第15课时 线，角、相交线与平行线(含命题)-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

当：=-2时，a<0,a=4XC-2》=-1 4X4 2 变式3解：(1)y=-x2-4x-3(2)1 (3)证明：化简y=2(x-1)(x+3)得y=2x2+4x-6, 则A,B,C三点的坐标分别为A(1,0),B(一3,0)，C(0,一6)， .A,B,C三点关于原点对称的点坐标分别为A1(一1,0)， B1(3,0),C1(0,6), .经过A1,B1,C,三点的函数表达式为y=一2x2十4x十6， .y=一2x2十4x十6与原函数y=2(x一1)(x十3)是旋转 函数. 课堂检测 1.A2.B3.8√54.0.35.576.0.87.A 8.解：(1)设函数关系式为y一kx十b,由题图可知，直线y-kx十 b经过点(25,30)和点(35,10)， 则有256士6二30解得负二-2， 135k+b=10,16=80, 即函数关系式为y=一2x十80： (2)根据产品的利润率不得超过60%，可知产品的售价最高为 每台20×(1+60%)=32元，根据题意有(x20)y=150, 将y=-2x+80代入(x-20)y=150中， 整理，得x2-60x十875=0， 解得x1=25,x2=35, ,价格不得超过32元， ∴.x=25,即售价应该定为25元， 9解：110,3.5)y=子：+号x+6 1 A(0,8),AB=1,.B(1,8),如答图，过点F作FK⊥x轴于 点K,过点E作EL⊥FK于点L,∠ELF=90°， .∠FEC=135°，∠LEC=90°，∴.∠FEL=45°， △LEF是等腰直角三角形，FL=LE, ·EF=7② 7 EL=FL=5=1.4, .EC=LK=2.1, ∴.FK=LF+LK=1.4+2.1=3.5, ,OC=11.4,KC=LE=1.4,.OK=10, ∴.点F的坐标为(10,3.5)， 设抛物线的解析式为y=ax2十bx+c,把点B(1,8),H(0,6), F(10,3.5)分别代入， /a+b十c=8, 得」 c=6, 解得 1b= 9 100a+10b+c=3.5, 41 c=6, 1 x十6. 抛物线的解析式为y=一不2”+号 故答案为(10,3.5)，y= 1 9 4x2+x+6: (2):MN∥x轴，N(8,2) 7 “点M的纵坐标为2： 7 7 1 9 7 当)=2时，-4x+4x+6=， 参考答案 解得z1=10(合去)=-1，放M(-1,） ∴.MN=8-(-1)=9, .保护网MN(线段MN)的长度至少为9米. 10.解：（任务1）y=-x2-6x-3y=-x2+6x-3 (任务2)如答图，左侧抛物线解析式为 y y=-(x+3)2+6,点M(-1,2)关于 y轴的对称点为N(1,2),左侧终点坐 G 标为Q(一5,2)关于y轴的对称点为 T(5,2), 根据题意，两侧无人机需要同时飞行 答图 移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A(0,5) 处，故M(一1,2)平移到A(0,5),N(1,2)平移到A(0,5),故 左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长 度，得到符合题意的新位置抛物线即y=一(x十3一1)2十6十 3=-x2-4x+5, 故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位 长度，得到符合题意的新位置抛物线即y=一(x一3+1)2十6 +3=一x2+4x+5,当y=7时，-x2-4x+5=7, 解得x=二4士22-一2士2， 2 当y=7时，-x2十4x十5=7， 解得工=4生名区=2士2， 2 故水平宽度为2十√2一（一2一√2）=(4+2√2)（米）， 答：水平宽度为(4十2√2)米， 任务3)①6.25②382 第四章三角形 第15课时线、角、相交线与平行线（含命题） 课前小测 1.C2.D3.C4.D5.C6.C7.C 知识梳理 知识点11.(1)两个一个没有(2)直线线段 2.(1)射线(2)60'60”(3)90°180°相等相等 知识点21.∠3∠4180°∠4 2.(1)有且只有(2)垂线段最短 跟踪训练 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.C3.(1)×(2)/(3)×(4)×4.C5.C6.D 7.(1)假命题(2)假命题(3)真命题(4)真命题8.A 典例探究 例1B变式1B例2B变式2C 课堂检测 1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.C8.C9.D10.C11.B 12.2.713.43 第16课时三角形的基本概念与性质 课前小测 1.B2.D3.A4.C5.C6.B 知识梳理 知识点11.(1)线段2.(1)180°等于(2)大于小于 (3)稳定性 知识点2重要结论中线：(1)DC(2)S△Ac高：(2)∠ADC新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第四章 三角形 第15课时 线、角、相交线与平行线（含命题） 课前小测 1.(2025·河南)如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所 量内角的度数为 ( ) A.100° B.110° C.120° D.130° 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2025·云南)如图，已知直线c与直线a,b都相交，若a∥b,∠1=50°，则∠2= A.53 B.52° C.51° D.50° 3.(2025·深圳模拟)如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=55°，则∠2的度数为( A.55 B.45° C.35° D.25° 4.(2025·盐田二模)如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，发现水平放置的水杯底 部有一束光线从水中射向空气时要发生折射.当入射光线和水杯的底面成75°，折射光线与水杯口 平面成65°时，∠1的度数是 ( A.155° B.160° C.165° D.170° B 75°1 图1 图2 第4题图 第5题图 5.(2025·深圳模拟)平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所 夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n,则∠1=∠2.如 图2，一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后，反射光线CD与AB平行.若∠NCD=58°，则 ∠MBA的大小为 ( A.42° B.38° C.32° D.28° 6.(2025·南山模拟)下列命题中，真命题有 ( ①两个含45°角的等腰三角形必相似；②已知线段AB=2,点C是AB的黄金分割点，则AC=√5 1;③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直；④平分弦的直 径垂直于弦. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 104 第一部分基础过关 7.(2025·南山二模)利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是 知识梳理 知识点1线与角 1.线 (1)线段、射线、直线： 名称 图形 表示方式 端点个数 延伸方向 是否度量 a 线段 B 线段AB或线段a 不能延伸 能 射线 射线OA或射段a 一方延伸 不能 A m 直线 B 直线AB或直线m 两方延伸 不能 (2)两个基本事实：两点确定一条 ;两点之间， 最短 (3)两点之间的距离：两点之间的线段的长度 2.角 (1)角的定义：有公共端点的两条 组成的图形叫作角， (2)角的换算：1°= ,1'= (3)余角与补角： 名称 余角 补角 如果两个角的和是 ,那么称这两个 如果两个角的和是 ,那么称这两个角互为 定义 角互为余角 补角 性质 同角或等角的余角 同角或等角的补角 【跟踪训练】 1.填空： (1)木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的依据 是 (2)重庆山地面积较大，在修建高速公路时，往往需将弯曲的山路改为直直的隧道，这样做的数学依 据是 2.(2025·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，DE⊥ AC,则图中与∠A互余的角共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 105 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 3.判断对错： (1)射线AB和射线BA是同一条射线！ (2)线段AB和射线AB都是直线AB的一部分： (3)连接两点之间的线段，叫作两点间的距离. (4)(2025·南山二模)18.6°=186' 知识点2相交线与平行线 \1.相交线 图形 概念 性质 14 对顶角 对顶角相等：∠1 ,∠2= 邻补角 邻补角互补：∠1+∠2= ,∠1+ =180° /4 同位角 “F”形：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8. 24 18 内错角 “Z”形：∠2与∠8，∠3与∠5. 6 同旁内角 “U”形：∠2与∠5，∠3与∠8. 2.垂直的相关知识 (1)基本事实：同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 3.平行线 两直线平行，同位角相等. .a∥b,.∠1=∠2. 性质 两直线平行，内错角相等。 a∥b,∴∠3=∠4. 两直线平行，同旁内角互补， 几何 .a∥b,.∠2+∠3=180° 同位角相等，两直线平行 语言 ∠1=∠2，.a∥b 判定 内错角相等，两直线平行. .∠3=∠4，.a∥b 同旁内角互补，两直线平行 ∠2+∠3=180°，∴.a∥b. 4.平行线的其他判定方法 (1)平行于同一条直线的两条直线平行. (2)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行」 【跟踪训练】 4.如图，直线AB,CD被直线EF所截，与AB,CD分别交于点E,F,下列描述，其中 正确的是 ( ①∠1和∠2互为同位角；②∠3和∠4互为内错角；③∠1=∠4；④∠4+∠5=180°. A.①③ B.②④ C.②③ D.③④ 106 第一部分基础过关 5.(2025·宝安二模)一个含45°角和另一个含30°角的直角三角形，按如图所示叠放，若 AB∥CD,则∠ACE的度数为 A.60° B.70° C.75 D.80° 6.如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是 A.∠B=∠DCE B.∠A=∠ACD C.∠B+∠BCD=180° D.∠A=∠DCE 知识点3命题、定理与反证法 1.命题的有关概念： (1)命题：判断一件事情的句子.一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。 (2)真假命题 真命题：正确的命题称为真命题 假命题：不正确的命题称为假命题 (3)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这 两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 2.定理：经过证明的真命题. 3.反证法：证明时先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法 【跟踪训练】 7判断下列命题是真命题还是假命题： (1)如果两个角相等，那么它们是对顶角. (2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c. ( ) (3)全等三角形的面积相等. ( (4)三角形三个内角的和等于180°. 8.下列说法正确的是 A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理 C,真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题 典例探究 考点1相交线与垂线 例1 (2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平 C 面镜后反射入眼，若CB∥OA,∠CBO=122°，∠BON=90°，则入射 角∠AON的度数为 ( A.22 B.32° C.35° D.122° 107 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 变式1 (2025·坪山模拟)如图，直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若 ∠AOC=58°，则∠EOB的大小为 ( A.29° B.32 C.45° D.58 考点2平行线的性质 例2(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平 面镜的夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4的度数为( A.40° B.50° C.60° D.70 变式2(2025·宝安模拟)如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射 时，∠1=∠2=40°，则∠3的度数为 A.80° B.90° T C.100° D.120° 答题规范 示范题：(2025·广东模拟)如图，AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于 题模 点E,F.