第8课时 不等式与不等式组及其解法-【中考宝典】2026年数学总复习（深圳专用版）

00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 第8课时不等式与不等式组及其解法 课前小测 1.(2025春·盘龙区期末)限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在 立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制 要求.如图所示，能通过该路段的车辆高度x(单位：米)的范围可表示为 () A.x>3 B.x=3 C.x<3 D.0<x≤3 2.(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a>b.都加入c克水后，下列式 子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是 A.a+c>b+c B.a+c=b+c C.a十c<b+c D.a-c<b-c 3.(2025·吉林)不等式x一3>2的解集为 A.x>5 B.x<5 C.x>-1 D.x<-1 3x+1>-2, 4.(2025·罗湖区校级三模)把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是 2x-4≤0 -3-2-10123 -3-2-10123 -3-2-10123 -3-2-10123 B x+4>0, 5.不等式组 的解集为 2(x+1)≥x 知识梳理 知识点①不等式的相关概念与基本性质 1.概念：一般地，用符号 连接的式子叫作不等式， 特别提醒：用“≠”连接的式子也是不等式」 2.不等式的解：能使 的未知数的值，叫作不等式的解； 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 组成这个不等式的解集， 3.不等式的基本性质 基本性质 文字语言 符号语言 基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不 如果a>b,那么 等号的方向 不等式的两边都乘（或除以）同一个 ①如果a>b,c>0那么 基本性质2 等号的方向不变 ②如果4>b,c>0,那么2> 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号 ①如果a>b,c<0那么 基本性质3 的方向 ②如果a>b,c<0,那么a< 特别提醒：不等式具有传递性，如a>b,b>c,则有a>c. 40 第一部分基础过关 【跟踪训练】 1.(2025·衡水模拟)若不等式“x■3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是 A.≤ B.< C.≥ D.> 2.(2025·越秀区校级三模)若x=3.5是某不等式的解，则该不等式可以是 A.x>5 B.x>4 C.x<4 D.x<3 3.(2025·海珠区校级二模)如果α<b,那么下列不等式正确的是 A.-2+a<-2+b B.-2a<-2b C2-g D.a2>62 知识点2一元一次不等式 1.概念：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式称为一元一次不等式 2.解一元一次不等式的步骤： (1)去分母：不等式中未知数系数有分母时，给不等式两边都乘以各分母的 特别提醒：不要漏乘不含分母的项（尤其是常数项），分子是多项式的要添括号 (2)去括号：当不等式中有括号时，先去括号 特别提醒：不要漏乘括号内的每一项，括号前是负号时，去括号后括号内各项均要 (3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的 边，其他项都移到不等式的右边。 特别提醒：移项要 (4)合并同类项：系数相加，字母及其指数均不变 (5)系数化为1：不等式两边都除以未知数的 ,不要漏掉符号 窗特别提醒：除以负数时，不等号的方向发生改变 3.一元一次不等式的解集在数轴上的表示： (1)大于向右画，小于 画：(2)有等号用 ,无等号用空心圆圈， 示例： 解集 在数轴上的表示 解集 在数轴上的表示 I<a x>a x<a xPa 【跟踪训练】 4.(2025·福建)不等式2x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是 012 01234 01234 5.(2025·青海模拟)写出一个解集为x<5的一元一次不等式： 6.(2025·丛台区校级三模)不等式x十1<3的正整数解为x 41 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 知识点3一元一次不等式组 1.概念：几个含有同一个未知数的 合在一起就组成了一元一次不等式组 2解集：一般地，两个不等式解集的 叫作由它们组成的不等式组的解集 3.解一元一次不等式组的步骤： (1)分别求出每个一元一次不等式的解集；(2)在数轴上表示各不等式的解集； (3)确定各不等式解集的 ;(4)得出不等式组的解集. 口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小便无解. 4.在数轴上的解集(b>a) 类型 在数轴上表示 解集 ≥a, x≥b a b (sa, x≤b x≥a, x≤b |x≤a, 二 x≥b a b 【跟踪训练】 7.(2025·长春)下列不等式组无解的是 x>2, x>2, A. B. C.<2, D./2, x>-1 x<-1 x<-1 x>-1 8.(2025·内蒙古)不等式组 x-1≥0， 的解集在数轴上表示正确的是 x<3 -1012345 -1012345 -1012345 -1012345 B D 典例探究 考点①不等式的概念与基本性质 例1(2025·定陶区二模)下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式 不等式在求 解的过程中 不等式的解集为 需要改变不 等号的方向 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是 A.2x≤10 B.2x<10 C.-2x≥-10 D.-2x≤-10 42 第一部分基础过关 变式1不等关系在生活中广泛存在.如图，a,b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两 人的对话体现的数学原理是 ( A.若a>b,则a十c>b十c 我比你高 你还是比我高。 B.若a>b,b>c,则a>c C.若a>b,c>0,则ac>bc D.若a>b,c>0,则a>b 考点2解一元一次不等式（组） 2x≥x-1① 例2(2025·深圳)解一元一次方程组{1 并在数轴上表示. 2 x+2)<3②， 解：由不等式①，得 由不等式②，得 在数轴上表示为： -5-4-3-2-1012345 所以，原不等式组的解集为 变式2(1)(2022·深圳)一元一次不等式组区-120 的解集为 x<2 -3-2-10123 -3-2-1023 2-102 A B C D 3x≤2x+1,① (2)(2025·天津)解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答. 2x-3≥x-5,② 解不等式①，得 ;解不等式②，得 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 (3)原不等式组的解集为 -4-3-2-101234 考点③一元一次不等式（组）的特殊解 5-2x≥-1， 例3不等式组 的整数解为 x-2>0 变式3关于x的不等式组 2x一30， 恰有3个整数解，则a的取值范围是 x-a>0 43 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 考点④由实际问题抽象出一元一次不等式（组 例4(2025·福田区校级三模)研究表明，运动时将心率p(次)控制在最佳燃脂心率范围内，能起到 燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用.最佳燃脂心率最高值为(220一年龄)×0.8，最低值为 (220一年龄)×0.6，所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为 ( A.120≤p≤160 B.123≤p≤164 C.126≤p≤168 D.132≤p≤176 变式4(2025·宜宾)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得 10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对 的题数是 ( A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 特别提醒：由实际问题抽象出一元一次不等式（组）中常见词语及符号的对应关系：(1)一般题目中 含有“超过”“超出”“大于”用“>”表示；(2)“低于”“小于”用“<”表示；(3)“不大于”“至多”“最多”“不 超过”用“≤”表示；(4)“至少”“不低于”“不小于”用“≥”表示 答题规范 3(x-1)<5x-1, 示范题：解一元一次不等式组： x+21 (6分) 答题 2 3 3(x-1)<5x-1①， 与 解2>0 2 解不等式①，得x>一1， …2分 标 解不等式②，得x> 3， 4分 所以原不等式组的解集为x>一1. 6分 课堂检测 (一)基础过关 【建议用时：8分钟正确率：/7】 1.(2025·东莞市模拟)北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠.为保证口 感，北京烤鸭的标准鸭子重量x(kg)一般不低于2.5kg,不高于3kg.下面用不等式表示这一范围正 确的是 A.2.5<x<3 B.2.5≤x≤3 C.2.5<x≤3 D.2.5≤x<3 3-x≥0， 2.(2025·南山区校级模拟)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 12x+4>0 -3-2-10 23 -3-2-10123 -3-2-10123 B D 44 第一部分基础过关 3.(2025·沈阳模拟)若m>n,则下列各式中正确的是 A.m+2<n+2 B.m-3<n-3 C.-5m<-5n g 2x+1>5, 4.(2025·山西)不等式组 的解集是 1-3.x≥-8 A.x<2 B.x≥3 C.2<x≤3 D.无解 5.(2025·广东模拟)不等式一2x-3>0的最大整数解是 6.(2025·泸州)若点(1，a-2)在第一象限，则a的取值范围是 70解不等式，。<2，并把解纸表示在数辅上。 -3-2-10123 (2)(2025·扬州)解不等式组： 14x-3≤x,① 3(x+1)>2.x,② 并写出它的所有负整数解。 (二)能力提升 【建议用时：8分钟正确率：5】 8.(2025·深圳模拟)不等式组2-31， 的解集为 13x-2≥x-6 [4-2x≥0， 9.关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 2x-a>0 x-3>-1, 10.(2025·南充)不等式组 的解集是x>2,则m的取值范围是 -x<-m+1 45 00 新课标中考宝典·数学（深圳专用版） 11.(2025·南山区一模)根据实数乘法（除法）法则可知： ①若ab>0(或8>0，则0 么、。或0。若abo(或6o则0， 或 a<0, b<0b>0. 根据上述知识，求不等式(x一2)(x+3)>0的解集的过程如下： 解：原不等式可化为①一2>0 或② x一2<0， x+3>0 x+3<0. 解①得x>2,解②得x<-3, ∴.原不等式的解集为x<一3或x>2. 请你运用所学知识，结合上述内容解答下面的问题： (1)不等式(x+1)(x-3)<0的解集为 (2)求不等式十40的解集（要求写出解答过程）. 41一x 12.(2025春·铜梁区期末)小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：求绝对值不等式|a>2 的解集.小明同学的思路如下： a|的几何意义是数a在数轴上对应的，点到原，点的距离.所以，a|≤2可理解为：数a在数轴 上对应的点到原点的距离不大于2.|a|>2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于 2;所以不等式|a>2的解集是a<-2或a>2. 【定义概念】我们定义：形如x≤m,|x≥m,lx|>m,|x<m(m为非负数)的不等式称为绝对 值不等式能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集， 利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由图1，图2可得出，绝对值不等式x≤3的解 集是-3≤x≤3；绝对值不等式x>4的解集是x<一4或x>4. 【简单运用】(1)①不等式|x|<2的解集是 ②不等式|x>5的解集是 【拓展探究】(2)请求出绝对值不等式x+2+1≥5的解集； (3)不等式|x+2|+|x一1|≤6的解集是 -5-4-3-2-1012345 图1 图2 46 第一部分基础过关 (三)命题新方向 13.【综合应用】(2025·罗湖区二模)“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱.钱大妈惠民店 销售的西红柿有两个品种供顾客选择：一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿请根据以下 素材完成相应的任务， 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的1.5倍. 每天全场清货时间 当天商品售完即止 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多20kg. 9 19:00全场 九折 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30kg,其中白天(7：00一19：00》 素材3 19:30全场 八折 可销售20kg,剩下10kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如图. 20:00全场 七折 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个 20:30全场 六折 素材4 时段都销售2千克， 21:00全场 五折 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 若期望销售“有机”西红柿利润不低于20%，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑 任务2 其他因素产生的费用和损耗) 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售“有机”西红柿都是2kg),则每天进货 任务3 多少时利润最大？ 尝试·反思 1.等式与不等式的“解”和“解集”有何本质区别？为什么不等式更强调“解集”的概念？ 2.用数轴表示不等式（组）的解集有何好处？请你结合你的学习经验说一说。 47新课标中考宝典·数学（深圳专用版） x2-(x1十x2)+1=2-m2-3+1=-m3, m2≥0，∴.-m2≤0，即(x1一1)(x2一1)≤0 例3A变式3A 课堂检测 1.C2.C3.D4.B5.0(答案不唯一)6.4 7.解：(1)x2+2x=3, x2+2x+1-3+1,(x+1)2-4,x--1±2， .x1=1,x2=-3. (2)解：.a=2,b=-7,c=6, .△=(-7)2-4×2×6=49-48=1， “x=-6±V6-4ae_7士1 3 2a -2X2心x1=2,1=2 8.D9.610.20 11.a可以为0当a-0时，方程化为一6x一15-0，解得x- 、65 -2 12.解：(1)移动围栏的总长为140m,且观众席内有x行座椅， .每行的座椅数为(140一2x)个. 140-2x≤72，.x≥34，∴.x的最小值为34. (2)座位够坐，理由如下： 依题意，得x(140-2x)=2400, 整理，得x2一70x+1200=0,解得x1=30(不符合题意，舍 去)，x2=40, ,若全校师生共2400人，那么座位够坐 13.一原方程没有化成一般形式 第8课时不等式与不等式组及解法 课前小测 1.D2.A3.A4.A5.x≥-3 知识梳理 知识点11.“<”（或“≤”），“>”（或“≥”） 2.不等式成立所有解3.不变a士c>b士c正数 0a>⑧名发生改变 ①acbe②b 知识点21.一个12.(1)最小公倍数(2)特别提醒：变号 (3)左特别提醒：变号(5)系数3.向左实心圆点 知识点31.一元一次不等式2.公共部分3.(3)公共部分 4.x≥bx≤aa≤x≤b无解 跟踪训练 1.A2.C3.A4.C5.x-5<0(答案不唯一) 6.1(答案不唯一)7.B8.C 典例探究 例1C变式1A 例2x≥-1x<4一1≤x<4解：在数轴上表示如答图. -5-4-3-2-1012345 答图 变式2(1)D(2)x≤1x≥-2(3)-2≤x≤1 解：(2)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如答图 上 -4-3-2-101234 答图 例3x=3变式3-2≤a<-1例4B变式4C 课堂检测 1.B2.D3.C4.C5.-26.a>2 7.解：(1)去分母，得3(3x-1)≤2(2x十1)， 去括号，得9x-3≤4x十2，移项，得9x-4x≤2十3， 合并同类项，得5x≤5，化系数为1，得x≤1， ∴，该不等式的解集为x≤1，数轴表示如答图所示. ，。，。，。。 -4-3-2-1012345 答图 (2)解：解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x>一3， 不等式组的解集为一3<x≤1. ∴.不等式组的负整数解有一2，一1. 8-25x<49-}<a<010m<3 11.解：(1)-1<x<3 (2)原不等式可化为①任+>0'或@：+40， 11-x<0 1-x>0, 解①得x>1,解②得x<-4, .原不等式的解集为x<一4或x>1. 12.解：(1)①一2<x<2②x<-5或x>5 (2)|x+2|+1≥5，|x+2≥4，.x+2≤-4或x+2≥4， .x≤一6或x≥2. (3)-3.5≤x≤2.5 13.解：（任务1）设“红粉”西红柿的进价是x元，则“有机”西红柿 的进价是1.5x元，根据题意，得 300300 x1.5.x =20,解得x=5,经检验，x=5是所列方程的解， 且符合题意，.1.5x=1.5×5=7.5(元). 答：“有机”西红柿的进价是7.5元，“红粉”西红柿的进价是 5元. (任务2)设“有机”西红柿的标价（白天的售价）是y元，根据 题意，得20y+2×0.9y+2×0.8y+2×0.7y+2×0.6y+2× 0.5y-7.5×30≥7.5×30×20%， 解得y≥10，∴.y的最小值为10. 答：“有机”西红柿的标价（白天的售价）最低价是10元. (任务3)10×0.8=8（元），10×0.7=7（元），8>7.5>7， ∴.20：00之前全部售出，获得的利润最大， ∴.20+2十2=24（千克）. 答：每天购进24千克“有机”西红柿时利润最大。 第9课时方程（组）与不等式（组）的应用 课前小测 1.D2.B3.A4.A5.C 知识梳理 知识点32.(1)a(1-x)=b(4)(a-2x)(b-2x)(a-x) (b一x) 知识点41.(3)找不等关系2.(1)>(2)<(3)≤(4)≥ 跟踪训练 1.A2.B3.B4.C5.B6.C7.A8.D9.A 典例探究 例1解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条 件①②： 根据题意，得十y十30=140，解得=60， 2y-x=40, y=50, 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元. (2)540 变式1 (5x-11=7y, {7x-25=5y.