第8讲 含参函数图象定点、定线问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

第二部分 专题突破 第8讲 含参函数图象定点、定线问题 国方法解读 ★1.解决含参函数图象恒过定点问题，通常将函数解析式整理为y=参数×（关于x的式子）+不含参 数的式子，令参数的系数为零，即可求出x的值，再用代入法即可求出y的值，从而求出定点坐 标.口决：含参函数图象过定点，参数系数为零 ★2.解决含参函数图象定线问题，通常通过已知条件把动点的横坐标和纵坐标用含同一个参数的式 子表示，再令x=横坐标，y=纵坐标，然后通过变形进行消参，从而得到定线的函数解析式 g例题精讲 例1【阅读理解】函数图象过定点的含义就是：不管参数（即待定系数）取什么值，函数图象都过的这 个点就是定点；如函数图象y=x+1经过定点(0,1)，因为无论k取什么值，函数图象一定经过 点(0,1)，因此函数图象经过的定点就是(0,1). 因此，我们可以把函数图象过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决 【尝试运用】(1)二次函数y=x2-2kx+1的图象必经过的定点坐标为 (2)试说明抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标； 【思维拓展】 (3)如图，若A,B是抛物线y=x2上的动点，OA⊥OB,且它们的横坐标分别为a,b,连接AB.证 明：直线AB过定点 例2已知抛物线y=-2(x-n)2+4-2n 求证：无论n为何值，抛物线的顶点均在某一直线上，并求出此直线的解析式。 251 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 举一反三 1.问题：探究一次函数y=kx+k+2(k是不为0常数)图象的共性特点. 探究过程：小明尝试把x=-1代入时，发现可以消去k,竟然求出了y=2.老师问：结合一次函数图 象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=x+k+2的图象一定经过定点(-1， 2).如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为 “点旋转直线”. 已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象是“点旋转直线”，求一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象经 过的定点P的坐标 2.已知抛物线y=ax2-2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上， (1)求出直线1的解析式； (2)对于任意非零实数a,存在确定的n的值，使抛物线与x轴有唯一的公共点，求此时n的值； (3)当点P在x轴上时，抛物线与直线1的另一个交点为点Q,过点Q作x轴的平行线，交抛物线于 点A,过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B,求9的值 BO 252、1 <0，心抛物线有最高点， 六当m=3时，y=2m十3-(m+1 4 一有最大值，此时原抛 物线的顶点坐标为(2,5)； (3)E(-1,-1),F(3,7) 设直线EF的解析式为y=kx十b,把点E,F的坐标代人， 得6+6-1，解得®=2， 3k+b=7, b=1, .直线EF的解析式为y=2x十1.将y=2x+1代入y= x2-(m+1)x+2m+3,得x2-(m+1)x+2m+3=2x +1,整理，得x2一(m十3)x十2m+2=0, 解得x1=2,x2=m十1，则抛物线与直线EF的交点为(2， 5)和(m十1,2m十3)，而(2,5)在线段EF上， .若该抛物线与线段EF只有一个交点， 则(m十1,2m+3)不在线段EF上，或(2,5)与(m十1,2m 十3)重合， ①若(2,5)与(m+1,2m+3)重合，则m+1=2且2m+3 =5,.m=1; ②若(m+1,2m十3)不在线段EF上，则m+1<一1或m +1>3, 六此时范物线顶点横坐标A-”士<一2或xa 1 2 m+1、3 2 或x=”+ =1. 2 第7讲二次函数与角 例题精讲 例1解：如答图，过点M作MH⊥AB于点H. 令x=0,则y=3,.C(0,3). .·∠MAB=∠ACO, yA ∠AHM=∠COA=90°， ∴.△AHMn△COA, OA MH 1 M ∴OC-AH3 A A B 设M(t,-t2+2t+3)(t>0), /0 则MH=-t2+2t+3,AH =t+1, 答图 .t+1=3(-t2+2t+3),整理，得3t2一5t-8=0,解 得=-1（会），4=号点M的模坐标为号 8 举一反三 1.解：对于二次函数y=一x2一3x+4,当y=0时，一x2一 3x十4=0， 解得x=-4或x=1,.A(-4,0),B(1,0) 当x=0时，y=4, .C(0,4),则直线AC的函数解析式为y=x十4. 如答图，过点C作CG⊥DF于 点G, 则四边形OCGF是矩形， .GF=OC=4,CG∥AB .∠ACG=∠BAC. .∠ACD=2∠BAC .∠ACG=∠DCG, 0 B .90°-∠ACG=90°-∠DCG, 即∠CED=∠CDE,∴.CD= 答图 CE.又，CG⊥DF,.DG=EG ,D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m, DF⊥x轴于点F, ∴.-4<m<0,E(m,m+4),.EF=m+4, 2 参考苔宋 ..DG=EG=GF-EF=-m, ..DF=DG+GF=-m+4, .D(m,-m+4),将点D(m,-m十4)代入y=-x2 3x+4,得-m十4=一m2-3m十4， 解得m=一2或m=0(不符合题意，舍去)， .点D的坐标为（一2,6）. 2.解：1将点A(-号0），P(3,号)代入y=ar+x+2,得 4a-2b+2=0,,a=-1, 11 7解得 ,y=-2+名x+2 9a+36+2=2 b=2' (2)当点Q在PC下方时，如答图1，过点P作PH⊥CQ 于点H,过点H作MN⊥y轴于点M,过点P作PN⊥ MH于点N, ∴.∠PHC=∠CMH=∠HNP =90°. ∠QCP=45°，∴△PHC是等腰 直角三角形，.CH=HP. .∠CHM+∠PHN=∠HPN+ ∠PHN=90°， ∴.∠CHM=∠HPN, A70 B .∴.△CHM≌△HPN(AAS), 答图1 ∴.CM=HN,MH=PN. 设Hm,a),c0,2),P,2) 2-n=3-m, 7 (2-n=m, 9 m=4’: 解得 n=4’ 设直线CH的解析式为y=px十q, (9 5 =一3 1 :力+g=1'懈得 g=2, g=2, 1 ·直线CH的解析式为y=一3x+2, 联立直线CH与抛物线解析式，得 7 =-x2+2x+2 33 解得=0或 6: 1 y=2 =-3x+2, 13 y= 18 (): 当点Q在PC上方时，如答图2，过 y 点P作PH⊥CQ于点H,过点H 0 作MN⊥y轴于点M,过点P作 M PN⊥MH于点N,同理得 (台) 综上，存在点Q,坐标为A0 B (得是)（日） 答图2 第8讲含参函数图象定点、定线问题 例题精讲 例1解：(1)(2,1)，(0,1) (2)y=m.x2+(1-2m)x十1-3m=m.x2+x-2m.x十 1-3m=mx2-2mx-3m十x+1=m(x2-2x-3)+ x+1. 3 新课标中考宝典数学（广东专用版） 当x2-2x-3=0时，解得x1=3,x2=-1,当x=3 时，y=4,当x=一1时，y=0.故无论k取什么值抛物 线都会经过定点(3,4)，（一1,0）. P是非坐标轴上的点，.P(3,4)； (3)如答图，过点A作AE⊥x 轴于点E,过点B作BF⊥x 轴于点F, .∠AEO=∠OFB=90°， ∴.∠AOE+∠EAO=90°. .OA⊥OB,.∠AOB=90°， EO .∠AOE+∠BOF=90°，. ∠EAO=∠FOB, 答图 .△EAO∽△FOB ÷5-8即 6=6,∴ab(ab+1)=0. 由题意可知ab≠0，.ab+1=0. 设直线AB的解析式为y=kx十m, (ak十m_6,又由题意知a一b≠0，心=a十6， m=-ab=1, .直线AB的解析式为y=(a+b)x十1，则直线AB 经过定点(0,1). 例2证明：由题意知抛物线的顶点坐标为(，4一2n),令x =n,y=4-2n, 消去参数n,可得y=一2x十4， .该抛物线的顶点均在直线y=一2x十4上. 举一反三 1.解：，y=(k+3)x+(k-1)=k(x+1)+3x一1， .令x十1=0，则x=-1,∴y=-4,.P(-1,-4) 2.解：(1)：抛物线y=ax2-2anx十an2+n十3=a(x-n) +(n+3),∴.P(n,n+3) 令n=x,n+3=y, .y=x十3，即直线l的解析式为y=x十3； (2)令y=0,即ax2-2anx+an2+n+3=0, ∴.(-2an)2-4a×(an2+n+3)=-4a(n+3)=0. a是任意非零实数，∴n十3=0，∴.n=一3， ',若抛物线与x轴有唯一的公共点，此时n的值为一3； (3)由(1)知，P(n,n十3).，点P在x轴上，n十3=0， .n=-3,∴.抛物线y=a(x十3)2， :直线1的解析式为y=工十3，联立P=a(x+3》”,得 (y=x+3, Q(3+1,1)】 aa 过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B,∴BQ= 过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A, ax+3=2x=-3t日A(-3-,2）】 a ..AQ= -3+日-(3-)= .40 BQ a 第9讲 比值类的最值与定值问题 例题精讲 1 1.解：1)：抛物线y=-2x2十+bx+c(a≠0)与x轴交于 点A(-1,0),B(3,0), ×(-1)2-b+c=0, 1 1b=1, 解得〈 3 2X3+36+c=0, c=2 ∴抛物线的解析式为y=- x2+x+3 1 2a-8 .顶点D的坐标为(1,2)； (20号 ②如答图，作MP∥y轴，AQ∥y轴，分别交直线BC于点 P和点Q,则MP∥AQ, 深福 根据同高不同底，得 =MN·S,_MP =AN'·S2AQ 1 把x=0代入y=一2 +红+，得y-8 3 c0) 答图 设直线BC的解析式为y-c十，把B(3,0)代人，得十 3 1 =0,解得飞=一2， 直线C的解析试为一子计号把工-1代入y 7+,得y-20(-1,2AQ=2 设M(a,-名m+m+）,则P(m,-名m+）, 1 ,3 3 2 ”-0,0<m<8当m=多时，有最大值 9 4 举一反三 1廓探宽-：E-, (2)DF=√2AE, 证明如下：，BD是正方形ABCD的对角线， ∠ABD=45°，BD=√2AB. EF⊥AB,.∠BEF=90°，∴.∠BFE=∠ABD=45°， ∴.BE=EF, BF BD BF-BE,BE AB =E,由旋转知，∠ABE =∠DBF, .△ABEn△DBF,AE-AB 、DFBD 2,∴DF=2AE. 探究二：四边形ABCD为矩形， .AD=BC=√2AB,.BD= √3AB. EF⊥AB,.EF∥AD, ∴.△BEFC∽△BAD, 器部距 =3. 答图