求证：∠DEF=∠F.(4分) 证明：AB∥CD,∠DCF=∠B.…1分 与 ∠B=∠D,∠DCF=∠D,… 2分 分 标 .AD∥BC, 3分 准 ./DEF=∠F」 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率： /7】 1.(2025·南山模拟)如图，直线AB∥CD,直线MN分别与直线AB,CD交于点E,F,且∠1=40°， 则∠2等于 ( A.120 B.130° C.140° D.150° B D 1 F M E 2 N A 第1题图 第2题图 2.(2025·浙江)如图所示，直线a,b被直线c所截.若a∥b,∠1=91°，则 A.∠2=91° B.∠3=91° C.∠4=91° D.∠5=91° 108 第一部分 基础过关 3.(2025·福田模拟)在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的 折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH,点G在射 线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行.已知∠GFH=40°，∠CEF=120°，则 ∠HFB的度数为 ) A.10 B.20° C.40% D.50° 空气 G CE B D 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2025·盐田模拟)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆 放，若AB∥CD,则∠1的大小为 ( ) A.30 B.45 C.60° D.75 5.(2025·龙岗模拟)将一副三角板（含30°，45°，60°，90°角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的 余角度数是 ( ) A.15° B.60° C.75° D.105° 6.下列语句中，是假命题的是 A.有理数和无理数统称实数 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D.两点之间的线段称为两点间的距离 7.(2025·宝安模拟)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的是() A.如图A,展开后测得∠1=∠2 B.如图B,展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C.如图C,测得∠1=∠2 D.如图D,测得∠1=∠2 (二)能九提升 【建议用时：5分钟正确率：/5】 8.(2025·深圳模拟)近年来，青少年近视问题日益突出，科学用眼成为社会关注焦点.某 AB 公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如图（台灯底座高度忽略不计）.AB ∥ED,经光学测试发现，当∠ABC=130°，∠BCD=120°时，光线效果最佳，求此时灯臂 CD与底座DE的夹角∠CDE的度数为 ( ) A.100 B.105° C.1109 D.115 109 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 9.(2025·罗湖二模)数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两 边缘平行)摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成∠1，∠2，∠3（如图2），其中∠A =60°，∠B=30°，∠C=90°，小慧用量角器测得∠1=70度，请你帮忙算一算，∠3的度数是 A20 B.30 C.40° D.50° C 图1 图2 图1 图2 第9题图 第10题图 第11题图 10.(2025·罗湖模拟)如图1，自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如 图2所示，平面镜AO⊥BO,当光线CD射向镜面OB时，经过两次反射后，光线EF沿平行于CD 的方向射出，若∠1=50°，则∠2的度数是 ( ) A.20% B.30° C.40° D.50° 11.(2025·深圳模拟)如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已知AB∥CD,AF∥DE,∠1=90°， ∠2=110°，∠C=135°，则∠CBE的度数是 A.60 B.65° C.70° D.75° 12.(2025·深圳模拟)如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发 射器从点P处始终以一定角度α向液面11发射一束细光，光束在液面1 M 的O1处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点S1. 当液面上升至12时，人射点就沿着人射光线的方向平移至O2处，反射光 0 线也跟着向左平移至S2处，O1S1交12于点Q,在O1处的法线交2于点 N,O2处的法线为O2M.若S1S2=5.4cm,a=45°，则液面从11上升至12的高度为 cm. (三)命题新方向 13.【跨学科】如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分 北回归线 D 别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时， 赤道 太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH 南回归线 (即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小 为 尝试·反思 相交线与平行线对三角形的探究过程有哪些帮助？比如三角形内角和定理可以怎样通过作平行线来证明？ 110