第2节常用逻辑用语课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　常用逻辑用语 课标要求 1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2. 理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 3. 理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 目录/ CONTENTS 考点一 全称量词命题和存在量词命题 01 考点二 充分条件、必要条件与充要条件 02 提能点 充分条件、必要条件的探究与应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 全称量词命题和存在量词命题 目 录 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有 的命题， 叫做全称量词命题 含有 的命题，叫 做存在量词命题 全称量词　 存在量词　 高中总复习·数学 目 录 类别 全称量词 存在量词 命题 形式 “对M中任意一个x，p （x）成立”可用符号简记 为“ ⁠ ⁠” “存在M中的元素x，p（x） 成立”可用符号简记为 “ ⁠” 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，p （x）　 ∃x∈M，p（x）　 高中总复习·数学 目 录 提醒：（1）含有量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两 变一不变，量词与结论变，条件不变；（2）对省略了量词的命题进行否 定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词；（3）命题p和􀱑p的 真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定 的真假. 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. “正方形是菱形”是全称量词命题 B. ∃x∈R，ex＜ex＋1 C. “∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0” D. 命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” √ √ √ 解析： 对于A，“正方形是菱形”即“所有的正方形都是菱形”是 全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e＜e＋1成立，故B正确； 对于C，由全称量词命题的否定知命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定 是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0”，故C正确；对于D，命题“有一个奇数不能 被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故D错误. 高中总复习·数学 目 录 2. （2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： ∃x＞0，x3＝x.则（　　） A. p和q都是真命题 B. 􀱑p和q都是真命题 C. p和􀱑q都是真命题 D. 􀱑p和􀱑q都是真命题 √ 解析： 　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命 题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真 命题，故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题 “∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题 意；当a≠0时，得 解得a＞ . （ ，＋∞） 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 1. 要判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中 的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p （x）”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立即可. 2. 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求 参数的范围；二是利用等价命题，即p与􀱑p的关系，转化成􀱑p的真假 求参数的范围. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 充分条件、必要条 件与充要条件 目 录 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 ⁠条件 p是q的 ⁠条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 ⁠ p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 充分　 必要　 充分不必要　 p q且q⇒p　 高中总复习·数学 目 录 （2025·天津高考2题）设x∈R，则“x＝0”是“ sin 2x＝0”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　由x＝0得 sin 2x＝0，所以充分性成立；由 sin 2x＝0得x＝ （k∈Z），所以必要性不成立.故“x＝0”是“ sin 2x＝0”的充分不必要 条件.故选A. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 充分、必要条件的三种判定方法 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）设集合A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的 （　C　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 C 解析： 若A⊆B成立，由Venn图得到A∩B＝A一定成立，反之，若A∩B ＝A成立，由Venn图得到A⊆B成立，所以“A⊆B”是“A∩B＝A”的 充要条件.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　B　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B 解析：不等式x2－5x＜0的解集为A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得 －1＜x－1＜1，其解集为B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所 以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件.故选B. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 充分条件、必要条 件的探究与应用 目 录 教材母题：〔人A必修一P23习题4题〕已知A＝{x｜x满足条件p}，B＝ {x｜x满足条件q}， （1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？ （2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？ （3）如果A＝B，那么p是q的什么条件？ 细研教材：充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若A⫋B， 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 高中总复习·数学 目 录 （1）不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是（　C　） A. －3＜x＜ B. － ＜x＜3 C. －1＜x＜3 D. ＜x＜3 解析： 不等式2x2－5x－3＜0的解集是（ － ，3），观察四个选项发现 （ － ，3）是（－1，3）的真子集，所以“－1＜x＜3”是“不等式2x2 －5x－3＜0成立”的一个必要不充分条件，故选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）已知p： ＞1，q：x＞m，若p是q的充分条件，则实数m的取值 范围是 ⁠. 解析：由 ＞1可得x（x－1）＜0，解得0＜x＜1，记A＝{x｜0＜x＜ 1}，B＝{x｜x＞m}，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以m≤0，所以 实数m的取值范围是（－∞，0]. （－∞，0] 高中总复习·数学 目 录 练2 （2026·湖南常德联考）已知命题p：－1＜x＜0；命题q：m－1＜x ＜－3m，若􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，所以 {x｜－1＜x＜0}⫋{x｜m－1＜x＜－3m}，则 （不能同 时取等号），解得m＜0. （－ ∞，0） 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：72分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·广东广州开学考试）下列命题中是全称量词命题并且是真命题 的是（　　） A. ∀x∈R，x2＋2x－1≥0 B. ∃x∈N，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. π是无理数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，因为∀x∈R，x2＋2x－1＝（x＋1）2－2≥－2，所以 该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意；对于B，该命题是存 在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，易知该命题是全 