第八章机械能守恒定律期末复习：能量守恒定律在曲线运动、传送带模型、板块模型中的应用 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

期末复习：能量守恒定律在曲线运动、传送带模型、板块模型中的应用复习讲义 期末复习：能量守恒定律在曲线运动、传送带模型、板块模型中的应用复习讲义 考点目录 能量守恒定律在曲线运动中的应用 能量守恒定律在传送带模型中的应用 能量守恒定律在板块模型中的应用 考点一 能量守恒定律在曲线运动中的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 受力与做功划分 · 重力、弹簧弹力为保守力，做功对应重力势能、弹性势能变化； · 摩擦力、空气阻力为非保守力，做功产生内能，机械能不守恒。 1. 两个核心规律 （1）只有重力/弹力做功（平抛、圆周、光滑曲线轨道）：机械能守恒 · （2）存在摩擦/阻力：系统能量守恒 初态总机械能 = 末态机械能 + 摩擦产生热量 1. 曲线运动特有场景：竖直圆周、平抛、圆弧轨道、斜抛；向心力只改变速度方向，向心力不做功。 二、解题原理 1. 判断做功力：无摩擦直接用机械能守恒；有摩擦用能量守恒。 1. 选定零势能面，写出初、末动能+势能。 1. 有滑动摩擦时，热量等于摩擦力乘以物体实际运动路程（不是水平位移）。 1. 竖直圆周临界问题：结合能量守恒求最高点、最低点速度，再配合向心力公式求支持力/拉力。 1. 多段曲线轨道：分段列能量方程，前后速度衔接。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图所示，有一原长为2R的轻质弹簧，一端拴接在水平地面A处的固定挡板上，另一端位于水平地面上B处，弹簧处于原长。竖直平面内半径为 R的半圆形光滑轨道CDE与水平地面相切于C点，BC之间的距离为1.5R，A、B、C、D、E在同一竖直平面内。质量为m的小物块自D点（与圆心O等高）沿轨道由静止开始下滑，在水平地面上向左最远运动到P点（未画出），随后被水平弹回，恰好运动到C点，已知物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度大小为g，整个过程中弹簧未超出弹性限度。求： (1)小物块第一次到达C点时的速度大小v1； (2)小物块运动到P点时，弹簧的弹性势能Ep； (3)若物块的质量为，将其压缩弹簧至P点，静止释放后，物块运动到轨道DE之间的N点（图中未画出）后脱离轨道，求整个运动过程中物体上升的最大高度。 【答案】(1) (2) (3)hm = 【详解】（1）物块从D点第一次运动到C点，由机械能守恒有 解得 （2）物块在P点时，设弹簧的压缩量为x，物块从D点运动到P点，根据能量守恒有 物块从P点弹回运动到C点，能量守恒 解得, （3）设物块在N点的速率为，NO连线与OD成θ角。如图所示 从P运动到N，由能量守恒知 物块在N处，根据牛顿第二定律有     设物块从N处上升h后运动到最高点，由机械能守恒定律有 最大高度hm=h+R+Rsinθ 联立解得hm = 例2．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）如图所示，在高的光滑水平平台上，质量的小物块压缩轻弹簧后被锁扣锁住，储存了一定量的弹性势能（水平平台的长度大于弹簧的原长）。若打开锁扣，则物块与弹簧脱离后将以一定的水平速度向右从点冲出平台做平抛运动，并恰好能从固定的光滑圆弧形轨道的点沿切线方向进入圆弧形轨道。已知圆弧轨道所对的圆心角，圆弧轨道的圆心与平台等高，轨道最低点的切线水平，并与地面上长为的水平粗糙轨道平滑连接，物块与轨道间的动摩擦因数，小物块沿轨道运动并与右边墙壁发生无能量损失的碰撞，取，小物块可视为质点。求： (1)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能； (2)小物块第一次通过点时的速度大小； (3)小物块在段通过的总路程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系可得，点高度为 设从运动到的时间为，则，解得 小物块平抛的水平速度是，则，解得 根据能量关系 （2）小物块第一次通过点，由能量守恒定律可得 解得 （3）假设小物块能回到点，设小物块第一次返回点的速度为 由能量守恒得 解得 所以物块会从点飞出圆弧轨道，故小物块在段通过的总路程 例3．（24-25高一下·新疆巴州·期末）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角 ，D与圆心O等高，圆弧轨道半径 ，现有一个质量为 0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E两点间的距离 ，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5，取 ，不计空气阻力。 (1)求物体第一次通过C点时物体对轨道的压力 的大小； (2)要使物体不从斜面顶端飞出，求斜面的长度至少要多长； (3)若斜面已经满足（2）的要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，求在此过程中系统损失的机械能E的大小和物体在斜面上滑动的总路程s。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）物体从E开始下落到C的过程中，由动能定理可得 在C点，由牛顿第二定律可得                     解得                         由牛顿第三定律可知 （2）假设物体刚好不飞出时斜面长为，从E点到第一次上升到斜面最高点过程中，由动能定理可得 其中，                     解得斜面长度至少为 （3）因为，所以，物体不会停在斜面上，物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿光滑圆弧轨道做周期性运动。从E点开始直至最后，系统因摩擦而损失的机械能等于B、E两点间的重力势能，则有                     因摩擦而损失的机械能转化为了摩擦热，则 解得斜面上滑动的总路程为 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·浙江台州·期末）某同学玩“弹射游戏”装置如图所示，轨道BC由两个半径均为R=0.1m的圆形管道和圆单侧轨道拼接而成位于竖直面内，管道内直径大于小正方形滑块边长，且远小于R。轻弹簧左端固定，自然状态下弹簧右端位于O点，用质量为m=0.02kg的小滑块将弹簧压缩x0到A位置，由静止释放，小滑块恰能通过单侧轨道的最高点C，其中，OB段长为R，动摩擦因数μ为0.5，其它处摩擦不计，假设弹簧弹性势能与形变量的平方成正比。求： (1)小滑块到达最高点C的速度vC大小及小滑块落地点到B点的距离xB； (2)若弹簧的压缩量增为2x0，其它条件不变，小滑块经过B时对管道的弹力FN； (3)要使小滑块在BC轨道上运动过程中不脱离轨道，弹簧的弹性势能要满足的条件。 【答案】(1)1m/s，0.4m (2)4.8N，方向竖直向下 (3)0.01J≤Ep≤0.03J或Ep≥0.06J 【详解】（1）小滑块恰能通过最高点C，仅由重力提供向心力，有 解得 小滑块离开C点后做平抛运动，有 解得 故小滑块落地点到B点的距离为 （2）当弹簧的压缩量为x0时，根据能量守恒定律，得弹簧弹性势能 当弹簧的压缩量增为2x0时，弹簧弹性势能 由能量守恒定律，得 在B点，根据牛顿第二定律，有 解得 根据牛顿第三定律，小滑块对管道的弹力，方向竖直向下 （3）小滑块恰好能进入B点所需的弹性势能 小滑块恰能运动到与O1等高处所需的弹簧弹性势能 小滑块恰能运动到C点所需的弹簧弹性势能为 故符合条件的弹性势能范围是或 变式2．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，下端恰好与粗糙水平面MN平滑对接，与水平面等高且绷紧的水平传送带在电动机带动下始终以恒定速度顺时针运行。质量为的小物块由圆弧轨道顶端P点无初速度释放，滑到M点后向左运动，经N点滑上传送带，经一段时间后小物块又返回至传送带的右端。已知M、N两点间的距离，小物块与水平面和传送带间的动摩擦因数均为，g取，传送带足够长，不计空气阻力，小物块可视为质点，不考虑小物块由水平面滑上传送带的能量损失。求： (1)小物块运动到圆弧轨道底端时受到圆弧轨道的支持力大小； (2)小物块向左运动第一次到达N点时的速度大小； (3)全过程中小物块与传送带间因摩擦产生的热量和全过程中电动机多消耗的能量。 【答案】(1)15N (2)2m/s (3)2.25J；1.5J 【详解】（1）小物块从圆弧轨道顶端滑到圆弧轨道底端的过程中，根据机械能守恒定律 解得 在M点，对小物块，根据牛顿第二定律 解得 （2）小物块第一次从M点到N点，根据动能定理有 解得 （3）设小物块在传送带上向左运动的时间为，位移大小为，小物块第一次滑上传送带，速度方向与传送带的方向相反， 故先向左做匀减速直线运动，直到速度为零，根据牛顿第二定律有 解得 小物块向左减速到零的时间为 小物块向左运动的位移为 传送带向右匀速运动的位移为 小物块之后，向右做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 设经时间，小物块的速度与传送带共速，则有 解得 小物块向右加速的位移为 传送带向右匀速运动的位移为 小物块以滑离传送带，到NM段做匀减速直线运动，加速度仍为 则小物块在NM减速到零的位移为 说是小物块不会再返回到传送带上； 所以整个过程小物块相对传送带的总路程 小物块与传送带间因摩擦产生的热量为 全过程中电动机多消耗的能量 变式3．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，游戏装置固定于同一竖直截面内，分别由发射器K、长的水平轨道、半径的圆形轨道、控制器J，水平轨道、半径的圆弧轨道、长的倾斜直轨道和挡板Q组成，圆弧轨道半径与水平方向夹角，直轨道与半径垂直，各部分平滑连接。质量的物块与水平轨道和倾斜轨道间的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。发射器K最大弹性势能，其弹出物块时，弹性势能全部转化为物块的动能。物块从左侧进入控制器J时无阻力通过，从右侧进入时会被锁定。