第九章 课时分层评价47 总体离散程度的估计-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价47　总体离散程度的估计 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.甲、乙两位同学的5次数学学业水平模拟考试成绩的方差分别为10.2和14.3，则以下结论比较合理的是(　　) A.甲的成绩比乙的稳定 B.乙的成绩比甲的稳定 C.甲、乙的成绩稳定性无差异 D.甲的成绩的标准差比乙的大 答案：A 解析：因为10.2＜14.3，所以甲的成绩的标准差比乙的小，所以甲的成绩比乙的稳定.故选A. 2.某校5名教师在“学习强国”平台上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差为(　　) A.50 B.20 C.40 D.18 答案：D 解析：＝＝50，s2＝×[(43－50)2＋(49－50)2＋(50－50)2＋(52－50)2＋(56－50)2]＝18.故选D. 3.已知样本数据x1，x2，…，x100的平均数和标准差均为4，则数据－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均数与标准差分别为(　　) A.－5，4 B.－5，16 C.4，16 D.4，4 答案：A 解析：因为样本数据x1，x2，…，x100的标准差为4，所以样本数据x1，x2，…，x100的方差为16.因为样本数据x1，x2，…，x100的平均数为4，方差为16，所以数据－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均数为－4－1＝－5，方差为(－1)2×16＝16，所以－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的标准差为4.故选A. 4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中＝，则两个班数学成绩的方差为(　　) A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 答案：C 解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(－)2]＋[3＋(－)2]＝×2＋×3＝2.6.故选C. 5.(多选)在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则下列结论正确的是(　　) A.所剩数据的平均数是9.4 B.所剩数据的平均数是9.5 C.所剩数据的方差是0.016 D.所剩数据的方差是0.04 答案：BC 解析：所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，故＝＝9.5，s2＝×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016.故选BC. 6.(多选)某分层随机抽样中，第一层样本量为45，平均数为4，方差为2；第二层样本量为35，平均数为8，方差为1；第三层样本量为10，平均数为6，方差为3.则下列叙述正确的是(　　) A.第1、2层所有数据的均值为5.75 B.第1、2层所有数据的方差约为1.50 C.第1、2、3层所有数据的均值约为7.68 D.第1、2、3层所有数据的方差约为5.23 答案：AD 解析：对于A，第1、2层所有数据的均值为×4＋×8＝5.75，故A正确.对于B，第1、2层所有数据的方差为×[2＋(5.75－4)2]＋×[1＋(5.75－8)2]＝5.5，故B错误.对于C，第1、2、3层所有数据的均值为×4＋×8＋×6＝≈5.78，故C错误.对于D，第1、2、3层所有数据的方差为×＋×＋×＝≈5.23，故D正确.故选AD. 7.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是　　　　. 答案：2 解析：由题意知＝4，＋＋…＋＝200， s＝＝＝＝2. 8.小李连续五天晨练所花时间(单位：分钟)分别为x，y，30，29，31，已知这组数据的平均数为30，方差为2，则｜x－y｜的值为　　　　. 答案：4 解析：由(x＋y＋30＋29＋31)＝30得x＋y＝60①.由[(x－30)2＋(y－30)2＋0＋1＋1]＝2，得(x－30)2＋(y－30)2＝8②，联立①②，解得故｜x－y｜＝4. 9.已知一组数据x1，x2，…，x10的方差为4，若数据a＋bx1，a＋bx2，…，a＋bx10(a，b∈R)的方差为36，则b＝　　　　. 答案：3或－3 解析：设数据x1，x2…，x10的平均数为，方差为s2，则＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝4.设数据a＋bx1，a＋bx2，…，a＋bx10的平均数为，方差为，则＝＝a＋b ，＝[(a＋bx1－)2＋(a＋bx2－)2＋…＋(a＋bx10－)2]＝[(bx1－b )2＋(bx2－b )2＋…＋(bx10－b )2]＝b2s2＝4b2＝36，所以b＝3或b＝－3. 10.(13分)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其年龄的平均数为38岁，方差是2，高级职称的教师中，3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称所有教师年龄的平均数和方差.(结果保留一位小数) 解：由题意可知高级职称教师的年龄的平均数为＝45(岁)， 方差为×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称所有教师年龄的平均数为×38＋×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称所有教师年龄的方差是×[2＋(38－39.2)2]＋×[73＋(45－39.2)2]≈20.6. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组(各9人)给参赛选手打分.根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示的折线图，则下列说法正确的是(　　) A.B组打分的极差小于A组打分的极差 B.B组打分的中位数为75 C.A组的意见相对一致 D.A组打分的众数为50 答案：C 解析：对于A，B组打分的极差大于A组打分的极差，故A错误；对于B，将B组打分的分值按照从小到大排列为36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中位数为66，故B错误；对于C，A组打分的分值比较均匀，波动更小，故A组意见相对一致，故C正确；对于D，A组打分的分值为42，47，45，46，50，47，55，50，47，众数为47，故D错误.故选C. 12.(多选)在跳水比赛中，裁判给分计算运动员成绩规则如下：有7位裁判，对某选手一次跳水的给分均不相同，去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是(　　) A.剩下5位裁判给分的平均值一定变大 B.剩下5位裁判给分的极差一定变小 C.剩下5位裁判给分的中位数一定变大 D.剩下5位裁判给分的方差一定变小 答案：BD 解析：设7位裁判对每位选手给分分别为x1＜x2＜…＜x7.对于A，若7位裁判分别给分为1，2，3，4，5，6，7分，则原来的平均值和去掉一个最高分和一个最低分后的平均值都是4.不变，故A错误；对于B，由x7＞x6，x2＞x1⇒x7＋x2＞x6＋x1，所以x7－x1＞x6－x2，故B正确；对于C，去掉一个最高分和一个最低分前的中位数是x4，去掉一个最高分和一个最低分后的中位数是x4，故C错误；对于D，由题意，极差变小，数据更稳定，所以方差变小，故D正确.故选BD. 13.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3，方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生、高三学生每天读书时间的平均数分别为＝2.7，＝3.1，＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝1，＝2，，则高三学生每天读书时间的方差＝　　　　. 答案：3 解析：由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[＋(3.3－3)2]，解得＝3. 14.(15分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：(1)由题意可知，zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 所以＝zi＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2] ＝61. (2)由(1)知：＝11，2＝2＝， 故有≥2 ， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 15.(5分)(多选)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例的数据信息. 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2； 丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为3. 则四地中，一定没有发生大规模群体感染的是(　　) A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 答案：AD 解析：因为甲地中位数为2，极差为5，所以甲地过去10天每天新增疑似病例不超过2＋5＝7(人)，故甲地符合要求.根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，故乙丙两地不符合要求；若丁地过去10天每天新增疑似病例数满足平均数为2，且至少有一天新增疑似病例超过7人，则必有方差s2＞×(8－2)2＝3.6＞3，与方差为3矛盾，故丁地符合要求.故选AD. 16.(17分)滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题.对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30～60 cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A，B两组，测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数＝0.82，方差＝0.029 3，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数＝0.83，方差＝0.169 7.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下： A组y1 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 B组y2 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.54 改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和. (1)求，，； (2)应用技术1与技术2对土壤进行可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？(若－＞2，i＝1，2，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为能显著降低.) 解：(1)＝(0.66＋0.68＋0.69＋0.71＋0.72＋0.74)＝0.70，＝[(0.66－0.70)2＋(0.68－0.70)2＋(0.69－0.70)2＋(0.71－0.70)2＋(0.72－0.70)2＋(0.74－0.70)2]＝0.000 7. ＝(0.46＋0.48＋0.49＋0.49＋0.51＋0.54)＝0.495，＝[(0.46－0.495)2＋(0.48－0.495)2＋(0.49－0.495)2＋(0.49－0.495)2＋(0.51－0.495)2＋(0.54－0.495)2]＝0.000 625. (2)当i＝1时，｜－｜2＝0.014 4，＝0.02. 因为0.014 4＜0.02，所以｜－｜＜2，所以应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低. 当i＝2时，｜－｜2＝0.112 225，＝0.113 55. 因为0.112 225＜0.113 55，所以｜－｜＜2，所以应用技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低.故应用技术1和技术2后，土壤可溶性盐含量没有显著降低. 学科网（北京）股份有限公司 $