√x+36, ∴，EF=2x2+36,FH垂直平分BE,.BF=EF, .6+2x=2x+36,解得x=4.5,.DE=4.5. 第19课时相似三角形及其应用 课前小测 1.C2.D3.D4.A5.B6.(28√5-28 知识梳理 知识点116-日2.1c(2丹(3) d 361 2 0.618 知识点22.(1)相等成比例(2)相似比(3)相似比的平方 参考答案 3.两角两边成比例且夹角相等三边 知识点32.(1)相似比(3)平行(4)(kx,y)或（一kx,一y) 跟踪训练 1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.D9.D 10解：如答图，有两种画法」 答图 典例探究 例1C变式1D例2B变式23 课堂检测 1.B2.B3.C4.(√5-1)5.1：36.607.C8.D9.D 9 10.5或5 11.解：如答图所示，延长BF,AD交于点M, D B E C 答图 ·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC ∴.△BEG∽△MAG,△BCF∽△MDF, 熙-能-部品那-保-1 .'BF=MF,BC=DM ,E是边BC的中点，∴.BC=2CE=2BE」 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, GE BG BE m 1 :.AM=AD+DM=4mAG-MG-AM4m .BE BG 2 F=1心GF=3 设S△AG=4n,则S△GE=1,S△AFc=6n, 3 .SABGE S△GE 2 3 15 12.解：【问题解决】①.AB=AC,DA=DC,∠BAC=∠ADC, ∠ACB=180BAc,∠DAC=180∠AD0 2 2 ∴.∠DAC=∠ACB.∴.AD∥BC: ②.∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ADC, AC BC 六△ABC△DAC心CD-AC…AC=BC·CD, CD=AD,∴.AC=BC·AD;故答案为①AD∥BC;②=； 【方法应用】①：△ADE为△ABC旋转得到，.AB=AD. 令∠B=a,则∠ADB=a,∠BAD=180°-2a,.∠ADE ∠B=a, 由旋转得，DE=BC,AE=AC, 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 又.AC=BC,.∴EA=ED .∠DAE=∠ADE=a, ∠E=180°-2a,∴.∠E=∠BAD, .四边形ABDE为双等四边形： ②如答图1，作AH⊥BC于点H, 答图 cosB=AB=5 .BH=3,AH=4, 设CH=x,则AC=BC=x+3,在Rt△AHC中，CH2+AH AC,即2+4=(x+3),解得x CH=名，BC=AC-要若∠B ∠D=∠CAD,CA=CD时， CD=AC=25 6 若∠ACB=∠D=∠ACD,AD=AC 答图2 5 时AD=AC=6 如答图2，作AM⊥CD于点M,.CM=DM '.A=cos∠ACM=cos∠ACB白 67 25=25 6 7、257 .CM=25×7=6 ∴CD-2CM-号若∠D-∠ACB. DA=DC时，如答图3， HC ∴.∠DAC=∠DCA=∠CAB 答图3 ∠ABC,.△CAB△DAC, 25 .CD_AC.CD BC-AB25 cD=125 36 6 综上所运，满足条件时，CD-行支了或 第20课时 锐角三角函数及其应用 课前小测 4 1.D2A3.C4.5 5.1.56.1.02 知识梳理 知识点12号号55恒是g 22 2223 13 跟踪训练 1A2A3号 4.B5.D6.5.6 典例探究 例1D变式1C 例2(1)B(2)A变式2(1)A(2)C 课堂检测 1.A2.C3.B4.B5.C6.9.67.14.6cm8.C9.B10.B 11.(63-6)12.0.4 13.解：(1)如答图，过点E作EP⊥AC于点P,,AB=30cm BE-号AB.AE-号AB-20em .∠AEP=a=10°，.GE=AE·cosa=20×cos10°≈19.6(cm). ∴.CD=GE=19.6(cm) 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm: A a ⊥EB H G D T 答图 (2)如答图，过点B作CF的平行线交ED于点G,交NM的 延长线于点H,作BT⊥CD于点T, 则∠EBG=a=10°，∠HBM=180°-(145°-a)=45°= ∠BFT,∴.a=10°， 则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG,NF=MN =8cm, :AB-30 cm.BE-AB-10 cm: 在△BEG中，EG=BE·sina=1.7(cm),BG=BE·cosa&= 9.8 cm=DT, GD=DE-EG=21.7-1.7=20(cm)=BT=TF. 则DF=DT+TF=9.8十20=29.8(cm), ∴.DN=DF-NF=29.8-8=21.8(cm). 第五章四边形 第21课时平行四边形 课前小测 1.C2.B3.D4.B5.C6.AE=CF(答案不唯一) 知识梳理 知识点12.(1)相等(2)相等(3)互相平分 知识点22.相等3.平分4.平行且相等 跟踪训练 1.C2.A3.2或3或4或5或6 4.证明：四边形ABCD是平行四边形 .CD∥AB,.∠AFN=∠CEM, .EN=FM...EN+NM=FM+MN.:FN=EM. ,AF=CE,.△AFN≌△CEM(SAS).∴.AN=CM. 5.C6.A 7.证明：AC=DB,.AB=DC. ,BE∥CF,.∠EBC=∠FCB,.∠ABE=∠DCF ,BE=CF,.△ABE≌△DCF(SAS), ∴.AE=DF,∠BAE=∠CDF,.AE∥DF, .四边形AEDF是平行四边形. 典例探究 例1C 变式1解：(1)①BF=CE,理由如下： ,CE⊥AD,BF⊥AD,.∠CED=∠F=90 .AD是△ABC的中线，.BD=CD. '∠ADC=∠BDF,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴.BF=CE; ②8-2√7CE⊥AF,∴∠AEC=90°， .AE=√AC-CE=√8-6=2V7. 由①知，BF=CE=8,∠F=90°， .AF=√AB2-BF2=√102-6=8， .EF=AF-AE=8-2V7,故答案为8-2√7； (2)DE·AD是定值，理由如下： .AE=VAC2-CE ,AF=AB?-BF2,第一部分基础过关 第19课时 相似三角形及其应用 课前小测 1.(2025·贵州)如图，已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2：1,若DF=2,则AC的长为 A.1 B.2 C.4 D.8 D D B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.(2025·福田二模)如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子 △A1B1C1,三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确 的是 ( ) A.∠A1B1C1越来越大 B.影子不是直角三角形 C,影子越来越小 D,影子越来越大 3.(2025·宝安二模)如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为2cm的正方形文 创纪念徽章ABCD.