第5节一元二次方程、不等式课件-2027届高三数学一轮复习

第5节　一元二次方程、不等式 课标要求 1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的实根的存在性及实根的个 数，以及解一元二次不等式. 3. 了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 目录/ CONTENTS 考点一 一元二次不等式 01 考点二 三个二次间的关系 02 提能点 一元二次不等式恒（能）成立问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 一元二次不等式 目 录 1. （x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b （x－a）·（x－ b）＞0 {x｜x＜a或x ＞b} ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ （x－a）·（x－ b）＜0 ⁠ ⁠ ⌀ {x｜b＜x＜a} {x｜ x≠a} {x｜x＜b或x ＞a} {x｜a＜x＜ b} 高中总复习·数学 目 录 2. 分式不等式 （1） ＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2） ≥0（≤0）⇔ 3. 绝对值不等式 绝对值不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋ ∞）；｜x｜＜a（a＞0）的解集为（－a，a）. 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 高中总复习·数学 目 录 角度1　不含参数不等式的解法 〔多选〕下列选项中，正确的是（　　） A. 不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1} B. 不等式 ≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C. 不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D. 不等式 －x≤1的解集为{x｜0≤x≤2} √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2 －x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为 －1≤0，即 ≤0，即（x＋3）（x－2）≤0且x－2≠0，解得－3≤x＜2，所以不等 式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－ 1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1或 x≥3}，故C错误；原不等式等价于 解得 0≤x≤2，即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不 等式的解集. 2. 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进 行限制，转化为不等式组. 高中总复习·数学 目 录 角度2　含参数不等式的解法 已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞ －ax－1. 解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋ 3）（x＋1）＞0. 因为a＞0，所以当－ ＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜ － 或x＞－1}； 当－ ＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当－ ＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－ }. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）求不等式 ≤3的解集； 解： 由题意 －3＝ ≤0， 可得 解得x≤ 或x＞1， 所以原不等式的解集为 ∪（1，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 （2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解： 由题意知，Δ＝a2－4. ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝ ， 所以原不等式的解集为 . ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋ 1≤0，即（x－1）2≤0，所以x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋ 2x＋1≤0，即（x＋1）2≤0，所以x＝－1. 高中总复习·数学 目 录 ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 三个二次间的关系 目 录 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根 有两个不相 等的实数根 x1，x2 （x1＜x2） 有两个相等 的实数根 x1＝x2＝ ⁠ 没有 实数根 － 　 高中总复习·数学 目 录 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 ⁠ ⁠ ⁠ R ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 ⁠ ⁠ ⌀ ⌀ 提醒：解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形. {x｜x＜x1，或 x＞x2　} {x｜x≠－ } {x｜x1＜x＜ x2} 高中总复习·数学 目 录 （1）〔多选〕已知关于x的不等式a（x＋1）·（x－3）＋1＞0 （a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论正确的是 （　ABD　） A. x1＋x2＝2 B. x1x2＜－3 C. －1＜x1＜x2＜3 D. x2－x1＞4 ABD 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意得，a＜0，且x1，x2是一元二次方程a（x＋1）（x－3） ＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，所以x1＋x2＝－ ＝2，故A正 确；x1x2＝ ＝ －3＜－3，故B正确；x2－x1＝ ＝ ＝2 ＞4，故D正确；由x2－x1＞4，且x1＋x2＝2可 得x2＞3且x1＜－1，故C错误. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋ 3≤0的解集为 ⁠. 解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c ＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－ cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1） ≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. （－∞，－1]∪[3，＋∞） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不 等式解集的端点值. 2. 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋ ∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解 集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，m＜n. 高中总复习·数学 目 录 练2 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－∞，1）∪ （5，＋∞），则下列结论正确的是（　　） A. a＞0 B. a＋b＋c＞0 C. bx＋c＞0的解集是 D. cx2－bx＋a＜0的解集是 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，由 根与系数的关系可得1＋5＝－ ，1×5＝ ，得b＝－6a，c＝5a，对于 A，因为a＜0，故A错误；对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错 误；对于C，不等式bx＋c＞0，即－6ax＋5a＞0，即6x－5＞0，得x＞ ，所以不等式bx＋c＞0的解集是 ，故C正确；对于D，由不等 式cx2－bx＋a＜0，得a（5x2＋6x＋1）＜0，即5x2＋6x＋1＞0，则（5x ＋1）（x＋1）＞0，得x＞－ 或x＜－1，即解集为{x｜x＞－ ，或x＜ －1}，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 一元二次不等式恒 （能）成立问题 目 录 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题〕当k取什么值时，一元二次 不等式2kx2＋kx－ ＜0对一切实数x都成立？ 高中总复习·数学 目 录 细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立等价转化 （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 或 高中总复习·数学 目 录 变式1 若不等式2kx2＋kx－ ＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值 范围为 ；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围 为 ⁠. （ －∞， ） （ －∞， ） 高中总复习·数学 目 录 解析：不等式2kx2＋kx－ ＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－ ＜ 0对x∈[1，2]恒成立，即k＜ 对x∈[1，2]恒成立⇔k＜ （ ）min，易知f（x）＝ 在x∈[1，2]时单调递 减，f（x）min＝ ，即k＜ .在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max， 又f（x）max＝ ，即k＜ . 高中总复习·数学 目 录 变式2 若不等式2kx2＋kx－ ＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范 围为 ⁠. 解析：若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－ ＜0，即 解得－ ＜x＜ . （ － ， ） 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：88分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 不等式－x2＋3x＋10＜0的解集为（　　） A. （－2，5） B. （－∞，－2）∪（5，＋∞） C. （－5，2） D. （－∞，－5）∪（2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　由－x2＋3x＋10＜0得x2－3x－10＞0，解得x＜－2或x＞5. 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·全国Ⅱ卷4题）不等式 ≥2的解集是（　　） A. {x｜－2≤x≤1} B. {x｜x≤－2} C. {x｜－2≤x＜1} D. {x｜x＞1} √ 解析： 　由 ≥2，得 ≥0，得 ≤0，得 得－2≤x＜1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A. （－∞，0）∪（0， ） B. （－∞， ） C. （ ，＋∞） D. （0， ） √ 解析： 　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所 以0＜x＜ ；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综 上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1＞0的解集为⌀，则实数k的取值范围 是（　　） A. （－ ，0） B. C. D. √ 解析： 　当k＝0时，不等式化为－1＞0，此时不等式无解，满足题意； 当k≠0时，要满足题意，只需 解得－ ≤k＜0.综上，实数k的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式 [x]2＋[x]－12≤0的解可以为（　　） A. B. 3 C. －4.5 D. －5 √ √ 解析： 　因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以（[x]－3）（[x]＋4） ≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，所以不等 式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正 确的是（　　） A. 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－ } C. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4} D. 当a＝－ 时，不等式的解集为⌀ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确. 由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当 即a＜－ 时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4}；当 即－ ＜a ＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－ }；当a＝－ 时，－ ＝4，此时 不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为 ⁠. 解析：由1≤｜2x－1｜＜2得，－2＜2x－1≤－1或1≤2x－1＜2，解得－ ＜x≤0或1≤x＜ . ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围 是 ⁠. 解析：不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f （p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则 ∴x＜－1或x＞3. （－∞，－1）∪（3，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 若不等式组 的解集不是空集，则实数a的取 值范围是 ⁠. 解析：由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，根据已知，可转化为存在x∈[－ 1，3]，使得x2＋4x－（1＋a）≤0.令f（x）＝x2＋4x－（1＋a），易 知函数在区间[－1，3]上单调递增，故只需函数的最小值f（－1）＝－4 －a≤0即可，解得a≥－4. [－4，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ③x2－（a＋1）x＋a＜0（a＞1）， 任选一个补充到下面的问题中并解答. 已知命题p： ＜0，命题q： 　　　　，且命题p是命题q的必要不充分 条件，求实数a的取值范围. 10. （10分）给以下三个条件： ①x2－（2a－1）x＋a2－a＜0； ②x2－2ax＋a2－1＜0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解：由 ＜0可得－3＜x＜4， 记集合A＝{x｜－3＜x＜4}， 设命题q对应的x的取值集合为B. 因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A. 若选条件①x2－（2a－1）x＋a2－a＜0. 由于（x－a）[x－（a－1）]＜0，则a－1＜x＜a. 因为B⫋A，只需 或 解得－2≤a≤4， 即实数a的取值范围为{a｜－2≤a≤4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 若选条件②x2－2ax＋a2－1＜0. 由于[x－（a＋1）][x－（a－1）]＜0，则a－1＜x＜a＋1. 因为B⫋A，只需 或 解得－2≤a≤3， 即实数a的取值范围为{a｜－2≤a≤3}. 若选条件③x2－（a＋1）x＋a＜0（a＞1）. 由于（x－a）（x－1）＜0，则1＜x＜a. 因为B⫋A，只需 解得1＜a≤4， 即实数a的取值范围为{a｜1＜a≤4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价p（元）之间的 关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为c（元），其中c＝500＋30x， 若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是（　　） A. {x｜20≤x≤30，x∈N} B. {x｜20≤x≤45，x∈N} C. {x｜15≤x≤30，x∈N} D. {x｜15≤x≤45，x∈N} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160－2x）·x－（500＋ 30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N. 根据题意知，－2x2＋ 130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，x∈N. 所以当20≤x≤45，x∈N 时，每天获得的利润不少于1 300元，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m＜0的解集中有且仅 有2个整数，则实数m的值可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ √ 解析： 　画出函数f（x）＝x2＋5x＋m的大致图象， 关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m＜0的解集为函数 图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由 函数f（x）＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－ ， 所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得 解得4≤m＜6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题， 则实数x的取值范围为 ⁠. 解析：命题“∃a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a＜0”为假命题， 则其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－（2a－1）x＋3－a≥0” 为真命题.令g（a）＝ax2－2ax＋x＋3－a＝（x2－2x－1）a＋x＋ 3≥0，则 即 解得－1≤x≤0或 ≤x≤4，所以实数x的取值范围为[－1，0]∪ . [－1，0]∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知函数f（x）＝mx2＋mx＋3，m∈R. （1）若关于x的不等式f（x）＞0在实数集R上恒成立，求实数m的取值 范围； 解： 依题意，mx2＋mx＋3＞0在实数集R上恒成立. 当m＝0时，3＞0，成立；当m≠0时，要使原不等式恒成立， 则 解得0＜m＜12.综上，0≤m＜12，故实数m的取 值范围是{m｜0≤m＜12}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）解关于x的不等式f（x）＞（3m－1）x＋5. 解： 不等式f（x）＞（3m－1）x＋5，等价于mx2＋（1－2m）x－ 2＞0，即（x－2）（mx＋1）＞0. 当m＞0时，解得x＞2或x＜－ ； 当m＝0时，不等式整理为x－2＞0，解得x＞2； 当m＜0时，方程（x－2）（mx＋1）＝0的两根为x1＝－ ，x2＝2.当－ ＞2，即－ ＜m＜0时，解得2＜x＜－ ；当－ ＝2，即m＝－ 时， 原不等式的解集为⌀；当－ ＜2，即m＜－ 时，解得－ ＜x＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 综上所述，当m＜－ 时，原不等式的解集为 ； 当m＝－ 时，原不等式的解集为⌀； 当－ ＜m＜0时，原不等式的解集为{x｜2＜x＜－ }； 当m＝0时，原不等式的解集为{x｜x＞2}； 当m＞0时，原不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $