9.2.4总体离散程度的估计讲义（知识归纳与试题检测）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“总体离散程度的估计”核心知识点，系统梳理方差的定义、性质，总体与样本方差、标准差的计算方法，以及分层随机抽样的方差公式，构建从基础概念到实际应用的知识支架。 资料以问题式归纳引导学生主动思考（数学眼光），试题涵盖选择、填空、解答题，结合足球联赛数据、气温判断等实际情境，培养逻辑推理与数据处理能力（数学思维），助力学生用数学语言解释现实问题。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

9.2.4　总体离散程度的估计 知识归纳与试题检测(学生版) 问题式教材知识归纳 【1】方差的定义：如果的平均数为，那么方差可用求和符号表示为________=_______． 【2】方差的性质：如果a，b为常数，那么的方差为________． 【3】总体方差和标准差 （1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称__________为总体方差，_________为总体标准差． （2）总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为____________． 【4】分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为______________． 【5】样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称__________为样本方差，_________为样本标准差． 【6】标准差的意义 标准差刻画了数据的________或_________，标准差越大，数据的离散程度越________；标准差越小，数据的离散程度越____________． 【7】总体方差的加权形式：如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为 _________ 【8】分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为，，样本均值分别为，，样本方差分别为，，则全部样本方差为________． 基于教材的检测题 一、单选题 1．已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 2．在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 3．某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 4．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26. 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10.4. 丙地：中位数是24，众数是22. 则由此判断一定进入夏季的地区是（    ） A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地 5．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 8．某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 二、多选题 9．一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（    ） A．极差相同 B．平均数相同 C．方差相同 D．中位数相同 10．有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 11．某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B．这10个月营业额的极差为37万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的下四分位数为23 三、填空题 12．现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 13．已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________． 14．已知如下的两组数据：第一组：20，21，22，25，24，23；第二组：．若两组数据的方差相等，则实数的值为_____． 四、解答题 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 16．在篮球选修课上，男､女生各有5名编号为的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男､女生的投篮水平， (1)求男､女生投篮命中数的极差和平均数 (2)求男､女生投篮命中数的方差并判断谁的命中数更稳定. 17．某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 18．近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 19．在某中学初一年级6班学生身高的调查中，采用分层随机抽样，其中男生抽取了m人的样本，其平均数与方差分别为，；女生抽取了n人的样本，其平均数与方差分别为，；总样本数据平均数与方差分别为，．设，，则：． (1)若，米，，现再从初一年级6班学生中抽取两个男生作为样本，他们的身高分别为米和米，求所有男生样本的方差； (2)若且，证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.4　总体离散程度的估计 知识归纳与试题检测(详解版) 问题式教材知识归纳 【1】方差的定义：如果的平均数为，那么方差可用求和符号表示为________=_______． 【2】方差的性质：如果a，b为常数，那么的方差为________． 【答案】 【3】总体方差和标准差 （1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称__________为总体方差，_________为总体标准差． （2）总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为____________． 【答案】 【4】分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为______________． 【答案】 【5】样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称__________为样本方差，_________为样本标准差． 【答案】 【6】标准差的意义 标准差刻画了数据的________或_________，标准差越大，数据的离散程度越________；标准差越小，数据的离散程度越____________． 【答案】 离散程度 波动幅度 大 小 【7】总体方差的加权形式：如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为 _________ 【答案】 【8】分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为，，样本均值分别为，，样本方差分别为，，则全部样本方差为________． 【答案】 基于教材的检测题 一、单选题 1．已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】A 【分析】设原始数据为，新数据为，且，则，根据样本的数字特征的定义和计算公式分析即可判断. 【详解】原始数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后， 新数据：， 对于A，由知，故A正确； 对于B，原始数据的众数为3，新数据的众数为6，故B错误； 对于C，原始数据的中位数为，新数据的中位数为，故C错误； 对于D，由知，故D错误. 2．在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ） A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大 B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大 C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大 D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大 【答案】C 【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小． 【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4， 所以甲队进攻能力比乙队强， 又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2， 所以乙队进球数波动较大． 3．某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，平均值为： 而混合数据后，新方差计算如下：. 4．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26. 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10.4. 丙地：中位数是24，众数是22. 则由此判断一定进入夏季的地区是（    ） A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地 【答案】B 【详解】设5天气温从小到大排列为. 甲地：中位数，平均数. 因中位数大于平均数，所以必有，可构造，不一定入夏，如21,26,27,28,28. 乙地：5天平均气温为26，总和为，方差，故气温与均值差的平方和为. 假设存在一天气温为21（低于22），与均值差为，平方为25， 最高气温31, 剩余天平方和只需，又因为. 所以完全可以构造出五个数满足总和130,方差10.4,最大为31的数值， 因此乙地不能保证每天气温，不一定进入夏季，如21,25,26,27,31. 丙地：中位数，众数，，故； 众数为，则，5天均，一定入夏. 5．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得 ，则， 新增一个数据3后，数据变为 ， 则新数据的平均数为 ， 已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ， 则， 所以新数据的方差为，, 则 ，化简可得 ，解得. 6．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 7．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 8．某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】先设男、女生的人数占比，将已知条件转化为方程或方程组，最后求解. 【详解】设该班男生占比为，则女生占比为，其中， 已知男生成绩的平均数，方差， 女生成绩的平均数，方差， 全班成绩的总平均数， 因为全班成绩的总方差， 即， 化简得， 解得或（舍）， 所以该班女生人数为人. 二、多选题 9．一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（    ） A．极差相同 B．平均数相同 C．方差相同 D．中位数相同 【答案】AC 【分析】利用每个数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，逐一对比原数据与新数据的四个统计量即可得到结果. 【详解】设新数据为 ，逐个分析选项： 对于选项A： 原极差 ，新极差 ，极差相同，A正确； 选项B： 原平均数为 新平均数 ，平均数不同，B错误； 选项C： 原方差 ，新方差：，方差相同，C正确； 选项D： 原中位数为 ，新中位数为 ，因 ，故中位数不同，D错误. 10．有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为，极差为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则， 所以与的中位数都为，故A正确； 当时，余下8个数据的极差为，故B错误； 由，故C正确； 又， 由，所以， 所以，即余下8个数据的平均数为， 所以， 所以，故D正确. 11．某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B．这10个月营业额的极差为37万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的下四分位数为23 【答案】AC 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，最大数据减去最小数据，即可判断；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算即可判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B，极差为，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以下四分位数取第3项，即25，D错误. 三、填空题 12．现有甲、乙两组数据，每组数据均由6个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】5 【详解】设甲组数据分别为，乙组数据分别为. 甲组数据的平均数为3，方差为5， ，得；，得. 乙组数据的平均数为5，方差为3， ，得；，得. 两组数据混合成一组，新的一组数据的平均数为， 方差为 13．已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为__________． 【答案】/1.25 【详解】样本数据的均值， 因为， 所以，解得， 所以这组数据的方差． 14．已知如下的两组数据：第一组：20，21，22，25，24，23；第二组：．若两组数据的方差相等，则实数的值为_____． 【答案】21或27 【分析】将数据分为两层，分别求出两组数据的平均数与方差，再由两组数据的方差相等求解即可. 【详解】 将数据分为两层：，其中． 则 于是或27． 故答案为：21或27. 四、解答题 15．在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86    86    87    90    91    93    93    94 小组：69    84    90    91    92    93    94    99 (1)分别求两组评委打分的平均分； (2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】(1)90，89； (2)组更像，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【详解】（1）记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. （2）组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 16．在篮球选修课上，男､女生各有5名编号为的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男､女生的投篮水平， (1)求男､女生投篮命中数的极差和平均数 (2)求男､女生投篮命中数的方差并判断谁的命中数更稳定. 【答案】(1)男生投篮命中数的极差和平均数分别为，女生投篮命中数的极差和平均数分别为 (2)男､女生投篮命中数的方差分别为，女生的命中数更稳定 【分析】（1）利用极差公式和平均数公式即可求出答案； （2）利用方差公式即可求出男､女生投篮命中数的方差，根据方差越小越稳定即可进行判断. 【详解】（1）男生投篮命中数最大值为，最小值为， 所以男生投篮命中数的极差为， 男生投篮命中数的平均数为， 女生投篮命中数最大值为，最小值为， 所以女生投篮命中数的极差为， 女生投篮命中数的平均数为. （2）男生投篮命中数的方差， 女生投篮命中数的方差为， 因为，所以女生命中数更稳定. 17．某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况，随机采摘了100个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． (1)估算样本的中位数； (2)已知上的平均重量是65克，方差是6，上的平均重量为75克，方差是3，求两组重量的总方差． 【答案】(1)75 (2)28.2 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算出样本的中位数. （2）利用分层抽样的方差公式计算即得． 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得，    数据在的频率为，在的频率为， 所以样本的中位数约为. （2）由（1）知数据在上与上的频率之比为， 因此样本数据的总平均重量（克），             所以总方差. 18．近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 【答案】(1) (2)分 (3)平均数，方差 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即得； （2）先确定中位数所在的区间，然后根据频率分布直方图中中位数的求法，即可得答案； （3）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． （2）设中位数为．由，，所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． （3）第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 19．在某中学初一年级6班学生身高的调查中，采用分层随机抽样，其中男生抽取了m人的样本，其平均数与方差分别为，；女生抽取了n人的样本，其平均数与方差分别为，；总样本数据平均数与方差分别为，．设，，则：． (1)若，米，，现再从初一年级6班学生中抽取两个男生作为样本，他们的身高分别为米和米，求所有男生样本的方差； (2)若且，证明． 【答案】(1)0.0045 (2)证明见解析 【详解】（1）因为两个男生的平均身高为米， 方差为， 设所有男生的平均身高为，则， 设所有男生的方差为，则. （2），又， ，，， ， ，， ，， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $