第17课时 等腰三角形与直角三角形-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

第一部分基础过关 第17课时 等腰三角形与直角三角形 课前小测 1.(2025·陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1=52°，则∠2的度数为 A.76° B.74 C.64° D.52 D 1入K2 B D D 第1题图 第2题图 第5题图 第6题图 2.(2025·浙江练习)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA= 5,则线段PB的长度为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.(2025·广东练习)等腰△ABC的两条边长分别为3和5，则△ABC的周长为 A.9 B.11 C.13 D.11或13 4.(2025·广东练习)下列长度的线段能组成直角三角形的一组是 A.1,2,2 B.3,4,5 C.√3,2，√5 D.5,67 5.(2025·深圳模拟)如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD, AB∥CD,则∠BOD的大小为 ( ) A.150° B.1409 C.1309 D.120° 6.(2025·河南期末)如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E,则∠EBC= 知识梳理 知识点线段垂直平分线与角平分线 名称 线段垂直平分线 角平分线 C 图形 B E B 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 线，叫作这条线段的垂直平分线。 相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离 角平分线上的点到这个角的两边的距离 几何语言 AO=BO且AB⊥OP,∴.AP=BP. :∠1=∠2=∠BAC,且DELAB-于点E,DF ⊥AC于点F,∴.DE=DF 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个 条线段的垂直平分线上. 角的平分线上. 117 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 【跟踪训练】 1.(2025·浙江模拟)如图，在△ABC中，BA=BC,∠B=80°，观察图中尺规作图 的痕迹，则∠DCE的度数为 ( 809 A.60 B.65 C.70° D.75 2.(2025·广东模拟)如图，已知AB=AC,AB=5,BC=3,以A,B两点为圆心，大 2AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M,N,连接MN与AC相交于 则△BDC的周长为 A.8 B.10 C.11 D.13 知识点2等腰三角形与等边三角形 名称 等腰三角形 等边三角形 图形 609 60°60 D C (1)等腰三角形的两底角相等（简称“ (1)三个内角都相等，并且每个角都等于 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边 性质 ”)5 (2)三条边都 上的高相互重合（简写成“ (3)等边三角形是轴对称图形. (3)等腰三角形是轴对称图形， (1)三边都相等的三角形是等边三角形（定义）； (1)有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定 (2)有 相等的三角形是等腰三角形（简 (3)有一个角等于60°的 是等 写成“等角对等边”). 边三角形. 【跟踪训练】 3.等边三角形的边长为4，则它的面积为 A.4 B.4√3 C.8 D.83 4.(2025·广东期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，下列结论中，不正确的是( A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D D.AB=2BD 118 第一部分基础过关 知识点3直角三角形 1.直角三角形的性质 (1)角的关系：直角三角形的两个锐角 (2)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 b309 (3)直角三角形斜边上的中线等于 ,即CD= (4)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ,即BC= 2直角三角形的判定 (1)有一个角等于90的三角形是直角三角形（定义）； (2)有两个角 的三角形是直角三角形； (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,bc满足 那么这个三角形是直角三角形 【跟踪训练】 5.(2025·甘肃期末)在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，下列条件中，不能判定 △ABC是直角三角形的是 ( ) A.a:b:c=5:12:13 B.a:b:c=1:√2：√3 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.∠A+∠B=∠C 6.(2025·广东模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC 的中点，BD=2,则BC的长为 A.√3 B.23 C.2 D.4 典例探究 考点1线段垂直平分线与角平分线 例1(2025·盐田二模)数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形ABCD进行如 图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在AD边上的点O处，则∠DAC 的度数为 A.30° B.20° C.条件不足，无法计算 D.22.5° 变式1如图，AC=AD,BC=BD,则有 A.AB与CD互相垂直平分 B.CD垂直平分AB C.AB垂直平分CD D.CD平分∠ACB 119 0 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 考点2等腰三角形与直角三角形 例2(2024·深圳D如图，在△ABC中，AB=BC,tanB= 2D为BC边上一点，若满 B 足BD& CDS,过D作DELAD交AC延长线于点E,则 AC 变式2(2025·南山模拟)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点A,B 为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M,N,作直线 MN,交BC于点D,交AB于点F,连接AD.若CD=DF,则∠B的度 数为 答题规范 示范题：已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,求证： (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.(8分) 证明：(1)P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB, 题 PC=PD.… 1分 PC=PD 板 在Rt△POC与Rt△POD中， 与 OP=OP, 分 ∴，Rt△POC≌Rt△POD(HL),…………… ……………3分 标 准 OC=OD… …4分 (2)由(1)知PC=PD,…… …5分 点P在线段CD的垂直平分线上.… 6分 :OC=OD,∴.点O在线段CD的垂直平分线上 7分 OP是CD的垂直平分线，…………………………………… ……………………8分 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率：/6】 1.(2025·深汕合作区二模)如图，用直尺和圆规作∠MAN的平分线，根据作图痕迹， 下列结论不一定正确的是 ( A.AD-AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE N 120 第一部分基础过关 2.(2025·宝安模拟)如图，△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,AD=3cm, △ABC的周长为18cm,则△BEC的周长为 ) A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm D 第2题图 第5题图 第6题图 3.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=2,则AC的长为 A.13 B.√/13 C.5 D.5 4.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 A.13 B.17 C.13或17 D.13或10 5.(2025·辽宁模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径 相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为 A.60° B.65 C.70° D.76 6.(2025·深圳模拟)如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转a°得到平行四边形AB'C'D',点B'落在 边CD上，若∠C=76°，当B,B′，C三点共线时，a等于 (二)能九提升 【建议用时：5分钟正确率：/5】 7.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a一b)·(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 8.(2025·南山模拟)下列尺规作图中，点P到三角形三个顶点的距离相等的是 D 121 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 9.(2025·宝安模拟)在正方形网格中，点A,B,C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作∠CAB的角 平分线现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了两种方案，对于方案1,2，下列说法正确的是( ) 方案1 方案2 E B B D ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点D,E; ①取点D,点D为小正方形的顶点； ②分别以点D,E为圆心，大于2DE长为半径画弧，两弧交于点G: ②连接CD交网格于顶点E,连接 ③作射线AG,交边BC于点F,AF即为所求. AE交BC于点F,AF即为所求， A.方案1可行、方案2不可行 B.方案1不可行、方案2可行 C.方案1,2都可行 D.方案1,2都不可行 10.(2025·福田二模)如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,连接BD并延长 至点E,使得BD=DE,莲接AE,哈好有AE1DE若%-则装- 11.如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE= DF,求证：△ABC是等腰三角形. (三)命题新方向 12.【新定义】(2025·深圳模拟)【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角 三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫作“等腰直角四边形”，这条对角线为 “分割对角线”. 【示例】如图1，AC是四边形ABCD的对角线，△ACD是等腰三角形，∠B=90°，则四边形ABCD 是等腰直角四边形，AC是分割对角线. 图1 图2 图3 图4 122 第一部分基础过关 【简单应用】 (1)如图2，在“等腰直角四边形ABCD”中，∠B=90°，AC=AD.若AD∥BC,AB=8,BC=15,则 CD= (2)如图3，在□ABCD中，点E在对角线BD上.若四边形AECD是“等腰直角四边形”，∠DAE= 90°，CE=CD,BE=2,DE=6,求AD的值； 【拓展提升】 (3)如图4，在“等腰直角四边形ABCD”中，对角线AC与BD相交于点E,∠ABC=∠ACD=90°， AC=CD,BC=2AB,求8E的值 尝试·反思 如何证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理？尝试用多种方式证明. 123新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 角平分线：(1)∠CAD中位线：(2)BCBC 跟踪训练 1.D2.2<c<63.10°4.C5.22°6.10 典例探究 例1A变式1C例25V3+5变式2①②④ 课堂检测 1.C2.C3.B4.C5.145°6.37.A8.B9.C10.A 11.59 12.解：(1)例如：①∠BAE-∠AEB; 四边形ABCD为平行四边形， .AD∥BC,∴.∠DAE=∠AEB :AE平分∠BAD, '.∠BAE=∠DAE=∠AEB ②AB=AE.(或CD=CE=BE=AB); 四边形ABCD为平行四边形， ,.AD∥BC,.∠DAE=∠AEB, ,AE平分∠BAD, ∠BAE=∠DAE=∠AEB,∴AB=BE; ③AD=2AB,:四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB, ,AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE=∠AEB,∴.AB=BE: .'BE=CE,.'.AD=2AB; (2)如答图1，作∠BAD的平分线AE 交BC于点E,则∠1=∠2， .□ABCD,.AD∥BC,AD=BC, 3个 .∠1=∠3=∠2，.AB=BE, 答图1 ..AD=2AB, .BC=2BE,即BE=CE, ',四边形ABCD是“角分平行四边形”； (3)如答图2，延长AE交DC延长线于点F,连接BN, 四边形ABCD角分平行四边形ABCD,AE是角分线， ∴AB∥CD,AB=CD,BE=CE, .∠BAE=∠F,∠ABE=∠FCE ∴.△ABE≌△FCE(AAS), ..AB=CF, 又.∠ANM=∠FNC, ∴.△AMN△FCN, .'BM=2AM,.'FC=AB=3AM, 答图2 ..MN_AM1 CN FC3 设S△AMN=x,则S△BMN=2x,S△Cw=3S△MN=6x, 1 BE-CE,SACESAC SACEN-3SAAMN △AMN区域的花卉种植费用为a元， ∴.△CEN区域的花卉种植费用3a元. 第17课时等腰三角形与直角三角形 课前小测 1.A2.B3.D4.B5.D6.10 知识梳理 知识点1相等相等 知识点2等腰三角形性质：(1)等边对等角 (2)三线合一判定：(2)两个角 等边三角形性质：(1)60°(2)相等判定：(3)等腰三角形 知识点31.(1)互余(2)a2+b2=c(3)斜边的一半 号AB()斜边的-半号AB2(2)互余(3)a2+6=e 跟踪训练 1.B2.A3.B4.D5.C6.C 典例探究 例1D变式1C例22 20 变式230 课堂检测 1.B2.C3.B4.B5.B6287.D8.C9.C10.10 9 11.证明：，DE⊥AC,DF⊥AB,.∠BFD=∠CED=90°， D是BC的中点，BD=CD, 在Rt△BDF与R△CDE中DB=DC, DF=DE, ∴.Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),'.∠B=∠C, ∴，AB=AC,.△ABC是等腰三角形， 12.解：(1)2√17 (2)如答图1所示，过点C作CF⊥BD,垂足为F, CE-CD,EF-DF-ED-3. ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC,∴.∠ADE=∠CBF, 又∠DAE=∠BFC=90°，∴.△DAEO△BFC, 小部既品解得AD=√厕负位E会去， D E 2 答图1 答图2 (3)如答图2所示，作DM⊥BC交BC延长线于点M,作CN ⊥BC交BD于点N, .·∠ABC-∠ACD=∠M=90°， .∠1+∠2=∠2+∠3=90°，.∠1=∠3， 又，AC=CD,∴.△ABC≌△CMD,∴.CM=AB,BC=DM, 设AB=t,则CM=AB=t,BC=DM=2AB=2t, ,AB⊥BC,DM⊥BC,CN⊥BC,.AB∥CN∥DM .∠BNC=∠BDM,∠BCN=∠M,∴.△BNC∽△BDM, 照x即影-cw=, ∠ABE-∠ENC,∠BAE-∠ECN,∴△ABED△CEN, “50脚能士= 第18课时全等三角形 课前小测 1.A2.C3.B4.D 5.证明：AC平分∠BAD,∴.∠BAC=∠DAC. AB=AD,AC=AC,∴.△BAC≌△DAC(SAS), ∴.∠B=∠D. 知识梳理 知识点2.(1)相等相等(2)相等(3)相等相等 3.三边两边和它们的夹角两角和它们的夹边两角分别相 0