物块大小忽略不计，与挡板Q碰撞后等速率反弹，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（）求： (1)若发射器弹出的物块恰好通过圆形轨道最高点，则物块通过圆形轨道最低点时受到轨道的支持力大小； (2)若发射器弹出的物块能通过点，但不脱离轨道，则发射器弹性势能的范围。 【答案】(1)6N (2)J≤≤J，J≤≤J，J≤≤J 【详解】（1）物块恰好通过圆形轨道最高点，根据牛顿第二定律 解得m/s 物块到过程，由机械能守恒 解得m/s 物块在点由牛顿第二定律 得N （2）物块恰好能通过点，根据能量守恒J 物块恰能到点，则J 物块恰能通过点，根据牛顿第二定律 解得m/s 根据能量守恒J 物块恰能到点J 挡板Q反弹后物块匀速下滑，恰能通过点进入圆弧轨道，则J。 所以，发射器弹性势能的范围为J≤≤J，J≤≤J，J≤≤J。 考点二 能量守恒定律在传送带模型中的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 能量转化关系 电动机输出电能 → 物体动能增量 + 物体重力势能增量 + 摩擦生热 1. 摩擦热计算核心 · = 传送带位移与物体位移的相对位移大小。 1. 分两类传送带 · 水平传送带：无重力势能变化，； · 倾斜传送带：物体上升增加重力势能，下滑重力势能释放。 1. 关键状态：物体加速到与传送带共速后，无相对滑动，不再生热。 二、解题原理 1. 运动分析：先判断物体加速阶段、匀速阶段，算出物体位移、传送带位移。 1. 求相对位移：，计算摩擦热。 1. 能量守恒列式：电动机做功等于物体机械能增加量加摩擦内能。 1. 倾斜传送带注意：重力分力参与做功，势能变化不可忽略；下滑时重力势能一部分转化为动能、一部分生热。 1. 临界：物体速度等于传送带速度时相对滑动停止，热量不再增加。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏南通·期中）如图所示，水平传送带足够长，向右前进的速度，与倾角为的斜面的底端P平滑连接，将一质量的小物块从A点静止释放。已知A、P的距离，物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为、，取重力加速度，，。求物块； (1)第1次滑过P点时的速度大小； (2)第1次在传送带上往返运动的时间t； (3)从释放到最终停止运动，小物块在斜面上运动的总路程s。 【答案】(1)8m/s (2)9s (3)12m 【详解】（1）由动能定理得 解得 （2）由牛顿第二定律得 物块与传送带共速时，由速度公式得 解得 匀速运动阶段的时间为 第1次在传送带上往返运动的时间 （3）由分析可知，物块第一次离开传送带以后，每次再到达传送带和离开传送带的速度大小相等，根据能量守恒有 设小物块在斜面上运动的总路程为，则有 解得 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）如图所示，半径足够长的四分之一光滑固定圆弧轨道，通过水平光滑短轨道AB与倾角为30°的传送带平滑连接，传送带以恒定速率顺时针转动，物块与传送带间的动摩擦因数为。物块在B点以冲上传送带，恰好到达传送带最高点，全部运动过程不计空气阻力，物块质量m=1kg，物块大小可忽略，，求： (1)物块到达传送带最高点时的时间； (2)物块到达传送带最高点时的摩擦生热； (3)物块到达传送带最高点时电动机额外消耗的电能； (4)经过足够长时间，物块返回圆弧轨道能上升的最大高度。 【答案】(1)1.5s (2)6J (3)3J (4)0.2m 【详解】（1）当物块滑上传送带后，在与传送带达到共速前，摩擦力方向向下，根据牛顿第二定律有 解得 方向沿斜面向下 根据运动学公式有 解得 与传送带共速后，根据牛顿第二定律有 解得 方向沿斜面向下 根据运动学公式有 解得 可得 （2）在内物块、传送带的位移分别为， 则物块相对传送带的位移为有 在物块、传送带的位移分别为， 则物块相对传送带的位移为有 根据摩擦生热公式 又摩擦力一直为 联立解得 （3）传送带克服摩擦力做功等于电动机额外消耗的电能， 解得 （4）经足够长的时间，物块最终在圆弧轨道与传送带间往复运动，且最大速度为，根据能量守恒有 解得 例3．（25-26高一下·山西·阶段检测）如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道AB，半径，圆弧所对的圆心角，轨道最低点B与水平传送带左端相切，传送带由电动机带动，以恒定速率顺时针匀速转动，传送带BC长，传送带右端平滑连接一与传送带上表面等高的水平地面CE，其中CD粗糙，DE光滑，且C、D间距离为，E点固定一竖直墙壁，一个轻弹簧右端与墙壁连接，弹簧的原长与D、E间的距离相等。一质量的物块P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，物块P与传送带及粗糙水平地面CD间的动摩擦因数均为，物块P第一次压缩弹簧时弹簧的最大弹性势能。物块P可看成质点，已知，，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块P经过B点时对轨道的压力大小； (2)求物块P在C点时的速度大小及最终停止的位置距C点的距离； (3)求传送带的速率及物块通过传送带的过程电动机对传送带多做的功。