专题9 “逆等线”问题-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

0 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 专题九“逆等线”问题 方法解读 逆等线：如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等， 则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开 模型一三角形边上的逆等线 写模型分析 例题精讲 如图，在△ABC中，∠ABC=,BC=m,AC=n,点D,E分别是AB,AC上例1如图，在△ABC中， 的动点，且AD=CE,求CD+BE的最小值， ∠ABC=60°，BC=8, F AC=10,点D,E在 AB,AC边上，且AD= CE,则CD+BE的最 证明思路： 小值为 (1)AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角构全等； (2)如图，过点C作CF∥AB,且CF=AC(构造一边一角，得全等)； (3)构造出△ADC≌△CEF（SAS),证出EF=CD; (4)CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所 求，此时，B,E,F三点共线； (5)求BF,构造直角三角形，再利用勾股定理求出BF即可. 写举一反三 1.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D,E分别为AB,AC边上的动点，且总满足AD =CE,则BE+CD的最小值为 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D,E分别是AB,AC上两动点，且 AD=CE,连接CD,BE,CD+BE的最小值为 模型二非边上的逆等线 写模型分析 如图1，已知三角形ABC中，AB=a,BC=b,CD为高，CE=BF,求AF+BE的最小值， D D 图1 图2 202 第二部分 专题突破 证明思路： 写例题精讲 (1)如图1，CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全 例2 如图，在等边三角形ABC 等，这个也叫做一边一角构全等； 中，AB=4,点E在边BC (2)如图2，过点B作BG∥CE,且BG=BC=b(构造一边一角，得全 上，点F在∠ACB的平分 等)； 线CD上，CE=CF,则AE+ (3)构造出△BEC≌△GFB(SAS),证出EB=FG; AF的最小值为 (4)AF+BE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为 所求，此时A,F,G三点共线； (5)求AG,在直角三角形中利用勾股定理求出AG即可. 国举一反三 3.如图，在三角形ABC中，∠BAC=50°，AB=AC,BD⊥AC于点D,M,N分别是线段BD,BC上的动点， BM=CN,当AM+AN最小时，∠MAD= 第3题图 第4题图 4.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC,点N为BD上一点，点M为BC上一点， 且BN=MC,若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 模型三 同边上的逆等线 模型分析 如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=a,点E,D是线段AB上的动点，且满足AD=BE,求CD+ CE的最小值. 图2 证明思路： (1)BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角构全等； (2)如图2，过点A作AF∥BC,且AF=BC=b(构造一边一角，得全等)； (3)构造出△BEC≌△ADF（SAS),证出CE=FD; (4)CD+CE=CD+FD,根据两点之间，线段最短，连接CF,则CF即为所求，此时F,D,C三点共线； (5)求FC,在直角三角形中利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可 203 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） 例题精讲 例3 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D,E为AB边上的两个动点，且AD=BE 连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为 国举一反三 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F,连接BE和BF,若AE=CF AC-AB=9,AC-BC=2,则BE+BF的最小值是 模型四 特殊平行四边形的逆等线 国模型分析 国例题精讲 如图1，已知在矩形ABCD中，AD=a,AB=b,点E,F分别是边BC、对角例4 如图，菱形ABCD中， 线BD上的动点，且满足BE=DF,求AF+AE的最小值.证明思路： ∠ABC=60°，AB=2,E, F分别是边BC和对角 线BD上的动点，且BE =DF,则AE+AF的最 图2 小值为 (1)BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也 叫做一边一角构全等； (2)如图2，过点D作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b(构造一边 角，得全等)； (3)构造出△ABE≌△GDF(SAS),证出AE=FG; (4)AF+AE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所 求，此时A,F,G三点共线； (5)求AG.先利用相似求出DH和HG(若四边形为正方形或含特殊角 度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度)，再利用勾股 定理求出AG即可. 国举一反三 6.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=3√3，点E,F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE=CF,则 BE+BF的最小值是 第6题图 第7题图 7.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接AE,BF交于点O.若AE=BF,则下列 结论：①AE⊥BF;②△ABE≌△BCF;③A0=BO;④SABE=SABCF·其中一定成立的是 (填 序号) 204举一反三 1.D2.A3.(-1,0)4.A5.A6.A7.2+ 2 8.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∠B=∠C=90°， ∠AFE=90°，.∠AFB+∠EFC=90°， :∠EFC+∠FEC=90°， ∴.∠AFB=∠FEC,∴.△ABFp△FCE； (2)解：如答图，取AE的中点O,连接 OD,OF ∠AFE=∠ADE=90°， ∴.OA=OD=OE=OF, 0 .A,D,E,F四点共圆， ∴.∠AED=∠AFD, :当⊙O与BC相切时，∠AFD的值B 最大， 答图 '.此时∠AED最大，且易知此时BF =CF=4, :△ABFo△PrCE,是-既-& 4EC BG-号DE=0-CE=6-g-号 当DE-号时，∠AED的值最大。 专题九“逆等线”问题 例题精讲 例12√6I例242例34例422 举一反三 1.4√32.973.12.5°4.45.176.3√77.①②④ 专题十阴影面积计算 例题精讲 例1D例2C例3B例43-√2例5A 例62π-4 举一反三 1.c2.4028s+号x495g 6.π 7.(1)证明：如答图，连接OD, AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠OAD, OA=OD,.∠OAD=∠ODA,.∠ODA=∠BAD, .OD∥AB,.∠ODC=∠B=90°， ,OD为半径，∴.BC是⊙O的切线； (2)解：如答图，连接OF交AD 于点H, .OA=OF,.∠OAF =∠OFA, 0 .F是劣弧AD的中点， .OF⊥AD,AH=DH, ∠DOF=∠AOF, :∠DOF=2∠DAF,∠OAD 答图 =∠DAF,∴.∠DOF=∠OAF=∠AOF=∠OFA, :∠OAF+∠AOF+∠OFA=180°， .∠DOF=∠OAF=∠AOF=∠OFA=60°， 由(1)知OD∥AB,∴.∠COD=∠OAF=60°， OD OD 1 '.c0s60°= E+CE,即oD+5-2,解得OD=5. :∠FHA=∠OHD,AH=DH,∠FAH=∠ODH, ∴.△FAH≌△ODH(ASA), 60X5225π .SAFAH=S△ODH,∴.S阴影=S扇形ODR 360元= 6 ·阴影部分的面积为25 元. 2 参考苔宋 专题十一规律探究 例题精讲 例1C例2 1 例3B例4B例5D x 例62223 举一反三 1.D2.C3.91444.B5.B6.100 73 7.C8.A 9.22s(2222,-3×222) 专题十二 阅读理解 例题精讲 例1C 例2【探究发现】解：上述结论依然成立， 理由：如答图1，作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC 的延长线于点F, .四边形ABCD是平行四 边形，.AB∥DC,且AB= DC,∴.∠ABE=∠DCF, 在△ABE和△DCF中， I∠ABE=∠DCF, ∠AEB=∠DFC=90°， 答图1 AB=DC, ∴.△ABE≌△DCF(AAS),∴.AE=DF,BE=CF, 在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2=AE十CE =AE2十(BC-BE)2…①， 在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2=DF2十BF2 =DF2+(BC十CF)2=DF2+(BC+BE)2·②， 由①②，可得 AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+ 2BC2+2BE2, 在Rt△ABE中，由勾股定理，可得 AB2=AE2+BE2,..AC2+BD2=2AE2+2BC2+ 2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2=2a2 +2b2; 【拓展提升】证明：如答图2， 延长BO至点E,使BO 0- =OE, :BO是AC边上的中线， .AO=CO,.四边形 答图2 ABCE是平行四边形， 由【探究发现】可得BE2+AC2=2AB2+2BC2, BE=2BO,..BE2=4BO2, :AB=a,BC=b,AC=c,.4B02+c2=2a2+2b2, B0=Q2+62c2 2 4 【尝试应用】200 例3解：【类比探究】如答图，过点E 作EF⊥CD于点F,连接AF, ,四边形ABCD是正方形， AD=CD=4,∠ADC=90°， DE=CE,EF⊥CD,.DF=B CF=合cD=2,∠ADC- 答图 ∠EFD=90°， .AD∥EF,∴.S△ADE=S△ADF, SAE=合×ADX DF=-号×4X2=4 1 【拓展应用】SAo=2 BCX BC=8.