称量词命题，且是真命题，符合题意；对于D，该命题不是全称量词命 题，不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·四川宜宾模拟）命题“∀x＞1，ln x＞0”的否定是（　C　） A. ∀x＞1，ln x＜0 B. ∀x＞1，ln x≤0 C. ∃x＞1，ln x≤0 D. ∃x≤1，ln x≤0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. “xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　因为xy＞0 x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy ＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a 的取值范围是（　　） A. a＜4 B. a≤4 C. a＞4 D. a≥4 √ 解析： 　“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－ 4a≥0，解得a≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. （2025·山东济宁模拟）已知A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a}，若 “x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，1] B. [1，＋∞） C. （－∞，2] D. [2，＋∞） √ 解析： 　因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，所 以a≥2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·四川绵阳模拟）下列命题正确的有（　　） A. “A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件 B. “x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件 C. “ sin x＝ ”的必要不充分条件是“x＝ ” D. “x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可 得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条 件，故A错误；对于B，“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正 确；对于C，当x＝ 时， sin x＝ ；当 sin x＝ 时，x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z，所以“x＝ ”是“ sin x＝ ”的充分不必要条件，故C错 误；对于D，因为A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝ 0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条 件，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明： ⁠ ⁠. 解析：因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素 数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命 题，只要证明存在一个素数不是奇数. 存在一个素 数不是奇数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是 ⁠. 解析：由于4x＝22x，故2x＞22x等价于x＞2x，解得x＜0，故使得“2x＞ 4x”成立的一个充分条件只需为集合{x｜x＜0}的非空子集即可. x＜－1（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知p：｜x－1｜＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0（a＞0），若0＜ a≤2，则q是p的 条件（填“充分不必要”“必要不充 分”或“充要”）. 解析：由题可得p：x＞3或x＜－1，q：x2－2x＋1－a2≥0⇔[x－（1－ a）]·[x－（1＋a）]≥0，因为a＞0，所以1－a＜1＋a，解得x≥1＋a 或x≤1－a.因为0＜a≤2，所以1＜1＋a≤3，－1≤1－a＜1，所以q是p 的必要不充分条件. 必要不充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. 已知m∈R，命题p：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成 立；命题q：∃x∈[－1，1]，使得m≤x成立.若p为真命题，则实数m的 取值范围为 ；若q和p一真一假，则实数m的取值范为 ⁠ ⁠. [1，2] （－ ∞，1）∪（1，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立，令f（x）＝－ 3x＋1（－1≤x≤1），则f（x）min≥m2－3m.当x∈[－1，1]时，f （x）min＝f（1）＝－2，则m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为 真命题时，实数m的取值范围是[1，2]；若q为真命题，则m≤xmax，即 m≤1.因为p，q中一个是真命题，一个是假命题，所以当p真q假时，由 得1＜m≤2；当p假q真时，由 得m＜1. 综上所述，实数m的取值范围为（－∞，1）∪（1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 设计如图所示的四个电路图，能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮” 的必要不充分条件的一个电路图是（　　） √ 解析： 　选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选 项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭 合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯 泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕关于二次函数y＝（x－2）2－1，下列说法中正确的是 （　　） A. ∀x∈R，y＝（x－2）2－1≥1 B. ∀a＞－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜a C. ∀a＜－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝a D. ∃x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于二次函数y＝（x－2）2－1，其图象开口向上，对称轴为 直线x＝2，最小值为－1.对于选项A，当x＝2时，y＝－1＜1，所以A不 正确；对于选项B，∀a＞－1，当x0＝2时，y＝－1＜a，所以B正确；对 于选项C，当a＝－2时，∀x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正确； 对于选项D，取x1＝1，x2＝3，则（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D 正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知集合A＝ ，B＝{x｜x2－4x＋4－m2≤0，m＞ 0}.若使得“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则正实数m的 取值范围是 ；若使得“x∈A”是“x∈B”成立的必要不 充分条件，则正实数m的取值范围是 ⁠. [4，＋∞） （0，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x｜－ 2≤x≤5}，因为m＞0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋ m，即B＝{x｜2－m≤x≤2＋m}.由“x∈A”是“x∈B”成立的充分 不必要条件，则有A⫋B，于是得 或 解得 m＞4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是[4，＋∞）；由 “x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B⫋A，于是得－2＜ 2－m＜2＋m≤5或－2≤2－m＜2＋m＜5，解得0＜m≤3或0＜m＜3，即 有0＜m≤3，所以正实数m的取值范围是（0，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. 〔推理判断题〕地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个 安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的 时间如表： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 ⁠. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比 C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比 B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比 C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比 A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E 快；综上所述，D疏散最快. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $