精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2025-2026学年下学期期中学习质量监测高二数学试题

2025-2026学年第二学期期中学习质量监测 高二数学试题 一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分） 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 4. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 5. 学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ） A. 4种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种 8. 已知函数，若函数至少有两个零点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 11. 函数的单调递减区间是_____________. 12. 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 13. 已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________. 14. 天津有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从包子、麻花、炸糕、素卷圈、锅巴菜、大饼卷一切这6种美食中随机选择品尝，每天至少品尝一种且每天不重样，若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为__________． 15. 若，不等式恒成立，则的最大值为_____. 三、解答题（本大题5小题，共75分） 16. 设函数在处取得极大值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 17. 已知的展开式中各二项式系数的和为64. （1）求展开式中第4项的二项式系数； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中各项系数的和. 18. 6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） （1）其中甲、乙必须相邻； （2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻； （3）其中甲不站排头，乙不站排尾； （4）其中甲、乙中间有且只有1人； （5）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 19. 已知函数，. （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增， 求的取值范围; （3）当时，若，对使得，求的取值范围. 20. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）函数，若，在定义域内有解，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中学习质量监测 高二数学试题 一、选择题（本题共9个小题，每题5分，共45分） 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的极限表达式计算. 【详解】若，则． 2. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 3. 若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，中间项的二项式系数最大，即可求解. 【详解】由题意，展开式中只有第6项的二项式系数最大， 根据二项式系数的性质，可得展开式共有11项，所以. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】令，则； 令，则，故. 5. 学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ） A. 4种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解. 【详解】3个年级段均有4种选择，故不同的选择方法有种. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 7. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 52种 【答案】B 【解析】 【详解】数列排在第一道的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种. 根据分步乘法计数原理，数列排第二道时的排序方法有种. 根据分类加法计数原理，不同的题目分配方式有：种. 8. 已知函数，若函数至少有两个零点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】参变分离后转化为函数图象交点问题，数形结合求解 【详解】，得， 令，由题意得与图象至少有两个交点， ，当时，，当或时，， 在和上单调递减，在上单调递增，， 作出的大致图象，数形结合可得， 故选：C 9. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得和时，利用导数求得的单调性，可判定①正确，令，求得方程的解，可判定②不正确；利用函数的单调性，求得的最小值，可判定③正确，由不等式，当时，转化为，利用导数求得其最大值，当时，画出和的图像，结合图像，求得的范围，可判定④正确. 【详解】对于①，当时，，可得， 令，即，可得，所以在上单调递增； 令，即，可得，所以在上单调递减， 当时，，可得， 令，即，可得，所以在上单调递增； 令，即，可得，所以在上单调递减， 所以的递增区间是和，所以①正确； 对于②，当时，令，即，解得； 当时，令，即，解得， 所以函数仅有两个零点和，所以②不正确； 对于③，由①知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上可得，在上恒成立，所以的解集为，所以③正确； 对于④，当时，由，可得，即， 令，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，所以； 当时，，由①知在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 且，当趋向负无穷时，趋近于0，且，画出函数的图象，如图所示， 又由直线恒过定点，要使得不等式恒成立，则， 综上可得，不等式恒成立，则满足， 所以的最大值为，所以④正确， 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】 其二项式展开通项： 当，解得 的展开式中常数项是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11. 函数的单调递减区间是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对求导得， 令，即，即， 因为函数在上单调递增，所以解得， 所以函数的单调递减区间为. 12. 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 13. 已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求导分析单调性，由为偶函数，可得为奇函数，分两种情况：，分析不等式的解集，即可得出答案. 【详解】令，所以， 因为当时，，，单调递增， 因为为偶函数，所以， 所以，所以为奇函数， 所以在，上单调递增， 因为，所以，所以， 若，则等价于，所以， 若，则等价于，所以. 综上所述，不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，利用导数判断单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力. 14. 天津有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从包子、麻花、炸糕、素卷圈、锅巴菜、大饼卷一切这6种美食中随机选择品尝，每天至少品尝一种且每天不重样，若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为__________． 【答案】540 【解析】 【分析】将品尝的6种美食分组为、、三种情况，应用排列组合数依次求出不同分组情况下不同的选法种数，即可得. 【详解】由题意，三天各品尝种数有、、三种情况， 若分组，先从6种美食选4种有种， 再把它与其它两种美食安排在三天品尝有种，故共有种； 若分组，先从6种美食选3种有种，再从余下3种美食选2种有种， 把它们与余下的一种美食安排在三天品尝有种，故共有种； 若分组，将6种美食平均分成3份有种， 再把它们安排在三天品尝有种，故共有种； 综上，一共有种. 故答案为：540 15. 若，不等式恒成立，则的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先设，对其求导，求出其最小值为，得到，再令，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果. 【详解】设，则，因为， 所以当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增； 所以， 则，令，则； 由可得，； 所以当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减； 所以，即的最大值为. 故答案为： 三、解答题（本大题5小题，共75分） 16. 设函数在处取得极大值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 ，， 由题意得，即，解得，，经验证符合题意， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 令，得，， + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在，单调递增，在单调递减，且，，， 所以， 17. 已知的展开式中各二项式系数的和为64. （1）求展开式中第4项的二项式系数； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中各项系数的和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为求出，再根据二项式系数的概念即可求出答案； （2）写出二项式展开式的通项公式，令，解出，代入即可求出答案； （3）令，代入即可求出答案. 【小问1详解】 的展开式中各二项式系数的和为， 解得， 所以展开式中第4项的二项式系数为. 【小问2详解】 的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 【小问3详解】 令，所以. 即展开式中各项系数的和为 18. 6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） （1）其中甲、乙必须相邻； （2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻； （3）其中甲不站排头，乙不站排尾； （4）其中甲、乙中间有且只有1人； （5）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 【答案】（1）240 （2）144 （3）504 （4）192 （5）120 【解析】 【分析】（1）采用捆绑法，把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其余4人全排； （2）采用插空法，先排除了甲、乙、丙之外的3人，形成四个空，再进行插空； （3）分两类，第一类甲站排尾，第二类，甲不站排尾，根据分类计数原理可得结果； （4）从另外4人选一人排在甲乙之间，再和另外4人全排； （5）先从6个位置中选3个位置，把甲乙丙按从左到右的顺序排列，再让剩余3人在3个位置全排. 【小问1详解】 甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有种排法； 【小问2详解】 将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有种情况，排好后，有个空位， 在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况， 则共有种排法． 【小问3详解】 甲站在排尾时，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法， 甲不站在排尾时，则甲有4个位置可选，有种排法， 乙不能在排尾，也有4个位置可选，有种排法， 剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有种排法， 此时有种排法； 故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种． 【小问4详解】 先将甲、乙全排列，有种情况， 在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法， 将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有种排法， 则甲、乙中间有且只有1人共有种排法． 【小问5详解】 在6个位置中任取3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有种排法， 将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有种排法， 则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种． 19. 已知函数，. （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增， 求的取值范围; （3）当时，若，对使得，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （3）由题意得出，利用导数求解即可. 【小问1详解】 因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 20. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）函数，若，在定义域内有解，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）当时,的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干已知条件切点坐标，直接求导，求出切线的斜率，代入点斜式方程即可求出切线方程； （2）先求出导函数，根据导函数的表达式，对进行分类讨论，再根据导函数符号与函数单调性的关系，求出单调区间； （3）先将在定义域范围内进行恒等变换，再进行参变量分类，将不等式有解问题，转化为小于等于某个函数最大值的问题，利用导数求出该函数的最大值，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数,可得, 所以且，即切线的斜率为，切点为, 所以在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由函数，可得, ①当时，由时，可得， 所以函数的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 综上，当时,的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是. 【小问3详解】 函数，若,在定义域内有解， 即在内有解， 所以在内有解, 所以， 令， 再令，，则 在上恒成立， 所以在上单调递增，在上的值域为， 令，则， 显然当时，，则单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，即最大值，因此， 所以有最大值1，即， 因此k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $