第二节　常用逻辑用语课件-2027届高考数学一轮复习

第二节 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 常用逻辑用语 【目标要求】　1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的_________条件,q是p的________条件 p是q的_______________条件 p⇒q且q p p是q的_______________条件 p q且q⇒p p是q的_____________条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“____”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“____”表示. ∀ ∃ 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 _______________ ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) _______________ ∀x∈M,p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 1.谨记两个常用结论 (1)p是q的充分不必要条件,等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. (2)命题p和􀱑p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,先可判断此命题否定的真假. 2.理清一个关系 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B,且B不能推出A.要注意区别上述两种说法的不同. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.(　　) (3)命题“∃x∈R,sin2+cos2=”是真命题.(　　) (4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.(　　) 2.(人A必一P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.故选B. 解析 3.(人A必一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是__________________________. 任意一个偶数都不是素数 4.(人B必一P28T4改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是_____________. 因为x2≥1,即x≥1或x≤-1,且原命题是真命题,所以a的取值范围是a≥1. 解析 [1,+∞) 5.(人B必一P38T5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为_____________. 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,所以a<3. 解析 (-∞,3) (1)(2025·天津高考)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点一 充分、必要条件的判定………………自练自悟 由x=0⇒sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;又当x=π时, sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0 x=0,故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件,综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A. 解析 (2)(2026·郑州模拟)已知复数z,在复平面内对应的点分别为A,B,则“A在第二象限”是“B在第三象限”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.若A在第二象限,则a<0,b>0,则a<0,-b<0,所以B在第三象限.反之亦成立,所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件.故选A. 解析 (3)“其身正,不令而行;其身不正,虽令不从”出自《论语·子路》.意思是:领导者自身品行端正时,即使不发布命令,人们也会自觉遵行;自身行为不端时,即使发布命令,人们也不会听从.根据上述材料,“身正”是“令行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由题意,“其身正,不令而行”,即身正⇒令行,故“身正”是“令行”的充分条件;“其身不正,虽令不从”,即令行⇒身正,所以“身正”是“令行”的必要条件.综上可知,“身正”是“令行”的充要条件.故选C. 解析 (4)若命题p:“∀x∈[-1,2],m≤x2+1”.使命题p为假命题的一个必要不充分条件是(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,2] C.(1,+∞) D.(-∞,5] ∀x∈[-1,2],m≤x2+1,而=1,当且仅当x=0时取等号,则m≤1,因此命题p:m≤1,命题p为假命题时,m>1,由给定的选项知,集合(1,+∞)真包含于集合[1,+∞),所以使命题p为假命题的一个必要不充分条件是[1,+∞).故选A. 解析 充分、必要条件的三种判定方法 1.定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. 2.集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. 3.等价转化法:对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 【例1】　设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 考点二 充分、必要条件的应用 由题意可得B⫋A,令a+2=3,解得a=1,则a2=1,不符合题意;令a+2=a2,则a2-a-2=(a-2)(a+1)=0,解得a=2或-1,当a=-1时,a2=1,不符合题意,当a=2时,a2=4.综上可得:a=2.故选D. 解析 求参数问题的解题策略 1.把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. 2.要注意区间端点值的检验,从而确定取舍. 【训练】　(1)设p:log2(x-1)<m;q:>1.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1] 因为p:log2(x-1)<m,所以0<x-1<2m,即1<x<2m+1,因为q:>1,所以0<x<2,若p是q的充分不必要条件,则2m+1≤2,解得m≤0,故选A. 解析 (2)已知函数f(x)=xm,g(x)=若p:f(x)是(0,+∞)上的增函数,q:g(m)>0,且p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1)∪(1,2] B.(0,1)∪[2,+∞) C.∪(1,2] D.∪[2,+∞) 解析 考向❶含有量词的命题的否定 【例2】　(1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A.命题“∀x<1,都有x2<1”的否定是“∃x≥1,使得x2≥1” B.所有的正方形都是矩形 C.至少有一个实数x,使x3+1=0 D.命题“∃x∈R,1<y≤2”的否定是“∀x∈R,y≤1或y>2” 考点三 全称量词与存在量词 A项,因为命题“∀x<1,都有x2<1”的否定是“∃x<1,使得x2≥1”,所以本选项说法不正确. 解析 (2)命题“∀x∈N*,1+3+5+…+(2x-1)=x2”的否定是 __________________________. 全称量词命题的否定是存在量词命题,故原命题的否定是“∃x∈N*, 1+3+5+…+(2x-1)≠x2”. 解析 ∃x∈N*,1+3+5+…+(2x-1)≠x2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.改写量词:确定命题所含量词的类型,若命题中无量词,则要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. 2.否定结论:对原命题的结论进行否定. 考向❷求参数的取值范围 【例3】　(1)已知“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-5] B.(-∞,-2] C.(-5,+∞) D.[-5,+∞) 因为“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则不等式x2-4x-a-1≥0对∀x∈R恒成立,所以Δ=(-4)2-4(-a-1)≤0,解得a≤-5,即a的取值范围是(-∞,-5].故选A. 解析 (2)已知m∈R,命题p:∃x∈R,x2-3x-m≤0;命题q:∀x∈R,x2-2mx+9≥0.若命题p是假命题,􀱑q是真命题,则实数m的取值范围为________. 若p是假命题,则􀱑p:∀x∈R,x2-3x-m>0是真命题,则(-3)2+4m<0,解得m<-.若命题q:∀x∈R,x2-2mx+9≥0是真命题,则4m2-36≤0,解得-3≤m≤3,此时􀱑q是假命题,若􀱑q是真命题,可得m<-3或m>3,若命题p是假命题,􀱑q是真命题,则实数m的取值范围为(-∞,-3). 解析 (-∞,-3) 根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法 1.巧用三个转化 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题; (2)存在量词命题可转化为存在性问题; (3)全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题. 2.准确计算 通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围. 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❶ ❷ (1)若命题p:“∀x∈(0,2],都有x+≥4”,则命题p的否定为(　　) A.∀x∈(0,2],都有x+<4 B.∀x∉(0,2],都有x+<4 C.∃x∈(0,2],使得x+<4 D.∃x∉(0,2],使得x+<4 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p的否定为“∃x∈(0,2],使得x+<4”.故选C. 解析 (2)已知命题p:∀x∈R,sin x>m,命题q:∃x∈R,cos x>m,若p,q均为真命题,则实数m的取值范围为_____________. 若命题p:∀x∈R,sin x>m为真命题,则(sin x)min>m,即m<-1;若命题q:∃x∈R,cos x>m为真命题,则(cos x)max>m,即m<1.因此若p,q均为真命题,则m<-1,即实数m的取值范围为(-∞,-1). 解析 (-∞,-1) p:f(x)是(0,+∞)上的增函数,得m>0,考虑q:g(m)>0.当m<2时,g(m)>0等价于>0得:0<m<2.当m≥2时,g(m)>0等价于logam>1,当0<a<1时,由logam>1,可得:m<a,又m≥2,此时解集为⌀,也即g(m)>0的解集为(0,2)符合题意;当1<a<2时,由logam>1,可得:m>a,又m≥2,此时解集为[2,+∞),也即g(m)>0的解集为(0,+∞),不符合题意;当a≥2时,由logam>1,可得:m>a,又m≥2,此时解集为(a,+∞),也即g(m)>0的解集为(0,2)∪(a,+∞),符合题意;综上可知:a的取值范围是(0,1)∪[2,+∞).故选B. $