4. 机械能守恒定律（举一反三讲义）物理人教版必修第二册

第4节 机械能守恒定律 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 1 【知识梳理】 2 知识点1：机械能的概念及动能与势能的相互转化 2 知识点2：机械能守恒定律的内容和条件 4 知识点3：系统的机械能守恒问题 6 【方法技巧】 8 【巩固训练】 8 【学习目标】 1. 知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。 2. 知道机械能守恒定律的内容、适用条件和表达式。 3.会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题。 重点：机械能守恒定律的理解和应用。 难点：能运用机械能守恒定律解决有关问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：机械能的概念及动能与势能的相互转化 1.重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能 ，动能 ，物体的重力势能转化为 ；若重力对物体做负功，则物体的重力势能 ，动能 ，物体的动能转化为 。 2.弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能 ，物体的动能 ，弹簧的弹性势能转化为物体的 ；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能 ，物体的动能 ，物体的动能转化为弹簧的 。 3. 机械能： 、 与 统称为机械能，用E表示。E= + 。 【典例1】篮球在中国普及率极高，大到七八十岁的大爷，小到上幼儿园的孩子，都可以参与下，我们学校也是一样，人多的时候所有篮球场都满员。我们来讨论下一个简单的运动过程，某次投篮过程，一同学将质量为m的篮球从离地面h高处出手，进入离地面H高处的篮筐时速度为v，若以出手时高度为零势能面，将篮球看成质点，忽略空气阻力，对篮球下列说法正确的是（　　） A．进入篮筐时势能为 B．在刚出手时动能为 C．进入篮筐时机械能为 D．在运动过程中任一点的机械能为 【变式1】如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为的位置A时，速度的大小为，滑到高度为的位置B时，速度的大小为。在由高度滑到高度的过程中，（不计空气阻力，重力加速度为g）求：    (1)小球的重力势能减少了多少？ (2)小球的动能增加了多少？ (3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。 (4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？ 【变式2】某同学将一质量为m的篮球从距离地面处，以的初速度竖直向下抛出，落到地面上并沿竖直方向弹回，上升的最大高度为，不计空气阻力，重力加速度为g，则篮球与地面碰撞过程中损失的机械能为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示为运动员斜向上掷出铅球的简化图，设铅球质量为m，抛出初速度为v0，铅球抛出点距离地面的高度为h，铅球能达到的离地面高度为H，以抛出点所在水平面为零势能面，若空气阻力不计，则（　　）    A．铅球在运动过程中动能越来越大 B．铅球在运动过程中重力势能越来越大 C．铅球落地时的机械能为 D．铅球在轨迹最高处的机械能为 知识点2：机械能守恒定律的内容和条件 1.内容：在只有 和 做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持 。 2.条件：（1）系统内只有重力（或弹力）做功； （2）只发生 和 间的相互转化。 3.表达式： ①守恒观点：前后两个状态的机械能 ，EP2+EK2=EP1+EK1 （E2= E1） ②转化观点：动能的增加（减少）等于势能的减少（增加），△EK增＝△EP减或△EK减＝△EP增 ③转移观点：A物体机械能的增加等于B物体机械能的减少，△EA增＝△EB减或△EA减＝△EB增 4.守恒的判断方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) 分析除重力，弹簧弹力外，有无其他力做功，若无其他力做功，则其机械能守恒；若有其他力做功，且不为零，则其机械能必不守恒。 （2）能量分析法(常用于多个物体组成的系统) 分析除重力势能、弹性势能和动能外，有无其他形式的能参与转化。若无其他形式的能参与转化，则系统机械能守恒；若有其他形式的能参与转化，则系统机械能必不守恒。 1.只有重力做功，是指物体也可以受到其他力，但其他力不做功。2.机械能守恒不仅只是初状态的机械能等于末状态机械能，二是在整个过程中的任一状态的机械能均不变。 【典例2】如图所示，把一小球放在竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（此时弹簧弹力为零）。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒 B．从A运动到B的过程中，小球的机械能不守恒 C．从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大 D．从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能先增加后减少 【变式1】如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 【变式2】如图所示，长度为的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，现让链条由静止释放，不计一切摩擦阻力，重力加速度为，当链条全部离开桌面时，其速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式3】从高处以初速度竖直向上抛出一个质量为的小球，如图所示。