第二十一章 四边形单元测评卷 2025-2026学年 人教版八年级下册数学

第二十一章 四边形 单元测评卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是边的中点，连接，若，则线段的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（　　） A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB 4．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G分别是边AB，BC，AD上的动点，且AE＝BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B′EF，连结BB′，B′G，GC，则当BB′最大时，B′G+GC的最小值为（　　） A． ﹣2 B．5.6 C．2 D．3 5．如图，锐角三角形ABC中，BC>AB>AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下： （甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求； （乙）作过B点且与AB垂直的直线 ，作过C点且与AC垂直的直线，交 于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（　　） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 6．在四边形ABCD中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 7．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列正多边形中，可以单独镶嵌平面的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（　　） A．20 B．16 C．34 D．25 9．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论： ①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN＝． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第二象限内，边AD与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，反比例函数y=﹣ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的边长为　 　． 12．如图，E是正方形ABCD内一点，若 ABE是等边三角形，那么∠BCE=　 　。 13．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝4，CE＝1，则DE＝　 　． 14．如图在平行四边形中，如果，，的平分线交于点，交的延长线于点，则　 　． 15． 如图，中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 　 　． 16．如图，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中．运动过程中点到点的最大距离是 　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF. （1） 求证：. （2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长. 18．如图，，，，分别是，，，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求四边形的周长． 19．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． （1）求证：； （2）当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm； （3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 20． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点． （1） 求证： 是等腰直角三角形． （2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形? 请说明理由． 21． 如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，G恰好是的中点，求的长． 22．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 23． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ． （1） 求证： ． （2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、▱ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误； B、▱ABCD中本来就有AD=BC，故本选项错误； C、▱ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定▱ABCD是菱形，故本选项正确； D、▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形，故本选项错误. 故答案为：C. 【分析】邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；对角线平分对角的平行四边形为菱形，依此分别判断即可. 2．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E是边的中点，连接，若，则线段的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】 ∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OB=OD， 又∵点E是AD的中点， ∴AE=DE， ∴OE是△DAB的中位线， ∴OE=AB， 在平行四边形ABCD中，AB=CD， ∵AB+CD=12cm， ∴AB=6cm， ∴OE=AB=3cm， 故选：B． 【分析】先根据平行四边形的性质求出AB的长和说明点O是AC中点，再根据E是AD中点，从而得到OE是△ABD的中位线，最后再利用中位线的性质求解 3．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（　　） A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB 【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据作图过程可得，是的垂直平分线， 故A正确． B，由矩形的性质可得：AD∥BC ∴∠EAC=∠FCA ∵∠AOE=∠COF 由作图可知：OA=OC ∴(ASA) 由A可知： ∵⊥ 故B正确． C、由B可知：AE=AF 在中， 故C正确． D、 在中， 故D错误． 故选：D． 【分析】A、根据作图过程可得，是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得出结论 B、根据垂直平分线和矩形的性质先证明，可得AE=CF，再根据，得出等腰三角形AEF，再根据等腰三角形三线合一，得出结论 C、由B可知：AF=AE=5，再根据勾股定理求出AB的长即可 D、先求出AB的长，再根据勾股定理：求出AC的长即可. 4．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G分别是边AB，BC，AD上的动点，且AE＝BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B′EF，连结BB′，B′G，GC，则当BB′最大时，B′G+GC的最小值为（　　） A． ﹣2 B．5.6 C．2 D．3 【答案】C 【解析】【解答】解，如图，当四边形B′EBF为正方形时，BB′最大， ∴BE=BF， ∵AE=BF， ∴AE=BE， ∴E，F分别是边AB，BC上的中点， 过点B′作B′H⊥CD于点H， 则AE=BE=BF=B′H=CH= BC=2， 作C关于AD的对称点C′，连接B′C′，GC′， ∴CG= GC′， ∴B′G+GC= B′G+ GC′ B′C′，即B′G+GC的最小值为B′C′， 在Rt△B′C′H中，B′H =2，HC′=CC′-CH=8-2=6， 由勾股定理得：B′C′= ， ∴B′G+GC的最小值为 . 故答案为：C. 【分析】当四边形B′EBF为正方形时，BB′最大，可得到BE=BF，由此可证得EA=BE，过点B′作B′H⊥CD于点H，可求出CH的长；作C关于AD的对称点C′，连接B′C′，GC′，可得到CG= GC′，利用三角形的三边关系定理可知B′G+GC的最小值为B′C′，利用勾股定理求出B′C′的长，即可求解. 5．如图，锐角三角形ABC中，BC>AB>AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下： （甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求； （乙）作过B点且与AB垂直的直线 ，作过C点且与AC垂直的直线，交 于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（　　） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【解析】【解答】解：甲：如图1 ∵AC=AP ∴∠APC=∠ACP ∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180° ∴甲错误； 乙：如图2， ∵AB⊥PB，AC⊥PC ∴∠ABP=∠ACP=90° ∵∠ABP+∠ACP+∠BPC+∠A=360° ∴∠BPC+∠A=180° ∴乙正确， 故答案为：D 【分析】根据甲乙两人的作图的作法，画出图形，由图1，利用等腰三角形的性质及平角的定义，可证得∠BPC+∠ACP=180°，可对甲的作法作出判断；由图2，利用垂直的定义及四边形的内角和定理，可证得∠BPC+∠A=180°，可对乙的作法作出判断，就可得出答案。 6．在四边形ABCD中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 若添加，则该四边形是矩形． 故答案为：D 【分析】根据平行四边形的判定和矩形的判定结合对选项分析即可求解。 7．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．下列正多边形中，可以单独镶嵌平面的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【解析】【解答】解：A．正五边形不能进行平面镶嵌，因为正五边形的每个内角为，的整数倍不等于； B．正六边形能进行平面镶嵌，因为正六边形的每个内角为，； C．正七边形不能进行平面镶嵌，因为正七边形的每个内角为 ，的整数倍不等于360°； D．正八边形不能进行平面镶嵌，因为正八边形的每个内角为，的整数倍不等于． 故答案为：B． 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断。 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（　　） A．20 B．16 C．34 D．25 【答案】C 【解析】【解答】解：作 轴于 ． 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形 的面积 ， 故答案为：C． 【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题． 9．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：①：∵DF⊥CE， ∴∠DCE+∠CDF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDF+∠ADF=90°， ∴∠DCE=∠ADF， ∵正方形ABCD中：CA=DA，∠CDE=∠DAF=90°， ∴△ADF≌△DCE（ASA）， 故①正确； ②：∵△ADF≌△DCE ∴DE=AF， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠EAN=∠FAN，AN=AN， ∴△EAN≌△FAN（SAS）， ∴NF=NE， ∵CE⊥DF，即∠NME=90°， ∴EN=NF＞MN， 故②错误； ③④：延长DF交CB延长线于G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠ADF=∠G， 由前面所证可知F为AB的中点， ∴AF=BF， 又∵∠DAF=∠GBF， ∴△DAF≌△GBF（AAS）， ∴BG=AD=BC， ∴点B是CG的中点， 又∵∠CMG=90°， ∴MB=BC=BG，故④正确； ∴∠G=∠BMG， ∴∠ADF=∠BMF，故③正确； 综上可知：①③④正确； 故答案为：C． 【分析】 根据正方形的性质，利用等角的余角相等得到 ∠DCE=∠ADF ；利用ASA判断△ADF≌△DCE即可判断①；通过全等的性质得到DE=AF，利用SAS证明△EAN≌△FAN得到NF=NE，再由∠NME=90°，即可得到EN=NF＞MN，即可判断②；延长DF交CB延长线于G，利用AAS证明△DAF≌△GBF，得到BG=AD=BC，即可判断③④． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论： ①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④当∠BAE＝15°时，MN＝． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBF＝90°， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF，故①符合题意； ②∵△ABE≌△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE， ∵∠GEC＝∠DBC＝∠ADB＝45°， ∴∠BMF＝∠FCB+∠DBC＝∠FCB+45°， ∵∠GEC＝∠DBC， ∴EG∥DB， ∵DG∥BE， ∴四边形DGEB是平行四边形， ∴BE＝DG， 在△FBC和△GDC中， ， ∴△FBC≌△GDC（SAS）， ∴∠BCF＝∠DCG， ∴∠BFM＝∠FCD＝∠DCG+∠FCG＝∠BCF+∠FCG， ∴当且仅当∠FCG＝45°时，∠BFM＝∠BMF，故②不符合题意； ③∵GE∥BD， ∴∠FMB＝∠GFC， ∵△FBC≌△GDC， ∴CF＝CG， ∴∠GFC＝∠CGF， ∴∠FMB＝∠CGF， ∴∠CGF﹣∠BAE＝∠FMB﹣∠BCM＝∠MBC＝45°，故③符合题意； ④当∠BAE＝15°时，∠BCM＝∠GCD＝∠BAE＝15°， ∴∠FCG＝90°﹣∠BCM﹣∠GCD＝60°， ∵BD∥EG， ∴∠GFC＝∠NMC，∠FGC＝∠MNC， ∵∠GFC＝∠FGC， ∴∠NMC＝∠MNC， ∴CM＝CN，∠MCN＝60°， ∴△CMN是等边三角形， 作CH⊥BD于点H，如图， ∴CH＝BD＝＝2， ∴CM＝×2＝， ∴MN＝CM＝，故④不符合题意． 所以其中符合题意有①③，2个． 故答案为：B． 【分析】①证明△ABE≌△CBF（SAS），可得AE＝CF；②先证四边形DGEB是平行四边形，再证△FBC≌△GDC（SAS），可得∠BCF＝∠DCG，当且仅当∠FCG＝45°时，∠BFM＝∠BMF，据此判断即可；③结合①②可证∠FMB＝∠CGF，从而得出∠CGF﹣∠BAE＝∠FMB﹣∠BCM＝∠MBC＝45°，据此判断即可；④当∠BAE＝15°时，∠BCM＝∠GCD＝∠BAE＝15°，可证△CMN是等边三角形，作CH⊥BD于点H，根据正方形的边长，即可求出MN的值，继而判断. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第二象限内，边AD与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，反比例函数y=﹣ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的边长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：过点A、B分别作x轴、y轴的平行线AM、BN相交于点E，交x轴，y轴于点M、N， ∵A，B两点的横坐标分别为﹣3，﹣1，反比例函数y=﹣ 的图象经过A，B两点， ∴A（﹣3，1），B（﹣1，3）， ∴AM=3，BN=3，EM=EN=1， ∴AE=BE=3﹣1=2， 在Rt△ABE中， ． 故答案为： 【分析】先求出A（﹣3，1），B（﹣1，3），再利用勾股定理计算求解即可。 12．如图，E是正方形ABCD内一点，若 ABE是等边三角形，那么∠BCE=　 　。 【答案】75° 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵△ABE是等边三角形 ， ∴∠ABE=60°，BE=AB， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，BE=BC， ∴∠BCE=（180°-30°）=75°. 故答案为：75°. 【分析】利用正方形及等边三角形的性质可得∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，BE=BC，根据等腰三角形及三角形内角和定理即可求出结论. 13．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝4，CE＝1，则DE＝　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵AE＝4，CE＝1， ∴AC=AB=AE+CE=4+1=5， ∵AD、BE是等腰三角形ABC的高线， ∴∠AEB=∠BEC=90°，BD=CD， 在Rt△ABE中 ； 在Rt△BEC中 ； 在Rt△BEC中，DE是中线， ∴. 故答案为：. 【分析】利用已知求出AC，AB的长，利用三角形的高的定义和等腰三角形的性质可证得∠AEB=∠BEC=90°，BD=CD；在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，在Rt△BEC中，利用勾股定理求出EC的长；然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DE的长. 14．如图在平行四边形中，如果，，的平分线交于点，交的延长线于点，则　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4. 【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD=5，AD=BC=9，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABF=∠F，根据角平分线的概念可得∠ABF=∠CBF，则∩CBF=∠F，推出BC=CF=9，然后根据DF=CF-CD进行计算. 15． 如图，中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 　 　． 【答案】61° 【解析】【解答】解：∵ 是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠ADC+∠C=180° ∵ ∠ADC＝119°∴∠C=180°-119°=61° ∵BE⊥DC，DF⊥BC ∴∠BFH=∠BEC=90° ∴∠C+∠CBE=90°，∠BHF+∠CBE=90° ∴∠BHF=∠C=61° 故答案为：61°. 【分析】先利用平行四边形性质对边平行求出所有的内角角度，再利用直角三角形两锐角互余求出答案. 16．如图，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中．运动过程中点到点的最大距离是 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图：取线段的中点，连接， ∵，点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当点，点，点共线时，的长度最大， ∴点到点的最大距离， 故答案为：． 【分析】取线段的中点，连接，先利用矩形的性质可得，利用勾股定理求出，再求出当点，点，点共线时，的长度最大，从而可得点到点的最大距离. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF. （1） 求证：. （2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长. 【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴，， 在 和 中， （2）解： 连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为正方形，， ∴BD垂直平分AC，， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∵四边形AECF的周长为， ∴， 在Rt△AOF中，， ∴， ∴， 答：EF的长为6 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论. （2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长. 18．如图，，，，分别是，，，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴； 同理可得， ∵， ∴四边形的周长． 【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理得到，再由三角形中位线定理得到，，由此根据四边形周长计算公式求解即可． 19．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． （1）求证：； （2）当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm； （3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，∴． （2）解：①∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． ②； （3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50， ∴， 当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°， ∴CE=50cm， ． ∴ 【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D， 则ODQP是矩形， ∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm， ∴CD=OC-OD=50-40=10cm， ∴CQ=cm， 故答案为：； 【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直； （2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形； ②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可； （3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围. 20． 如图， 是等腰直角三角形， 分别是 上的动点， 且满足 是 的中点． （1） 求证： 是等腰直角三角形． （2） 当点 运动到什么位置时，四边形 是正方形? 请说明理由． 【答案】（1）解：连接AD，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B， 在△BPD和△AQD中， ， ∴△BPD≌△AQD（SAS）， ∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP， ∵∠BDP＋∠ADP＝90° ∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°， ∴△PDQ为等腰直角三角形； （2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， 当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°， 又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°， ∴四边形APDQ为矩形， 又∵DP＝AP＝AB， ∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）． 【解析】【分析】（1）连接AD，先利用“SAS”证出△BPD≌△AQD，可得PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，再利用角的运算和等量代换可得∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，即可证出△PDQ为等腰直角三角形； （2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，先证出△ABD是等腰直角三角形，再证出四边形APDQ为矩形，最后结合DP＝AP＝AB，即可证出矩形APDQ为正方形. 21． 如图，平行四边形对角线交于点O，点E在上，点F在延长线上，连接，且，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，G恰好是的中点，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， ； （2）解：连接如图： 由(1)得∶， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ， ， 在中：， ， ． 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质说明OB=OD，结合EF=BE，说明OE是中位线，可说明DE//AC； （2）先利用AAS证明，再利用全等三角形的性质说明DF=CE，就可说明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质，得到AB=CD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形得四边形DECF是矩形，利用矩形的性质，求得，结合勾股定理求出EF，进而可得DF的长. 22．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】（1）证明：． ． ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， （2）解：四边形是菱形． 理由是：为中点， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ，为中点， ， 平行四边形是菱形． （3）解：当时，四边形是正方形． 理由是：，， ， ． 为中点， ， ， 四边形是菱形， 菱形是正方形， 即当时，四边形是正方形． 【解析】【分析】（1）根据垂直先求出∠DFB=90°，再根据平行线的判定方法求出CE//AD，最后根据平行四边形的判定与性质证明求解即可； （2）根据线段的中点求出AD=BD，再根据平行四边形的判定方法求出四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定方法证明求解即可； （3）根据题意先求出， 再求出 ， 最后根据正方形的判定方法证明求解即可。 23． 如图， 正方形 的对角线交于点 ， 点 分别在 上 ， 且 的延长线交于点 的延长线交于点 ， 连结 ． （1） 求证： ． （2） 若正方形 的边长为 为 的中点，求 的长． 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， （2）如图， ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，依据ASA判定△OAM≌△OBN即可推出OM=ON； （2）根据正方形的性质求出OH=HA=2，根据勾股定理可得OM，进而求得MN. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $