第28节 圆的有关概念和性质-【中考宝典】2026年数学总复习（广东专用版）

例题精讲 例1C变1C例2B 变2证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO,DO=BO. .AE=CF,..AO-AE=CO-CF,OE=OF, ∴.四边形EBFD是平行四边形； (2).四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,∴.∠BAC=∠DCA. 又.∠BAC=∠DAC,∴.∠DAC=∠DCA ∴.AD=CD,∴.□ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,即EF⊥BD.又，DO=EO,∴.DB=EF ,四边形EBFD是平行四边形 .四边形EBFD是正方形 例3(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ,∴.AB=CD.在正方形BEDF中，BE=DF, ..AB-BE=CD-DF,..AE=CF; (2)解：在正方形BEDF中，BF⊥AB, .BF·AB=20,.BF=4, ,.CF=CD-DF=5-4=1. :在Rt△BCF中，CF2+BF2=BC,∴BC=√I7. 变3证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAP=∠DAP (AB=AD, 在△ABP和△ADP中，{∠BAP=∠DAP, AP-AP, .△ABP≌△ADP(SAS),.∠ABP=∠ADP 广东中考 1.A2.B 命题新考向 1.D2.A 3.(1)解：∠ABC=∠A1B1C1; (2)证明：，A1B1为正方形的对角线，.∠A1B1C1=45°.设 每个方格的边长均为1，则AB=√+32=√0： 连接AC,则AC=BC=√/12+2=√5.，AC2+BC2 =AB2, ∴.由勾股定理的逆定理，得△ABC是等腰直角三角形，， ∠ABC=45°，.∠ABC=∠AB1C1. 第六章圆 第28节圆的有关概念和性质 知识梳理 【以题点知】 1.D 2.OA,OB OC,OD ABAB,BC BC BAC 3.60°4.67.5°5.C6.57.C8.B 【核心笔记】 知识点1 1.定点定长2.线段圆心的弦 3.两点间的部分半圆优弧劣弧4.等圆互相重合 知识点2 1.相等相等2.一组量相等 知识点3 1.平分2.垂直平分弦圆心 知识点4 1.同一个2.互补 例题精讲 例1B变1C 例2解：(1)如答图1所示： 参考苔宋 答图1 答图2 (2)记OD与AC的交点为F,如答图2所示： :OD⊥AC,.F为AC的中点. “OF是△ABC的中位线，OF=2BC=3. .OF⊥AC,.OF的长就是点O到AC的距离」 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6,.AB=10. OD-OA-AB-5. ∴.DF=OD-OF=5-3=2 :F为AC的中点，∴CF=2AC=4. 在Rt△CDF中，DF=2,CF=4, :CD=25,则sin∠ACD-CD25-5 DF 25 点O到AC的距离为3，sm乙ACD的值是气 变2(1)证明：：点D是AC的中点，OD过圆心， .OD⊥AC,AF=CF, ,AB是直径，.∠ACB=90°=∠DFE. 又∠DEF=∠CEB, ∴.△DEF∽△BEC; (2)解：△DEF∽△BEC 距-器--g 设DF=2x(x>0),则BC=6x. .AO=BO,AF=CF. ∴0F=2Bc=3a,0D=5a=0A. ∴.AF=√/AO2-OF2=√25x2-9x2=4x=CF ..CE=3x,EF=x. DE2=EF2+DE2 4=5巴.工（负值舍去)》 D0=25, .⊙0的面积=πXOD2=20π. 广东中考 1.B2.B 3.解：(1)△ABC是等腰三角形.证明：，AC是圆的直径，则 ∠ABC=∠ADC=90°， ,∠ADB=∠CDB,∠ADB=∠ACB,∠CDB=∠CAB, ∴.∠ACB=∠CAB. .△ABC是等腰直角三角形； (2),△ABC是等腰直角三角形， .BC=AB=√2」 .AC=√AB2+BC=2. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1, 则CD=√JAC-ADF=√3， ∴.CD=√3. 命题新考向 1.解：任务1，设圆心为点O,则点O在CD的延长线上，延长 新课标中考宝典数学（广东专用版）》 CD,则CD经过点O,连接AO,如答 图1， 设桥拱的半径为rm, .OD=(r-4)m. 1 答图1 .OC⊥AB,∴.AD=BD= 8m. 0D2十AD2=OA2,.(r-4)2+82=r2,.r=10. ∴.圆形拱桥的半径为10m. 任务2，根据题图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要 增加(900-500√3)t的货物才能通过.理由： 当EH是⊙O的弦时，设EH与OC的交点为M,连接 OE,OH,如答图2， ,四边形EFGH为矩形， ∴.EH∥FG. .'OC⊥AB,.OM⊥EH .EM-2 EH-5 m. 答图2 ∴.OM=√OE-EM=53m. OD=6m,.DM=(5√3-6)m<3m. ,∴.根据题图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ∴.船在水面部分可以下降的高度y=3一(53一6)=(9 53)(m). “y=10x=10(9-53)=900-500,5, .至少要增加(900一500√3)t的货物才能通过. 第29节与圆有关的位置关系 知识梳理 【以题点知】 1.C2.C3.C4.D5.B6.B 【核心笔记】 知识点2 1.等于2.(1)1(2)等于(3)切点 知识点3 1.（1)内切圆角平分线内心(2)距离相等 2.(1)三个顶点三条边的垂直平分线 (2)距离相等 例题精讲 例1C变1C例2110°变2 16 3 x 例3(1)证明：如答图，连接OD. .DE⊥CF, ∴.∠DEC=∠DEF=90° AB=AC,∴∠C=∠B. ,OD=OB,.∠ODB=∠B .∠C=∠ODB..ODCA. ∴.∠ODE=∠DEC=90° 答图 ∴.OD⊥DE且OD为⊙O的半径 ,.DE是⊙O的切线； (2)解：如答图，过点O作OG⊥AF于点G, ∠0GE=∠0GA=90,AG=GF=号AR. 又.∠DEG=∠ODE=90°， ∴.四边形OGED为矩形. ..OG=DE,OD=GE=5. 设EF=x,则GF=AG=5-x,DE=OG=AF-2=2AG- 2=8-2x. 在Rt△OAG中，AG2+OG2=OA2, 即5-x)2+(8-2x=5,解得x=2或x=(舍去 .EF的长为2. 变3(1)证明：如答图，过点 D O作OE⊥BC于点E. .AB与⊙O相切于 点A,CD⊥BO, .∠BAO=∠D=90° 又，∠AOB=∠COD. B C .∠ABO=∠DCO, 答图 ,'∠CBD=∠DCO.∴.∠ABO=∠DBC. 又.OA⊥AB,OE⊥BC,.OE=OA. .BC是⊙O的切线； (2)解：，AB=5,BC=13 ∴.AC=√BC2-AB2=√/132-5=12. 在Rt△OAB和Rt△OEB中， 8R-OE:R△OAB≌R△0EB, ..BE=BA=5...CE=BC-BE=13-5=8, 在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2,即OA2+82=(12 -0A),解得0A-9⊙0的半径为。 广东中考 1.A2.A3.B 4.证明：如答图，连接OD. 0 答图 ,⊙O与边BC相切于点D,.OD⊥BC,即∠ODC=90°. ,△ABC为直角三角形，∴.∠ODC=∠B=90°， ∴.OD∥AB. .∠1=∠3 .'OD=OA,.∠1=∠2..∠3=∠2. ∴.AD平分∠BAC 5.(1)解：(1)如答图1所示，⊙0即为 所求； (2)如答图2， ,AB,AG与⊙O分别相切于点E, G,且OG为半径， .OG⊥AG于点G,∠OAE= 答图1 ∠OAG,,.∠AGB=90°， ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD =20A=20B, ..OA=OB, .∠OAE=∠OBE=∠OAG, 又∠OAE+∠OBE+∠OAG ∠GAB+∠GBA=90°. 答图2 .∠OAE=30°，.∠ACB=90° ∠OAE=60°， ,.tan∠ACB=√3. 命题新考向 1.(1)证明：连接B0,D0,如答图1，由圆 D 周角定理得∠A=名∠1，∠C 3∠BOD, 1 :∠1+∠B0D=360°， .∠A+∠C=180°. 答图1第一部分基础过关 第六章 圆 第28节 圆的有关概念和性质 考点分析 广东近五年真题分析 考点 2021 2022 2023 2024 2025 圆周角定理及推论 题7,3分 题9,3分 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念；探索并 掌握点与圆的位置关系 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条孤 3.探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系，知道同孤（或等孤）所对的圆 课标要求 周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对孤上的 圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径；圆内接四边形的对角互补 4.了解三角形的内心与外心 5.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 知识梳理 知识点①圆中的有关概念及性质 写以题点知 写核心笔记 1.(教材改编)AB是⊙0中最长的弦，若AB=8,则⊙O ★1.圆：平面上到 的距离等于 的所 的半径长为 有，点组成的图形. A.8 B.7 C.6 D.4 ★2.弦：连接圆上任意两，点间的 叫做弦， 经过 叫做直径。 2.如图，在⊙0中，半径有 ★3.圆孤：圆上任意 叫做圆孤，简称 ,直径有 ,弦有 孤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弦BC所对的劣弧是 孤，每一条孤都叫做 大于半圆的孤 ,弦BC所对的优弧是 叫做 ；小于半圆的孤叫做 ★4.能够重合的两个圆叫做 在同圆或等圆 中，能够 的孤叫等孤. 国特别提醒：孤长相等的孤不一定是等孤 知识点2弧、弦、圆心角的关系 国以题点知 国核心笔记 3.如图，AB是直径，BC=C⑦D=DE, ★1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 孤 ,所对的弦也 ∠B0C=40°，∠AOE的度数 是 139 门新课标中考宝典·数学（广东专用版） 4.如图，在⊙0中，AB=AC,∠A=45°， ★2.推论：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条孤，两 条弦中如果有 那么其他各组 则∠B的度数为 0 量也分别相等 特别提醒：运用这个定理，一定要记住前提条件 “在同圆或等圆中”， 知识点③垂径定理及其推论 国以题点知 核心笔记 5.(教材改编)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD ★1.垂径定理：垂直于弦的直径 于点E,则下列结论不一定正确的是 ( 这条弦，并且平分弦所对的两 A.CD=2ED B.AC=AD C.OE=BE 条孤 D.OA=OB ★2.推论1：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 所对的 两条孤 0 弦的垂直平分线经过 ,并 且平分弦所对的两条孤， 第5题图 第6题图 特别提醒：平分弦（这条弦不是直径） 6.如图，⊙0的弦AB=6,C为AB的中点，且0C=4,则⊙0的 的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 半径为 两条孤 知识点④圆心角、圆周角之间的关系 写以题点知 核心笔记 7.如图，△ABC内接于⊙0，CD是⊙0的直径，∠ACD=40°，则∠B=( ★1.定义：如果一个多边形的 A.70° B.60° C.50° D.40° 所有顶点都在 圆上，这个多边形叫做 圆内接多边形，这个圆 叫做多边形的外接圆. ★2.性质：圆内接四边形的 第7题图 第8题图 对角 8.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的：国特别提醒：圆内接四边形对 度数是 ):角互补且任意一个外角等于它 A.80° B.100° C.140 D.160° 的内对角 例题精讲 考点①求圆周角、圆心角度数 例1 如图，点A,B,C是⊙0上的三点，若∠C=35°，则∠AB0的变1 如图，BD是⊙O的直径，点A,C 度数是 在圆上，∠A=50°，∠DBC的度数 A.35° B.55° 是 ( A C.60° D.70° A.50° B.45° 点拨在圆中求角，先观察角的身份，通常找 C.40° D.35° 孤作桥梁，联系圆周角与圆心角的关系， 140 第一部分基础过关 考点2垂径定理及其推论应用 例2（2022·广州)如图，AB是⊙0的 变2 (2023·无锡·一模) 直径，点C在⊙0上，且AC=8, 如图，以AB为直径的 BC=6. ⊙O经过△ABC的顶 (1)尺规作图：过点0作AC的垂 点C,D是AC的中点， 线，交劣弧AC于点D,连接CD(保留作图 连接BD,OD,分别交AC于点E,F 痕迹，不写作法)； (1)求证：△DEF∽△BEC; (2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离 (2)若DE=2,BE=6,求⊙0的面积. 及sin∠ACD的值. 点拨利用垂径定理以及三角形中位线的性质，再结 合勾股定理和锐角三角函数的定义可求解， 141 了新课标中考宝典·数学（广东专用版） 广东中考 :1.(2023·广东)如图，AB是⊙0的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为 A.20° B.40° C.50° D.80° D 第1题图 第2题图 2.(2021·广东)如图，AB是⊙0的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1, 则⊙0的直径为 A.3 B.23 C.1 D.2 3.(2022·广东)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC为⊙0的直径，∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度， 142 第一部分基础过关 命题新考向 1.【项目学习】（应用意识、运算能力、推理能力）(2024·湖南一模)根据素材解决问题. 设计货船通过圆形拱桥的方案 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽 素材1 图1 AB=16m,拱顶离水面的距离CD=4m. 图2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF= 3m,EH=10m.因水深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查，船 素材2身下降的高度y(m)与货船增加的载重量x(t)满足函数关系式y= 图3 100 问题解决 任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少 任务2 拟定设计方案 吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ >请完成课时作业P56-57习题143