若取抛出点为零势点，不计空气阻力，则（　　） A．在抛出点小球的机械能为 B．在最高点小球的机械能为 C．在最高点小球的机械能为 D．小球着地时的机械能为 知识点3：系统的机械能守恒问题 多个物体组成系统的机械能问题，首先从能量的角度分析系统的机械能是否守恒，当系统的机械能守恒时，根据题意找出系统中物体速度的关联关系，最后根据机械能守恒的观点列出机械能守恒的表达式。 【典例3】如图所示，一条轻绳绕过定滑轮，绳的两端各系质量为m和2m的物体A和B，用手压住物体A（A物体放置于水平台上），使A、B均处于静止状态，不考虑一切阻力。由静止释放物体A，在其向右运动s的过程中（A未与滑轮碰撞且B未落地），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．A、B间轻绳拉力大小为2mg B．A、B及地球组成的系统机械能不守恒 C．物体B减少的重力势能等于物体A增加的动能 D．物体B减少的机械能为 【变式1】如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置与水平方向夹角为37°，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为5L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，、，运动中细绳始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细绳对甲的拉力先做正功后做负功 B．甲运动B点的加速度为0.8g C．甲静止时拉力大小为1.4mg D．甲运动B点的速度大小为 【变式2】（多选）如图，滑块a、b的质量均为，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为。则（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为 【变式3】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求： (1)小球P的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对P球是否做功；若做功，则做功是多少； (3)固定轴O受到杆的作用力大小和方向。 【方法技巧】 方法技巧 机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象：单个物体或多个物体组成的系统； （2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析或能量分析，判断机械能是否守恒； （3）根据题意选取合适的表达式； （4）列方程并进行求解。 【巩固训练】 1．下列几种运动中，机械能一定守恒的是（　　） A．做匀速直线运动的物体 B．做匀变速直线运动的物体 C．做平抛运动的物体 D．处于平衡状态的物体 2.如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的小球，抛出后小球落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功为mgh B．小球在海平面上的重力势能为mgh C．小球在海平面上的动能为 D．小球在海平面上的机械能为 3.如图所示，质量为m的物体以速度v0离开桌面后经过A点时，所具有的机械能是（以地面为零势能面，不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 4.如图所示，轻弹簧的上端悬挂在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球处于静止状态。现在小球上加一竖直向上的恒力F使小球向上运动，小球运动的最高点与最低点之间的距离为H，则此过程中（g为重力加速度，弹簧始终在弹性限度内）下列说法正确的是（　　） A．小球的机械能守恒 B．小球的动能增加（F-mg）H C．小球和弹簧组成的系统机械能增加FH D．小球的重力做功为mgH 5.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（　　） A． B． C． D． 6.如图所示，两物块质量分别为，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦。开始时，两物块距离地面高度相同，用手托住物块，然后由静止释放，直至物块间高度差为。在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块的机械能守恒 B．物块的机械能减小了 C．物块机械能的变化量等于细绳拉力对它所做的功 D．物块重力势能的增加量小于其动能增加量 7.（多选）如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 8.（多选）如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则（　　） A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒 B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功 C．在B下滑的过程中，A的机械能增加 D．A、B组成的系统机械能守恒 9.（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 10.如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度，重力加速度g取，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小； (3)C、E两点的距离x。 11.如图所示，一根跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端连接质量为10m的物块B，另一端连接质量为2m的小物块A，A套在一根足够长的竖直固定的光滑细杆上，杆上的M点与滑轮等高，滑轮与直杆间的距离为3L。A在竖直向下的拉力作用下静止于杆上P点位置，绳与杆的夹角为37°。不计滑轮的大小、质量和摩擦，不计空气阻力，sin37°= 0.6，cos37°= 0.8，重力加速度为g。求： (1)物块A静止时竖直向下的拉力F的大小； (2)撤去竖直向下的拉力，物块A运动到M点时的速度。 12.如图所示，从A点以v0的水平速度抛出一质量m=2kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在O点的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L=0.4m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m，圆弧半径R=0.75m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s2。求： (1)小物块水平抛出时，初速度v0的大小； (2)小物块滑动至C点时的速度； (3)小物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4节 机械能守恒定律 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 1 【知识梳理】 2 知识点1：机械能的概念及动能与势能的相互转化 2 知识点2：机械能守恒定律的内容和条件 5 知识点3：系统的机械能守恒问题 9 【方法技巧】 13 【巩固训练】 13 【学习目标】 1. 知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。 2. 知道机械能守恒定律的内容、适用条件和表达式。 3.会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题。 重点：机械能守恒定律的理解和应用。 难点：能运用机械能守恒定律解决有关问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：机械能的概念及动能与势能的相互转化 1.重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。 2.弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。 3. 机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能，用E表示。E= Ek+ EP。 【典例1】篮球在中国普及率极高，大到七八十岁的大爷，小到上幼儿园的孩子，都可以参与下，我们学校也是一样，人多的时候所有篮球场都满员。我们来讨论下一个简单的运动过程，某次投篮过程，一同学将质量为m的篮球从离地面h高处出手，进入离地面H高处的篮筐时速度为v，若以出手时高度为零势能面，将篮球看成质点，忽略空气阻力，对篮球下列说法正确的是（　　） A．进入篮筐时势能为 B．在刚出手时动能为 C．进入篮筐时机械能为 D．在运动过程中任一点的机械能为 【答案】D 【解析】AC．若以出手时高度为零势能面，则篮球进入篮筐时势能为 机械能为 故AC错误； D．篮球运动过程中只受重力作用，机械能守恒，结合前面分析可知篮球在运动过程中任一点的机械能为 故D正确； B．根据机械能守恒定律可知篮球在刚出手时动能为 故B错误。 故选D。 【变式1】如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为的位置A时，速度的大小为，滑到高度为的位置B时，速度的大小为。在由高度滑到高度的过程中，（不计空气阻力，重力加速度为g）求：    (1)小球的重力势能减少了多少？ (2)小球的动能增加了多少？ (3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。 (4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？ 【答案】(1) (2) (3) (4)等于 【解析】（1）由题意，选择地面为零势能参考面，可得小球重力势能的减少量为 （2）小球动能增加量为 （3）小球下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。选择地面为零势能参考面，其表达式为 （4）由（3）问表达式变形可知 即小球重力势能减少量等于动能增加量。 【变式2】某同学将一质量为m的篮球从距离地面处，以的初速度竖直向下抛出，落到地面上并沿竖直方向弹回，上升的最大高度为，不计空气阻力，重力加速度为g，则篮球与地面碰撞过程中损失的机械能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以地面为0势能参考平面，则篮球与地面碰撞过程中损失的机械能为 故选B。 【变式3】如图所示为运动员斜向上掷出铅球的简化图，设铅球质量为m，抛出初速度为v0，铅球抛出点距离地面的高度为h，铅球能达到的离地面高度为H，以抛出点所在水平面为零势能面，若空气阻力不计，则（　　）    A．铅球在运动过程中动能越来越大 B．铅球在运动过程中重力势能越来越大 C．铅球落地时的机械能为 D．铅球在轨迹最高处的机械能为 【答案】C 【解析】A．铅球所受重力即为其合力，铅球上升过程，重力做负功，铅球动能减小，重力势能增大；铅球下降过程，重力做正功，铅球动能增大，重力势能减小，可知铅球在运动过程中动能先减小后增大，故A错误； B．根据上述可知，铅球在运动过程中重力势能先增大后减小，故B错误； C．铅球运动过程中，只有重力做功，铅球的机械能守恒，可知若以抛出点所在水平面为零势能面，铅球落地时的机械能为，故C正确； D．根据机械能守恒可定律知，铅球在轨迹最高处的机械能为，故D错误。 故选C。 知识点2：机械能守恒定律的内容和条件 1.内容：在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2.条件：（1）系统内只有重力（或弹力）做功； （2）只发生动能和势能间的相互转化。 3.表达式： ①守恒观点：前后两个状态的机械能相等，EP2+EK2=EP1+EK1 （E2= E1） ②转化观点：动能的增加（减少）等于势能的减少（增加），△EK增＝△EP减或△EK减＝△EP增 ③转移观点：A物体机械能的增加等于B物体机械能的减少，△EA增＝△EB减或△EA减＝△EB增 4.守恒的判断方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) 分析除重力，弹簧弹力外，有无其他力做功，若无其他力做功，则其机械能守恒；若有其他力做功，且不为零，则其机械能必不守恒。 （2）能量分析法(常用于多个物体组成的系统) 分析除重力势能、弹性势能和动能外，有无其他形式的能参与转化。若无其他形式的能参与转化，则系统机械能守恒；若有其他形式的能参与转化，则系统机械能必不守恒。 1.只有重力做功，是指物体也可以受到其他力，但其他力不做功。2.机械能守恒不仅只是初状态的机械能等于末状态机械能，二是在整个过程中的任一状态的机械能均不变。 【典例2】如图所示，把一小球放在竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（此时弹簧弹力为零）。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒 B．从A运动到B的过程中，小球的机械能不守恒 C．从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大 D．从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能先增加后减少 【答案】B 【解析】AB．从A运动到B的过程中，弹簧弹力对小球做正功，小球的机械能增加，故A错误，B正确； C．从A运动到B的过程中，弹力一开始大于重力，小球向上加速运动，当弹力等于重力时，小球的速度达到最大，之后弹力小于重力，小球向上减速运动，所以小球的动能先增大后减小，故C错误； D．从A运动到C的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由于小球的动能先增大后减小，则小球和弹簧组成的系统势能先减少后增加，故D错误。 故选B。 【变式1】如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10m/s2）（　　） A．4m B．5m C．6m D．7m 【答案】B 【解析】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有 可得其理论的最大高度 故选B。 【变式2】如图所示，长度为的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，现让链条由静止释放，不计一切摩擦阻力，重力加速度为，当链条全部离开桌面时，其速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设链条的质量为m，重力势能的减小量为 由机械能守恒定律可得 解得 故选A。 【变式3】从高处以初速度竖直向上抛出一个质量为的小球，如图所示。若取抛出点为零势点，不计空气阻力，则（　　） A．在抛出点小球的机械能为 B．在最高点小球的机械能为 C．在最高点小球的机械能为 D．小球着地时的机械能为 【答案】B 【解析】A．由题意，在抛出点小球的重力势能为零，所以机械能等于初动能，为，故A错误； BCD．小球做竖直上抛运动，只受重力作用，机械能守恒，所以在最高点和着地时，小球的机械能都为，故B正确，CD错误。 故选B。 知识点3：系统的机械能守恒问题 多个物体组成系统的机械能问题，首先从能量的角度分析系统的机械能是否守恒，当系统的机械能守恒时，根据题意找出系统中物体速度的关联关系，最后根据机械能守恒的观点列出机械能守恒的表达式。 【典例3】如图所示，一条轻绳绕过定滑轮，绳的两端各系质量为m和2m的物体A和B，用手压住物体A（A物体放置于水平台上），使A、B均处于静止状态，不考虑一切阻力。由静止释放物体A，在其向右运动s的过程中（A未与滑轮碰撞且B未落地），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．A、B间轻绳拉力大小为2mg B．A、B及地球组成的系统机械能不守恒 C．物体B减少的重力势能等于物体A增加的动能 D．物体B减少的机械能为 【答案】D 【解析】A．对A、B分别根据牛顿第二定律有， 联立得，故A错误； BC．对于A、B及地球组成的系统只有重力做功，故机械能守恒，物体B减少的重力势能等于物体A、B增加的动能，故BC错误； D．物体B减少的机械能等于物体B克服绳的拉力做的功，即，故D正确。 故选D。 【变式1】如图所示，物块甲套在光滑的细直杆上，杆倾斜固定放置与水平方向夹角为37°，轻质细线跨过光滑定滑轮，与物块甲、乙相连，物块甲、乙的质量均为m。甲在平行于杆方向的拉力作用下静止在A点，此时与甲连接的细线刚好水平，滑轮与A点的间距为5L，乙悬在空中。现让甲从A点由静止释放，当甲运动到B点时，与甲连接的细线刚好与杆垂直，重力加速度为g，、，运动中细绳始终伸直，则甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细绳对甲的拉力先做正功后做负功 B．甲运动B点的加速度为0.8g C．甲静止时拉力大小为1.4mg D．甲运动B点的速度大小为 【答案】C 【解析】A．甲从A点运动到B点的过程中，由于细绳对甲的拉力方向与甲的速度方向的夹角小于，所以细绳对甲的拉力一直做正功，故A错误； B．甲运动B点，由于绳子对甲的拉力方向垂直于杆，则沿杆方向只有重力沿杆向下的分力，所以甲运动B点的加速度为 故B错误； C．甲静止时，以乙为对象，根据受力平衡可得细绳拉力大小为 以甲为对象，沿杆方向根据受力平衡可得拉力大小为 故C正确； D．甲运动B点时，由于绳子与杆垂直，则此时甲沿绳子方向的分速度为0，此时乙的速度为0；从A点运动到B点的过程中，根据系统机械能守恒可得 解得甲运动B点的速度大小为 故D错误。 故选C。 【变式2】（多选）如图，滑块a、b的质量均为，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为。则（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为 【答案】BD 【解析】A．当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中，先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误； B．a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒定律得 解得 故B正确； C．b的速度在整个过程中，先增大后减小，所以a对b的作用力先是动力后是阻力，所以b对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，b对a是向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，故C错误； D．ab整体的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力的作用，所以b对地面的压力大小为，故D正确。 故选BD。 【变式3】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求： (1)小球P的速度大小为多少； (2)在此过程中杆对P球是否做功；若做功，则做功是多少； (3)固定轴O受到杆的作用力大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向向下 【解析】（1）在Q球顺时针摆动到最低点位置时，设小球P的速度大小为，则Q的速度为，根据系统机械能守恒可得 由于两球是做同轴转动，所以两球的角速度大小相等，由，可知 联立解得， （2）在此过程中P球的机械能增加量为 由功能关系可知，小球P机械能的增加量等于杆对小球P所做的功，即其做功为。 （3）在Q球顺时针摆动到最低点位置时，对小球P，根据牛顿第二定律可得 解得 即杆对球P为向上的支持力，则根据牛顿第三定律可知上部分杆对O点有向下的弹力，大小为。对小球Q，根据牛顿第二定律可得 解得 杆对球Q为向上的支持力，则根据牛顿第三定律可知下部分杆对O点有向下的弹力，大小为。固定轴O带的杆的作用力大小 方向向下。 【方法技巧】 方法技巧 机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象：单个物体或多个物体组成的系统； （2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析或能量分析，判断机械能是否守恒； （3）根据题意选取合适的表达式； （4）列方程并进行求解。 【巩固训练】 1．下列几种运动中，机械能一定守恒的是（　　） A．做匀速直线运动的物体 B．做匀变速直线运动的物体 C．做平抛运动的物体 D．处于平衡状态的物体 【答案】C 【解析】A．做匀速直线运动的物体，动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故A错误； B．若是在水平面上的匀加速直线运动，动能增大，重力势能不变，则机械能不守恒，故B错误； C．做平抛运动的物体，只受重力做功，机械能必定守恒，故C正确； D．处于平衡状态的物体，如物体匀速上升时，机械能不守恒，故D错误； 故选C。 2.如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的小球，抛出后小球落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功为mgh B．小球在海平面上的重力势能为mgh C．小球在海平面上的动能为 D．小球在海平面上的机械能为 【答案】A 【解析】A．从地面到海平面重力对小球做的功为mgh，故A正确； B．地面为零势能面，所以小球在海平面上的重力势能为，故B错误； C．对小球根据动能定理，有 得小球在海平面上的动能为，故C错误； D．小球在地面上的机械能为，由机械能守恒定律得，小球在海平面上的机械能也为，故D错误。 故选A。 3.如图所示，质量为m的物体以速度v0离开桌面后经过A点时，所具有的机械能是（以地面为零势能面，不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因物体运动过程中只受重力，故机械能守恒，经过A点时的机械能等于离开桌面时的机械能，故为 故选D。 4.如图所示，轻弹簧的上端悬挂在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球处于静止状态。现在小球上加一竖直向上的恒力F使小球向上运动，小球运动的最高点与最低点之间的距离为H，则此过程中（g为重力加速度，弹簧始终在弹性限度内）下列说法正确的是（　　） A．小球的机械能守恒 B．小球的动能增加（F-mg）H C．小球和弹簧组成的系统机械能增加FH D．小球的重力做功为mgH 【答案】C 【解析】A．小球出受重力外，还有弹力和向上的恒力做功，机械能不守恒，故A错误； B．在最高点时，动能为零，从最低到最高的过程中，小球的动能增加量为零，故B错误； C．除重力以外的其他力做功等于机械能的增加量，可知小球和弹簧组成的系统机械能增加FH，故C正确； D．重力做负功，WG=-mgH，所以小球克服重力做功mgH，故D错误。 故选C。 5.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设液柱总质量为m。根据机械能守恒 得右侧液面下降的速度为 故选A。 6.如图所示，两物块质量分别为，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦。开始时，两物块距离地面高度相同，用手托住物块，然后由静止释放，直至物块间高度差为。在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块的机械能守恒 B．物块的机械能减小了 C．物块机械能的变化量等于细绳拉力对它所做的功 D．物块重力势能的增加量小于其动能增加量 【答案】C 【解析】A．物块a上升的过程中，动能增加，重力势能也增加，因此物块a的机械能增加，故A错误； B．a、b物块间高度差为h，说明a上升了，b下降了，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，则有 解得 所以物块b机械能减少了 故B错误； C．根据功能原理可知物块b机械能的改变量等于细绳拉力对它所做的功，故C正确；D．物块a重力势能的增加量为，动能增加量为 可知物块a的重力势能增加量大于其动能增加量，故D错误。 故选C。 7.（多选）如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【答案】AC 【解析】AB．若要把链条全部拉回桌面上，只要克服垂于桌面外的部分的重力做功即可，至少要克服重力做的功，A正确，B错误； CD．若自由释放链条，只有重力做功整个链条的机械能守恒，取桌面为参考平面，则有 解得，C正确，D错误。 故选AC。 8.（多选）如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则（　　） A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒 B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功 C．在B下滑的过程中，A的机械能增加 D．A、B组成的系统机械能守恒 【答案】CD 【解析】AB．在B下滑的过程中，A向左运动，除了B的重力做功外，圆弧轨道对B的支持力对B做负功，故B的机械能减少，AB错误； C．B对圆弧轨道的压力对A做正功，故A的机械能增加，C正确； D．A、B组成的系统只发生系统内动能和重力势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D正确。 故选CD。 9.（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 【答案】BD 【解析】A．由题图可知，物体刚被抛出时的机械能为，即物体竖直上抛的初动能 当机械能与重力势能相等，说明动能为零，物体上升到最高点时离地面高度为，这时重力势能 所以 故A错误； B．根据 解得时，物体的速率 故B正确； C．从题图中可以得出在物体上抛过程中，机械能有损失，物体上升到最高点的整个过程中，共损失了的机械能，按照比例可知上升时，机械能损失了，因此当时，物体的动能 故C错误； D．由图可知当时， 当时， 所以从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少50J，故D正确。 故选BD。 10.如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度，重力加速度g取，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小； (3)C、E两点的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据题意，小球从到的过程中，由机械能守恒定律有 解得 （2）根据题意，小球从到的过程中，由机械能守恒定律有 解得 在点，由牛顿第二定律有 解得 （3）小球从点飞出后做平抛运动，飞行时间为 C、E两点的距离 11.如图所示，一根跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端连接质量为10m的物块B，另一端连接质量为2m的小物块A，A套在一根足够长的竖直固定的光滑细杆上，杆上的M点与滑轮等高，滑轮与直杆间的距离为3L。A在竖直向下的拉力作用下静止于杆上P点位置，绳与杆的夹角为37°。不计滑轮的大小、质量和摩擦，不计空气阻力，sin37°= 0.6，cos37°= 0.8，重力加速度为g。求： (1)物块A静止时竖直向下的拉力F的大小； (2)撤去竖直向下的拉力，物块A运动到M点时的速度。 【答案】(1)6mg (2)，方向竖直向上 【解析】（1）设静止时绳中张力大小为，竖直向下拉力为F，根据平衡条件对物块B有 对物块A有 联立解得 （2）释放后，物块A先向上做加速度逐渐减小的加速运动，后向上做加速度逐渐增大的减速运动，当运动到滑轮等高M处时，物块B的速度         从物块A释放到第一次运动至M，物块A上升的高度 物块B下降的高度 此过程A、B两物块组成的系统机械能守恒 解得 方向竖直向上。 12.如图所示，从A点以v0的水平速度抛出一质量m=2kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°，C点在O点的正下方，圆弧轨道C端切线水平与水平面平滑连接。C点右侧水平面粗糙，在水平面上固定一个弹簧，弹簧的左端D距C点的水平距离为L=0.4m，小物块离开C点后继续在水平面上向弹簧滑去，将弹簧压缩了x=0.1m后停止滑行。小物块和水平面间的动摩擦因数μ=0.2，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m，圆弧半径R=0.75m，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s2。求： (1)小物块水平抛出时，初速度v0的大小； (2)小物块滑动至C点时的速度； (3)小物块停止滑行时弹簧具有的弹性势能大小。 【答案】(1)4m/s (2) (3)26J 【解析】（1）设小物块做平抛运动的时间为t，则有 设小物块到达B点时竖直分速度为vy，有 由以上两式代入数据解得 由题意，速度方向与水平面的夹角为37°，有 解得 （2）设小物块到达C点时速度为vC，从A至C，由动能定理得 解得 （3）当弹簧压缩到最短时，由能量守恒定律可得 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $