第12课时 反比例函数的图象和性质-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第12课时 反比例函数的图象和性质 课前小测 3 1.(2025春·鹤壁期末)已知反比例函数y=。,下列结论不正确的是 A.图象经过点(1,3) B图象在第一、三象限 C.y随x的增大而增大 D.当x>3时，0<y<1 2.(2025春·邓州市期末)如图，一次函数y=ax十b与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(2 m),B(一4，m).则关于x的不等式ax十b>的解集是 A.0<x<2或x<-4 B.x>4或-2<x<0 C.x<-2或0<x<4 D.x>2或-4<x<0 y y=ax+b 第2题图 第4题图 第5题图 3.(2025春·衡山县期末)玲玲在绘制某反比例函数的图象时，列表如下： -4 -2 3 6 y -3 -6 2 其中记录错误的y的数据为 A.-3 B.-6 C.8 D.2 4.(2025春·大连期末)如图，平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A是反比例函数y=(k≠0)图 象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴于点N.若四边形AMON的面积为8，则 k的值是 5.(2025·丹东二模)如图，点A在反比例函数y=二(k>0)的图象上，点A的横坐标为1，经过点A 的直线y=x十m与y轴交于点B(0,1),则k的值为 知识梳理 知识点1反比例函数的定义及k的几何意义 1. 般地，如果两个变量，y之间的关系可以表示成y=(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是工 的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为零。 g特别提醒：y=有时也被写成y=k·x或xy=k。 76 第一部分基础过关 2,过双曲线y-人(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形 k 面积为|k|,如图，S矩形PBOA=|k|,S△POA=S△POB= 21 A 【跟踪训练】 1.(2025春·沛县月考)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是 Ay- B.y=-1 C.y=2x D.y=x+2 2.(2025·谷城县模拟)已知反比例函数(k为常数，且k≠0)，在每一个象限内，y随x的增大而增大 写出一个满足条件的k的值为 3.(2024·深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC= 且点A落在反比例函数y-3(x>0)的图象上，点B落在反比例函数y 4 (x>0)的图象上，则k= 知识点2反比例函数的图象与性质 1反比例函数y=的图象是双曲线，是中心对称图形，对称中心是 :也是轴对称图形，有两 条对称轴是 2.反比例函数图象与性质： 表达式 图象 所在象限 增减性 在每一象限内，y的值随x值的增大而 k>0 第 象限 k y=(k为 x 常数，k≠0) 在每一象限内，y的值随x值的增大而 k<0 第 象限 0 【跟踪训练】 4.(2025春·莱州市期末)关于反比例函数y=一 ，下列结论正确的是 A.图象位于第一、三象限 B.图象与x轴有公共点 C.y随x的增大而增大 D,不存在与y=一的图象有交点的其他反比例函数 77 0加 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 5.(2025·深圳市福田区二模)已知反比例函数y=”(m为常数且m≠0)，当一3≤x≤-1时，y的最 x 大值是一2，则当2≤x≤4时，y的最小值为 6.(2025·深圳)如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数y 2一“的图象相交于点A和点B若A的横坐标为1，则B的坐标为 知识点3反比例函数的表达式及应用 1.一次函数y=k11十b和反比例函数y=的图象在同一坐标系中的交点坐标：把两个函数关系式 [y=k1x十b, 联立成方程组 k2 求方程组的解，得到的x和y的值就是交点的横坐标与纵坐标. y= x 2.函数与方程、不等式之间的关系： (1)两图象的交点代表y1=y2; (2)若函数y1的图象在函数y2的图象上方，则代表y1>y2; (3)若函数y1的图象在函数y2的图象下方，则代表y1<y2. 3.求函数解析式—待定系数法。 提示：反比例函数与一次函数相结合求解析式比较常见，求出交点坐标是解决问题的关键， 【跟踪训练】 k 7.(2025·深圳模拟)如图，已知一次函数y=x十m的图象与反比例函数y=二(k≥ 0)的图象相交于A,B两点.当m的值由4逐渐减小到一4时，关于线段AB的长 度，下列判断正确的是 ( A.由大变小 B.由小变大 C.保持不变 D.有最小值 8.(2025·深圳二模)小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波 频率fMHz 10 15 50 的波长入(m)会随着电磁波的频率∫(MHz)的变化而变化.已知 波长入：m 30 20 6 波长入与频率∫是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值， 若f=60MHz,则电磁波的波长入 m. 典例探究 考点口反比例函数图象与性质 (2025·福田区三模)若A,y,B(3,y)是反比例函数y一 (m<2)图象上的两 点，则y1,y2的大小关系是y1y2(填“>”“<”或“=”). 78 第一部分基础过关 5 (2)(2025·兴宁市一模)若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=。的图象 上，则x1,x2,x3的大小关系是 A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x2<x1 D.x2<x1<x3 y 变式1(2025·福田区校级三模)某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如 图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的 。丙 比值)y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在 同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多 的店是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 考点2反比例函数系数k的几何意义 例2(1)(2025·南山区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点 B在x轴负半轴上，点A在反比例函数y=二(k≠0，x<0)的图象上，若菱形ABCO的面 积为12，则k的值为 0 O 例2(1)题图 例2(2)题图 变式2题图 6 (2(2025·深圳模拟)如图，点B.C分别是反比例函数y=2（x>0)与y= (x>0)的图象 上的点，且BC∥y轴，过点C作BC的垂线交y轴于点A,则△ABC的面积为 ( A.6 B.4 C.3 D.2 变式2(2025·福田区模拟)如图，在直角坐标系中，正方形ABCD边长为4，AB∥y轴，BC∥x轴，其 对角线的交点E坐标为（一6,5），反比例函数y-冬的图象经过点C,则飞的值是 考点3反比例函数的应用 例3(1)(2025·龙华区二模)钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音 fHz)↑ 高)，琴弦的振动频率f(Hz)是琴弦张力T(N)的反比例函数.已知当张力 T=200N时，频率f=220Hz(即达到标准音高A3),如图.若要使频率升高 220 到440Hz(即达到标准音高A4),应该如何调整张力？ A.增大至150N B.减小至150N 0200 T(N) C.增大至100N D.减小至100N 79 新课标中考宝典·数学（深圳专用版》 (2)(2025·深圳模拟)如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积 成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥 湿地.已知人对木板的压力F()与人的质量m(kg)的关系如图2所示，若小明和小亮的 质量分别为50kg和70kg,且小明和小亮对木板的压强p(Pa)与木板面积S(m)的关系 如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂 线，交x轴于点M,交y轴于点N,交另一反比例函数图象p1于点P,过点P作y轴的 垂线，垂足为点Q,请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是 ( A.由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B.图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C.当木板面积为0.2m时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa D.四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 800 p/Pa 6 IA 2】 100 153045607590m/kg S/m 图 图2 图3 R/O 例3(2)题图 变式3题图 变式3(2025·深圳模拟)现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池 时，电流I1,I2(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关系，它们的图象如图所示若平行 于纵轴的直线l交I1的图象于点Q,交I2的图象于点P,过点P,Q分别作纵轴的垂线，垂 足为N,M,则矩形MNPQ的面积表示的实际意义是 ( A经过用电器的电流的差值 B.两款蓄电池的电压的差值 C.当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D.当用电器的电阻相同时的电流的差值 答题规范 示范题：(2025·深圳模拟)光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lux).智 能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度学习小组通过查阅资料，发现照度 y(Lux)是透明度x(%)的反比例函数，其图象如图所示.(6分) (1)求出y与x之间的函数表达式； ↑y/Lux 6000 答 (2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意.它适 5000 宜在照度1000Lux至3000Lux的室内生长，那么智能玻璃 4000 3000 的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由， 2000 A(30,2000) 与 解：(1)设y与x之间的函数表达式为y= 1000 1分 分标 把(30,2000)代入y=得，k=30X2000=60000. 0102030405060 x/0% y与x之间的画数表达式为y=60000, …………………………3分 (2)智能玻璃的透明度x应控制在20≤x≤60范围内，………4分 理由：把y=1000和3000分别代入y=60000 ,得x=60000 60000 60,x= =20,………… 1000 5分 3000 ,智能玻璃的透明度℃应控制在20x60范围内.………………………………………………6分 80 第一部分基础过关 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：5分钟正确率：8】 1.(2025春·姜堰区校级月考)关于反比例函数y=一 三，点(a,b)在它的图象上，下列说法中错误的是 A当x<0时，y随x的增大而增大 B图象位于第二、四象限 C.点(b,a)和（一b,一a)都在该图象上 D.当x<-1时，y<2 2.(2025·三门峡模拟)如图，点A在双曲线，=2（>0)上，点B在双曲线2= 6 (x<O)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC,BC,则△ABC的面积是( A.4 B.6 C.8 D.16 32025春，闵行区模拟)函数y=红一及与y车在同一华标系中的图象可能是 4.(2025·赶紧研县模拟)如图，已知直线y=kx(k≠0)与双曲线y=”交于A(4,2),B两点，则关于 x的不等式”<kx的解集为 2 阻力支点 动力 0 阻力臂 动力臂 第4题图 第5题图 第6题图 5.(2025·南山区二模)如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数y= (x<0)的图象上，AC 交y轴于点B.若B是AC的中点，△AOC的面积为5，则k的值为 6.(2025·南山区三模)如图，公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力×阻力 臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m,则 动力F关于自变量动力臂1(1>0)的函数解析式为 81 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 7.(2023·深圳)如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=∠BOC=30°，BAI OA,CB⊥OB,若AB=3,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点C,则= 第7题图 第8题图 8.(2025·山丹县校级三模)反比例函数y1- y在同一坐标系中的部分图象如图所 k2 T'y2= 示，则k1,k2,k3的大小关系为 (用“<”连接) (二)能九提升 【建议用时：10分钟正确率：5】 9如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，R,为气敏可变电阻，定值电阻 R。=302,检测时，可通过电压表显示的读数U(V)换算为酒精气体浓度p(mg/m3),设R=R1十 R。,电压表显示的读数U(V)与R(2)之间的反比例函数图象如图2所示，R1与酒精气体浓度p的 关系式为R,=一60p十60，当电压表示数为4.5V时，酒精气体浓度为 mg/m'. U/V y 45 R/2 B 图1 图2 B 图1 图2 第9题图 第10题图 第11题图 10.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO=AB=2,将△OAB沿 OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数y=的图象经过点C,则k 的值为 11.(2025·福田区校级三模)发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴 对称图形，其由底部矩形ABCD和两个反比例函数图象一部分DE,CF组成.以地面为x轴、AB 的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.已知AB=84m,BC=20m,EF=16m,则整个冷却塔 的高度为 m 12.(2025·宝安区三模)把一块含60°角的三角板ABC按如图方式摆放在平面直 角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO 60°，若BC=2,当点A,C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 82 第一部分基础过关 加 13.已知一个矩形的面积为6，长为x,宽为y. (1)y与x之间的函数表达式为 (2)在图中画出该函数的图象； 列表： 87 1 3 6 4 6 5 6 3 1.5 2 012345678x 上面表格中m的值是 描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象 (3)若点A(a,b)与点B(a+1,c)是该函数图象上的两点，试比较b和c的大小. (三)命题新方向 14.(2025·深圳模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的边BO 在x轴上，顶点A在反比例函数y=(x<O)的图象上，顶点C在反比例 函数y-(r>0)的图象上.若an∠AB0-,则k的值为 3 B 尝试·反思 研究反比例函数的路径是什么？ 835代6号7准BDm号 11.解：问题一：186克，74克 问题二：(1)根据题意，得e=172a+111(100-4)=61a+ 11100,∴.w与a的函数关系式为w=61a十11100. (2),61>0,.e随a的增大而增大， a≤30，.当a=30时，的值最大，100-30=70（棵）. 答：购买30棵杨树，70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量 最大 12.解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件 ①②： 根据题意，得十y+30-140 3y-x-40,,解得=60， 1y=50. 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； (2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10-m)个，根据题 意，得10-m≤2m,解得m≥3 10 又：m≤10..3≤m≤10， 设学校要购买篮球、足球的总费用为元， 根据题意，得w=60m十50(10一m）=10m十500， 10>0,.心随m的增大而增大， :10 ≤m≤10，且m为正整数， .当m=4时，心最小，最小值为540. 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元. 第12课时反比例函数的图象和性质 课前小测 1.C2.D3.C4.-85.2 知识梳理 知识点21.原点直线y=x和y=一x 2.一、三减小二、四增大 跟踪训练 1.B2.-1(答案不唯-)3.84D5.号6.(-1，-1D 7.D8.5 典例探究 例1(1)<(2)B变式1C 例2(1)-6(2)B变式2-12 例3(1)D(2)D变式3B 课堂检测 1.D2.A3.C4.-4<x<0或x>45.-106.F=600 7.4W38.k1<k2<k:9.0.510.3V311.10512.(5,0) 13.解：(1)y=x 6 (2)2图略；(3)b>c. 14.-3 第13课时二次函数的图象和性质 课前小测 1.D2.y=-x+x十2（答案不唯一）3.<4.(2,1) 5y=。x-1)+16,0 知识梳理 知识点2=一一名“。 4a 减小增大增大 参考答案 减小 知识点51.2个1个无 跟踪训练 1.B2.B3.B4.C5.B6.5 7.解：.抛物线y=ax2十bx+4与x轴交于A(-2,0),B(3,0) 两点，把A,B两点坐标代入抛物线y=ax2十bx十4，得 2 他数 a=-3' 2 6= 3· 2 心抛物线的解析式为y三了x+了x十4。 8.解：在平面直角坐标系中，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部 离水面高OC为4m.∴.A(-6,0),B(6,0),C(0,4), 设抛物线的表达式为y=a(x一0)2十4=ax2+4,将点B的坐 标代入得a×62+4=0,解得a= 91 抛物线的表达式为y=一)x十4. 9.解：B(3,0),.BO=3, 3 :tan∠ABC=- 将A(-1.0.B8.0).c(0.）代入y=a+6c+c 1 a-b十c=0, a=-2 9a+3b+c=0·解得b=1, 1 3 ∴.y= 3 3 2 c2 10.C11.A12.x=-1 13.(1)y=(x-1)2-4(2)(1,-4)(3)(0,-3)(4)(-1, 0)和(3,0)(5)8(6)x-1或x>3(7)一4x<5 典例探究 例1(1)C(2)D变式1C 例2(1)解：由一2a =-1.可得6=2a, y=ax2十2ax十4，又抛物线过点(2,0). 1 .4a十4a十4=0，解得a=-2 1 该二次函数的表达式y=一2x一x十4. (2)解：①y=x2十2x-2; ②顶点坐标为（一1，一3），作图略： ③n=1+v5或n=4-5. 变式2解：(1)y=-0.02x2十0.3x十1.6 (2)不能，理由如下： 由题意可知，OD=6m,CD=4m,DE=CF=2.2m,则OC=2m, 当x=2时，y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12, 2.12m<2.2m,∴此纯电货车不能完全停到车棚内； (3)设支柱OA拾高的高度为hm,则改造后棚顶横截面的解 析式为y1=-0.02x2+0.3x+1.6+h, 要求改造后车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充 电，∴.当x=1时，y1≥2.5， ∴.y1=-0.02×13+0.3×1+1.6+h=1.88+h≥2.5， 解得h≥0.62，即支柱OA拾高的高度至少需要大于0.62m. 例3(1)D(2)②③变式3B