为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章AB'C'D'若以顶点A为位似 中心进行位似变换，对应边的比AB:AB'=3：5,则纪念徽章AB'C'D'的面积是 () 号 cm2 cm2 C.11 cm2 -cm2 .202云南)如图，在△A5C中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，且DE/∥BC若AB-,则P BC ( A 2 B时 4 5.(2025·内江)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理： 通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见。如图甲， 这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA= 150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是 A.80 cm B.60 cm C.50 cm D D.40 cm 图 图2 131 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 6.(2025·南山模拟)唢呐是山西八大套的乐器之一.如图，一个大唢呐AB的长约为56cm, 若在喷呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且AP=5一 ,则该装饰与吹口的距 AB 2 离AP为 cm(结果保留根号). 知识梳理 知识点①成比例线段 1.成比例线段的概念：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ,那么这四 条线段a,b,c,d叫作成比例线段，简称比例线段 2.比例的性质： (1)=Sad= (abcd≠0)； b d (2)如果8=c 三。三 ,那么+c十…+m=m（6十d+…十n≠0)： b d b+d+…+nn (3)如果2=S b万，那么Q主已 3黄金分割的概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果ASC,那 么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金 比= ≈ 4.平行线分线段成比例： (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； (2)推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 【跟踪训练】 1.(2025·深圳一模)已知a,b,c,d成比例线段.若a=5cm,b=l0cm,d=8cm,则c的长为 A.2.5 cm B.4 cm C.10 cm D.16 cm 2.(2025·深圳模拟)玻璃瓶中装人不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发 现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出 10 cm 音符“SOL”的声音.若AB=10cm,且敲击时发出音符“SOL”的声音，则液面高度 AC约为 A.3.82cm B.5 cm C.6.18cm D.7.2 cm 132 第一部分基础过关 3.(2025·深圳模拟)透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间 感如图是运用透视法绘削的一个图案，已知AB/CD/EF,S-,则 DF的值为 3 2 视平线 c 3 透视线 4已如-号则。的位等于 A C、 2 3 5 D 5 知识点2相似三角形 1,相似三角形的概念：三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形 2相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角 ,对应边 (2)相似三角形对应线段（中线、高、角平分线、中位线）的比都等于 (3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于 3.相似三角形的判定： 判定方法 图形 文字语言 几何语言 判定1 分别相等的两个三角形 ∠A=∠A',∠B=∠B', 相似 .△ABC∽△A'B'C B B C BC 判定2 的两个 “治-2C∠B-∠ 三角形相似 B .△ABC∽△A'B'C AB BC CA 判定3 成比例的两个三角形相似 “AB BC-CA ∴△ABC∽△A'B'C 【跟踪训练】 △ABC∽△DEFDE=(,△ABC的周长是8，则△DEF的周 A.10 B.16 C.20 D.32 6.(2025·深圳模拟)小明用两根小木棍AC,BD自制成一个如图所示的“X形”测量工 具，AC与BD交于点O,OA=OB,OC=OD,OB=3OD.现将其放进一个锥形瓶，经 测量，CD=3cm,则该锥形瓶底部的内径AB的长为 ( ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm 133 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 7.(2025·南山模拟)如图，△ABC中，D点为AB的中点，E点在AB上，F点在AC 上，且EF∥BC.若AF=7,FC=3,则下列叙述何者正确 A.AE=7,EB=3 B. EF 3 BC7 0 E B C.AD=5 D.DE<EB,DF与EC不平行 知识点③图形的位似 1.位似的基本图形： ② 2位似的性质： (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于 (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点； (3)位似图形对应边 (或在同一条直线上)； (4)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的 相似比为，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 3.位似的作图步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；(3)描出新 图形 【跟踪训练】 8.(2025·宝安模拟)如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位 似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是 ( ) A.AC∥A'C B.S△A'B'C:S△ABc=9：25 C.△BCO∽△B'C'O D.OB':BB'=5:3 9(2025·深圳一模)两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成 因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿 直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题.如图，若OB=30cm, OB'=20cm,蜡烛火焰倒立像A'B'=6cm,则下列说法中，错误的是 A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形 B.△ABO△A'B'O C.蜡烛火焰AB长9cm D线段AB的中点与线段A'B'的中点的连线不一定经过点O 134 第一部分基础过关 10.在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(6,0),B(3,6),C(一3,3).以原 点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2：3. 典例探究 考点①相似三角形的判定与性质 例1(2025·宝安模拟)如图，已知平行四边形ABCD,AB=2,BC=5,∠ABC的 角平分线BG交AD于点G,交CD的延长线于点H,若BH=8,则BG的 G 长为 ( A.5 B.7 96 ·5 变式1(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交 直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽ 2 △DCN,则这个条件是 A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 考点2相似三角形的应用 例2(2025·南山一模)如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC,若 这棵树高AB=3m,树影BC=4m,树与路灯的水平距离BP=5m, 则路灯的高度OP为 ( ) 路灯 m D.6 m 变式2(2025·深圳一模)露营越来越受大众喜爱。如图是一个帐篷的示意 图，其高OE=2,某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F,OE⊥ OF,OF交AB于点G,OG=1m.在同一时刻，附近一根长为1m的 G 标杆在地面的影长为2m,则FG= m. 135 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 答题规范 示范题：(2025·龙岗模拟)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE, EF,已知四边形BFBD是平行四边形，且-若AB=8,求线段AD的长4分) 板 解：四边形BFED是平行四边形，DE∥BC, 与 2分 ∴.△ADE△ABC, 分 DE_AD BCAB' 3分 准 DE 1 AD 1 BC 4’… AB AB= ×8 ………4分 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率：/6】 1.已知-6= 那么兮的指 A号 B c 2.(2025·绥化)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和为48cm,那么 较小三角形的周长是 ( ) A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 3.(2025·南山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AD上一点，连接BE交对角线AC于 点G.若 CG 3,AD=9,则DE的长为 A.3 B.4 C.6 D.5 0 D E G D C B B 6 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2025·南山模拟)如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为 边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB,已知AB为2米，则线段BE的长为 米 5.(2025·广东)如图，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是 6.(2025·龙华二模)立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺.问楼高几何？（选自《海岛算 经》)题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45 尺)，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 尺 136 第一部分 基础过关 (二)能九提升 【建议用时：6分钟正确率：/5】 7.(2025·龙岗模拟)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与 CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 13 A.2 B.7 D.8 D M B E 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.(2025·福田模拟)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中 阴影部分△CEG)的面积是△ABC的面积的3，已知BC=3,则△ABC平移的距离BE为（） A.1 B.3 C.√3 D.3-3 9(2025·深圳模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC,且分别交AB,AC于点D,E,若AB=,则下列 说法不正确的是 ( ) AD AE A.ABAC B-号 S△ADE_ 4 CDCE 21 B既-号 10.(2025·罗湖模拟)如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,点E在AB上且AE=3,点F在AC上， 连接EF.若△AEF与△ABC相似，则AF= 11.(2025·上海改编)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点，且E是边BC的中 点，如果CF=DF,连接AE,BF交边AE于点G,求S△BG:S△AEr的值 137 0加 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） (三)命题新方向 12.(2025·深圳)综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形， 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时 该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图2，在△ABC中，AB= AC,AC=AD,∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”. 【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC,AD=CD,∠D=∠BAC.求： ①AD与BC的位置关系为 ②AC2 AD·BC.(填“>”，“<”或“=”) 【方法应用】①如图4，若AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE,点D恰好落在BC边 上，求证：四边形ABDE是双等四边形； ②如图5，在等腰三角形ABC中，AC=BC,cosB= 5,AB=5,在平面内找一点D,使四边形ABCD 是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长；若不存在，请说明理由. 图1 图2 图3 图 尝试·反思 总结初中数学中有哪些常见的相似三角形的基本模型？思考这些模型有什么共性呢？ 138