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）物块P从A点静止下滑至B点，由机械能守恒定律得 解得 在B点，支持力和重力充当向心力得 解得 由牛顿第三定律可知，物块P经过B点时对轨道的压力大小 （2）从C到弹簧被压缩到最大位置，由能量守恒定律得 解得 从弹簧被压缩到最大位置向左运动至停止，由能量守恒定律得 解得 则物块P最终停止的位置距C点的距离为 （3）因，故物块在传送带上会加速。 假设物块一直加速，则由动能定理有 解得 则物块在传送带上先加速后与传送带共速，即传送带的速率 物块在传送带上的加速度 物块在传送带上的加速时间 则物块与传送带之间的相对位移为 由能量守恒定律得电动机对传送带多做的功为 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·浙江·阶段检测）“极速滑道”体验装置的竖直截面示意图如图所示，该装置由倾斜直轨道AB、圆弧轨道BC、水平传送带、水平直轨道DE和四分之一圆弧轨道EF依次平滑连接组成。一质量m＝0.1kg的滑块（可视为质点）由A点静止释放，始终在轨道上运动且不脱离。已知滑块与传送带和DE轨道间的动摩擦因数分别为，其他阻力均不计，AB轨道的倾角，长度；圆弧轨道BC与AB轨道相切于B点，半径，最低点为C点，传送带长度，以速度v＝8m/s顺时针转动；DE轨道长度；EF轨道的半径，与DE轨道相切于E点，最高点为F点。，。求滑块 (1)到达B点时的速度大小； (2)经过圆弧轨道最低点C时，对轨道的压力大小； (3)从释放到第一次到达E点的过程中，因摩擦而产生的热量Q； (4)从释放到最终静止的过程中，经过F点的次数n。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）滑块从A到B的过程 可得 （2）滑块从B到C的过程 得 在C点 得 由牛顿第三定律可得 （3）滑块到达C时 在传送带上加速度大小 设滑块减速到传送带速度v＝8m/s时的位移为x，由 得 即滑块恰好到达传送带右端D时，速度减为8m/s 滑块在传送带上运动的时间 传送带的位移 滑块与传送带的相对位移： 传送带处因摩擦产生的热量 滑块在水平轨道DE上运动时，因摩擦产生的热量 总热量 （4）滑块第一次到达E点时的动能 滑块每次经过最高点F时，至少需要克服重力做功 滑块从F点返回后，来回经过DE轨道，摩擦力做功 滑块来回经过传送带，速度等大反向； 综合上述可知，滑块上升和下降经过最高点F的总次数n＝6。 变式2．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，质量分别为和物块和（均视为质点），通过轻质不可伸长的细绳连接，跨过定滑轮（不考虑其质量）悬挂于两侧。初始时，两物块距天花板的高度均为，绳长，两物块距地面的高度均为。初始状态下通过外力使物块与保持静止。在时刻，同时释放两物块。当物块接触光滑地面的瞬间，将细绳切断。此后物块的速度减为零，将拿走。此时位于物块左侧的另一个的物块（连接轻质弹簧，且弹簧初始为原长）以一定初速度与物块发生碰撞。碰撞结束时，轻质弹簧恢复原长且物块静止，随后物块以冲上长度为，与水平面夹角为的传送带。已知传送带与物块间的动摩擦因数为，重力加速度，，。 (1)求物块落地时的速度大小； (2)若传送带静止，定量计算分析物块能否冲上传送带顶端？ (3)若传送带顺时针匀速运动，为使物块恰好能够到达顶端，传送带速度应为多大？此过程传送带电动机因运送物块而额外消耗的电能是多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【详解】（1）对A、B组成的系统，由机械能守恒定律 解得物块A落地时的速度大小为 （2）物块A在传送带上，根据牛顿第二定律可得 解得 则物块A在传送带的最多上升的位移大小为 所以物块A不能冲上传送带顶端。 （3）当传送带顺时针匀速运动时，设传送带的速度为v。物块A恰好能够到达顶端，说明其上滑过程中速度必先减小到与传送带速度v相等。由于mAgsinθ=12N＞μmAgcosθ=8N，两物块共速后无法保持相对静止，物块A的速度会继续减小，此时摩擦力方向变为沿斜面向上。则开始时物块A的速度大于传送带速度，摩擦力沿传送带向下，物块A的加速度仍为 当物块A减速到与传送带共速后，摩擦力沿传送带向上，此时对物块A，根据牛顿第二定律可得 解得 即此后物块A以的加速度减速，则， 且 解得 物块A的速度大于传送带的速度的减速时间为 此过程传送带的位移大小为 传送带对物块A做的功为 物块A与传送带共速后到减速到零所用时间为 此过程传送带的位移大小为 传送带对物块A做的功为 根据功能关系可知，传送带电动机因运送物块A而额外消耗的电能是 变式3．（25-26高一下·福建厦门·期中）厦门新机场为提高货物的传送速度建设了一条斜向上的传送带，该传送带与水平面的夹角为，传送带表面速度大小为，现让一个质量为m可视为质点的手提箱轻放在该传送带底端，手提箱与传送带间的动摩擦因数为0.8，从释放手提箱到手提箱到达传送带顶端的过程经历了加速和匀速两个过程，且这两个过程手提箱对地的位移相同，放入手提箱不影响传送带的速度，重力加速度为g，求： (1)手提箱刚滑上传送带时的加速度的大小（结果用分数表示）及手提箱加速过程合力对手提箱所做的功 (2)手提箱从最低点到最高点整个过程手提箱与传送带产生的摩擦热 (3)整个过程因放入手提箱电动机所多做的功 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对手提箱受力分析，由牛顿第二定律得 代入数据，解得 根据动能定理可得，合力做功为 （2）加速时间为 加速过程位移大小为 传送带位移大小为 相对位移 摩擦生热为 （3）由题意可知，手提箱的总位移大小为 则手提箱上升的高度为 电动机多做的功为 考点三 能量守恒定律在板块模型中的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 系统能量守恒方程（地面光滑/粗糙通用） 系统初总动能 = 系统末总动能 + 滑动摩擦产生的热量 1. 摩擦热量公式 · ：滑块与木板之间相对滑动的距离。 1. 受力特点：滑块、木板间滑动摩擦力为系统内力；地面摩擦力为外力，会损耗系统总动能。 1. 末态特征：二者共速时无相对滑动，不再产生热量。 二、解题原理 1. 运动分析：分别求出滑块、木板加速度，计算各自位移，求出相对滑动距离。 1. 分地面光滑、地面粗糙两种情况： · 地面光滑：仅滑块木板间摩擦生热，系统总动能损失全部转化为内能； · 地面粗糙：地面摩擦力额外消耗能量，总动能损失 = 板块间热量 + 地面摩擦损耗。 1. 能量方程固定写法： 滑块初动能+木板初动能 = 共速总动能 + 1. 多过程板块：分加速、共速、二次滑动分段列能量守恒；结合动量守恒先求共速，再算能量损失。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东惠州·月考）如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木板以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木板右端，小铁块与长木板间的动摩擦因数为μ。当小铁块在长木板上相对长木板滑动L时与长木板保持相对静止，此过程长木板对地的位移为l，求这个过程中： (1)小铁块增加的动能； (2)长木板减少的动能； (3)系统机械能的减少量； (4)系统产生的热量。 【答案】(1)μmg（l－L） (2)μmgl (3)μmgL (4)μmgL 【详解】（1）画出这一过程长木板与小铁块位移示意图，如图所示 以小铁块为研究对象，根据动能定理有μmg（l－L）=ΔEk1 即小铁块动能的增加量等于滑动摩擦力对小铁块做的功。 （2）摩擦力对长木板做负功，根据功能关系得-μmgl=ΔEk2 即长木板减少的动能等于长木板克服摩擦力做的功μmgl。 （3）在重力势能不变的情况下，系统机械能的减少量等于系统动能的减少量，则有ΔE=ΔEk1＋ΔEk2=-μmgL 即系统机械能减少了μmgL。 （4）小铁块与长木板间相对滑动的位移为L，结合上述，根据能量守恒定律有Q=μmgL 即滑动摩擦力对系统做的总功等于系统因摩擦而产生的热量，也等于系统减少的机械能。 例2．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）哈尔滨冰雪大世界的冰块采集自松花江，步骤为开锯、切分、打捞、运送。图甲是某次运送冰块的示意图，水平冰面AB段由于清理了积雪可视为光滑冰面、BC段动摩擦因数。长方体冰块长，质量均匀分布且总质量为开始时，静止在AB段内，现给冰块一个水平向右的初速度使冰块向着BC运动，重力加速度求： (1)冰块中点到达B点时，冰块的加速度大小a； (2)冰块静止时，冰块右端与B点的距离d； (3)如图乙，在冰块静止后，质量为，可视为质点的破冰工具，以的速度从冰块左端水平向右滑上冰块，恰能到达冰块最右端，最终一同静止在BC段冰面上，求整个运动过程冰块与地面摩擦产热Q。 【答案】(1) (2)1.25m (3)37.5J 【详解】（1）根据牛顿第二定律 由 解得 （2）设冰块进入段长度为时，冰块所受摩擦力 由式子可知此阶段摩擦力正比于冰块进入段的长度，则此阶段克服摩擦力做功 根据能量守恒定律 由 解得 （3）设破冰工具与冰块的动摩擦因数为 假设冰块不动，则有 即 对工具， 解得，不符合假设，说明冰块滑动。 对冰块 工具到达最右端恰好共速 位移关系 解得 对冰块 共速后，工具和冰块相对静止一起减速，加速度为，有 冰块减速位移 解得 冰块与地面摩擦产热 例3．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点，不计空气阻力），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的半径的粗糙圆弧轨道，其中轨道C端切线水平，当小物块运动到轨道末端C时对轨道的压力大小为。随后小物块滑上静止在粗糙水平面的长木板上，已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，半径与竖直半径间的夹角。取，求： (1)小物块运动至B点时的速度大小； (2)小物块在粗糙圆弧轨道上运动的过程中，摩擦力所做的功？ (3)若长木板长为，则自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量及地面与长木板间产生的热量各为多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据运动的分解可知 （2）在C点对物体受力分析，根据牛顿第二定律可得 由题意可知 代入数据，联立解得 小物块从B到C的过程中，根据动能定理可得 代入数据解得 （3）小物块在长木板上滑动过程中，设小物块和长木板的加速度大小分别为、，根据牛顿第二定律可得， 解得， 假设小物块与长木板可以达到共速时，且所用时间为，由运动学公式有 解得， 时间内小物块和长木板的位移大小分别为， 二者的位移差 假设成立，由于，所以共速之后二者将共同做匀减速运动，加速度大小为 从共速到停下来通过的位移为 自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量为 地面与长木板间产生的热量为 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·福建·期中）某自动化车间的一个传输系统由一个半径R=0.5m的固定的四分之一圆弧轨道BC、一个固定在圆弧轨道末端C点的速度传感器（未画出）、一辆平板小车和一根固定轻弹簧组成。可视为质点的配件由A点静止下落，下落高度h=0.5m后在B点沿切线进入圆弧轨道BC，经过C点滑上与轨道等高的小车，与小车达到共同速度后，小车与弹簧接触并压缩弹簧。某个质量m=1kg的配件经过C点时传感器显示速度大小为，该配件与小车间的动摩擦因数，小车质量M=1kg，不计空气阻力和地面对小车的阻力，弹簧劲度系数k=24N/m，取重力加速度。 (1)求配件从B运动到C过程中克服阻力所作的功； (2)求小车与弹簧接触前瞬间小车的速度大小v； (3)已知弹簧弹性势能表达式为，其中x为弹簧的形变量。整个运动过程中该配件未离开小车，弹簧始终在弹性限度内，求弹簧的最大压缩量（结果可保留根号形式）。 【答案】(1)2J (2)2m/s (3) 【详解】（1）从A点到C点，由动能定理得 解得 （2）配件刚滑上小车时，根据牛顿第二定律，对配件进行分析有 对小车进行分析有 设经过时间t配件和小车达到共同速度，由运动学公式可得 解得 （3）配件和小车接触弹簧后，当配件和小车刚要发生相对滑动瞬间，设二者整体的加速度为a，根据牛顿第二定律可得 对配件进行分析有 解得 从小车开始接触弹簧到小车和配件发生相对滑动瞬间的过程中，对配件和小车进行分析，根据动能定理有 从小车和配件发生相对滑动到小车停止运动的过程中，对小车进行分析，根据动能定理有 解得 变式2．（24-25高一下·江苏南京·期中）足够长的水平传送带，在电动机的带动下从t=0时刻由静止开始一直加速转动，上表面向右运动，加速度恒为。t=3s时，将一质量为m=1kg的长木板A无初速地放在传送带左端，A与传送带之间的动摩擦因数为。t=6s时，将一质量也为m=1kg的小物块B无初速地放在A的右端，B与A之间的动摩擦因数为。之后的过程中，B未从A上掉落。已知各接触面的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，重力加速度。求： (1)从A放上传送带，到与传送带速度相同，经历的时间； (2)A与B之间因摩擦而产生的热量Q； (3)从A放上传送带到各接触面都相对静止时为止，电动机因放上A和B而多做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A与传送带同速时，根据速度关系 解得 （2）A和传送带同速后，受到摩擦力为 两者相对静止，当t=6s时，传送带和A的速度为 B在A上后，B的加速度为 A的加速度为 再经过，A和B相对静止，共同速度为 解得， 假设随后A和B相对静止，一起加速度，加速度为 此时A和B间的摩擦力 所以A和B相对静止，设再经过时间AB相对传送带静止，速度为 可得， 所以当t=7s时所有接触面相对静止。A和B的相对位移为 A、B间产生的热量为 （3）第一次A与传送带摩擦产生的热量 第二次A与传送带摩擦产生的热量 A和B动能的增加量为 电动机多做的功 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：能量守恒定律在曲线运动、传送带模型、板块模型中的应用复习讲义 期末复习：能量守恒定律在曲线运动、传送带模型、板块模型中的应用复习讲义 考点目录 能量守恒定律在曲线运动中的应用 能量守恒定律在传送带模型中的应用 能量守恒定律在板块模型中的应用 考点一 能量守恒定律在曲线运动中的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 受力与做功划分 · 重力、弹簧弹力为保守力，做功对应重力势能、弹性势能变化； · 摩擦力、空气阻力为非保守力，做功产生内能，机械能不守恒。 1. 两个核心规律 （1）只有重力/弹力做功（平抛、圆周、光滑曲线轨道）：机械能守恒 · （2）存在摩擦/阻力：系统能量守恒 初态总机械能 = 末态机械能 + 摩擦产生热量 1. 曲线运动特有场景：竖直圆周、平抛、圆弧轨道、斜抛；向心力只改变速度方向，向心力不做功。 二、解题原理 1. 判断做功力：无摩擦直接用机械能守恒；有摩擦用能量守恒。 1. 选定零势能面，写出初、末动能+势能。 1. 有滑动摩擦时，热量等于摩擦力乘以物体实际运动路程（不是水平位移）。 1. 竖直圆周临界问题：结合能量守恒求最高点、最低点速度，再配合向心力公式求支持力/拉力。 1. 多段曲线轨道：分段列能量方程，前后速度衔接。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图所示，有一原长为2R的轻质弹簧，一端拴接在水平地面A处的固定挡板上，另一端位于水平地面上B处，弹簧处于原长。竖直平面内半径为 R的半圆形光滑轨道CDE与水平地面相切于C点，BC之间的距离为1.5R，A、B、C、D、E在同一竖直平面内。质量为m的小物块自D点（与圆心O等高）沿轨道由静止开始下滑，在水平地面上向左最远运动到P点（未画出），随后被水平弹回，恰好运动到C点，已知物块与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度大小为g，整个过程中弹簧未超出弹性限度。求： (1)小物块第一次到达C点时的速度大小v1； (2)小物块运动到P点时，弹簧的弹性势能Ep； (3)若物块的质量为，将其压缩弹簧至P点，静止释放后，物块运动到轨道DE之间的N点（图中未画出）后脱离轨道，求整个运动过程中物体上升的最大高度。 例2．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）如图所示，在高的光滑水平平台上，质量的小物块压缩轻弹簧后被锁扣锁住，储存了一定量的弹性势能（水平平台的长度大于弹簧的原长）。若打开锁扣，则物块与弹簧脱离后将以一定的水平速度向右从点冲出平台做平抛运动，并恰好能从固定的光滑圆弧形轨道的点沿切线方向进入圆弧形轨道。已知圆弧轨道所对的圆心角，圆弧轨道的圆心与平台等高，轨道最低点的切线水平，并与地面上长为的水平粗糙轨道平滑连接，物块与轨道间的动摩擦因数，小物块沿轨道运动并与右边墙壁发生无能量损失的碰撞，取，小物块可视为质点。求： (1)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能； (2)小物块第一次通过点时的速度大小； (3)小物块在段通过的总路程。 例3．（24-25高一下·新疆巴州·期末）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角 ，D与圆心O等高，圆弧轨道半径 ，现有一个质量为 0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E两点间的距离 ，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5，取 ，不计空气阻力。 (1)求物体第一次通过C点时物体对轨道的压力 的大小； (2)要使物体不从斜面顶端飞出，求斜面的长度至少要多长； (3)若斜面已经满足（2）的要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，求在此过程中系统损失的机械能E的大小和物体在斜面上滑动的总路程s。 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·浙江台州·期末）某同学玩“弹射游戏”装置如图所示，轨道BC由两个半径均为R=0.1m的圆形管道和圆单侧轨道拼接而成位于竖直面内，管道内直径大于小正方形滑块边长，且远小于R。轻弹簧左端固定，自然状态下弹簧右端位于O点，用质量为m=0.02kg的小滑块将弹簧压缩x0到A位置，由静止释放，小滑块恰能通过单侧轨道的最高点C，其中，OB段长为R，动摩擦因数μ为0.5，其它处摩擦不计，假设弹簧弹性势能与形变量的平方成正比。求： (1)小滑块到达最高点C的速度vC大小及小滑块落地点到B点的距离xB； (2)若弹簧的压缩量增为2x0，其它条件不变，小滑块经过B时对管道的弹力FN； (3)要使小滑块在BC轨道上运动过程中不脱离轨道，弹簧的弹性势能要满足的条件。 变式2．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，下端恰好与粗糙水平面MN平滑对接，与水平面等高且绷紧的水平传送带在电动机带动下始终以恒定速度顺时针运行。质量为的小物块由圆弧轨道顶端P点无初速度释放，滑到M点后向左运动，经N点滑上传送带，经一段时间后小物块又返回至传送带的右端。已知M、N两点间的距离，小物块与水平面和传送带间的动摩擦因数均为，g取，传送带足够长，不计空气阻力，小物块可视为质点，不考虑小物块由水平面滑上传送带的能量损失。求： (1)小物块运动到圆弧轨道底端时受到圆弧轨道的支持力大小； (2)小物块向左运动第一次到达N点时的速度大小； (3)全过程中小物块与传送带间因摩擦产生的热量和全过程中电动机多消耗的能量。 变式3．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，游戏装置固定于同一竖直截面内，分别由发射器K、长的水平轨道、半径的圆形轨道、控制器J，水平轨道、半径的圆弧轨道、长的倾斜直轨道和挡板Q组成，圆弧轨道半径与水平方向夹角，直轨道与半径垂直，各部分平滑连接。质量的物块与水平轨道和倾斜轨道间的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。发射器K最大弹性势能，其弹出物块时，弹性势能全部转化为物块的动能。物块从左侧进入控制器J时无阻力通过，从右侧进入时会被锁定。物块大小忽略不计，与挡板Q碰撞后等速率反弹，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（）求： (1)若发射器弹出的物块恰好通过圆形轨道最高点，则物块通过圆形轨道最低点时受到轨道的支持力大小； (2)若发射器弹出的物块能通过点，但不脱离轨道，则发射器弹性势能的范围。 考点二 能量守恒定律在传送带模型中的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 能量转化关系 电动机输出电能 → 物体动能增量 + 物体重力势能增量 + 摩擦生热 1. 摩擦热计算核心 · = 传送带位移与物体位移的相对位移大小。 1. 分两类传送带 · 水平传送带：无重力势能变化，； · 倾斜传送带：物体上升增加重力势能，下滑重力势能释放。 1. 关键状态：物体加速到与传送带共速后，无相对滑动，不再生热。 二、解题原理 1. 运动分析：先判断物体加速阶段、匀速阶段，算出物体位移、传送带位移。 1. 求相对位移：，计算摩擦热。 1. 能量守恒列式：电动机做功等于物体机械能增加量加摩擦内能。 1. 倾斜传送带注意：重力分力参与做功，势能变化不可忽略；下滑时重力势能一部分转化为动能、一部分生热。 1. 临界：物体速度等于传送带速度时相对滑动停止，热量不再增加。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏南通·期中）如图所示，水平传送带足够长，向右前进的速度，与倾角为的斜面的底端P平滑连接，将一质量的小物块从A点静止释放。已知A、P的距离，物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为、，取重力加速度，，。求物块； (1)第1次滑过P点时的速度大小； (2)第1次在传送带上往返运动的时间t； (3)从释放到最终停止运动，小物块在斜面上运动的总路程s。 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）如图所示，半径足够长的四分之一光滑固定圆弧轨道，通过水平光滑短轨道AB与倾角为30°的传送带平滑连接，传送带以恒定速率顺时针转动，物块与传送带间的动摩擦因数为。物块在B点以冲上传送带，恰好到达传送带最高点，全部运动过程不计空气阻力，物块质量m=1kg，物块大小可忽略，，求： (1)物块到达传送带最高点时的时间； (2)物块到达传送带最高点时的摩擦生热； (3)物块到达传送带最高点时电动机额外消耗的电能； (4)经过足够长时间，物块返回圆弧轨道能上升的最大高度。 例3．（25-26高一下·山西·阶段检测）如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道AB，半径，圆弧所对的圆心角，轨道最低点B与水平传送带左端相切，传送带由电动机带动，以恒定速率顺时针匀速转动，传送带BC长，传送带右端平滑连接一与传送带上表面等高的水平地面CE，其中CD粗糙，DE光滑，且C、D间距离为，E点固定一竖直墙壁，一个轻弹簧右端与墙壁连接，弹簧的原长与D、E间的距离相等。一质量的物块P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，物块P与传送带及粗糙水平地面CD间的动摩擦因数均为，物块P第一次压缩弹簧时弹簧的最大弹性势能。物块P可看成质点，已知，，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块P经过B点时对轨道的压力大小； (2)求物块P在C点时的速度大小及最终停止的位置距C点的距离； (3)求传送带的速率及物块通过传送带的过程电动机对传送带多做的功。 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·浙江·阶段检测）“极速滑道”体验装置的竖直截面示意图如图所示，该装置由倾斜直轨道AB、圆弧轨道BC、水平传送带、水平直轨道DE和四分之一圆弧轨道EF依次平滑连接组成。一质量m＝0.1kg的滑块（可视为质点）由A点静止释放，始终在轨道上运动且不脱离。已知滑块与传送带和DE轨道间的动摩擦因数分别为，其他阻力均不计，AB轨道的倾角，长度；圆弧轨道BC与AB轨道相切于B点，半径，最低点为C点，传送带长度，以速度v＝8m/s顺时针转动；DE轨道长度；EF轨道的半径，与DE轨道相切于E点，最高点为F点。，。求滑块 (1)到达B点时的速度大小； (2)经过圆弧轨道最低点C时，对轨道的压力大小； (3)从释放到第一次到达E点的过程中，因摩擦而产生的热量Q； (4)从释放到最终静止的过程中，经过F点的次数n。 变式2．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，质量分别为和物块和（均视为质点），通过轻质不可伸长的细绳连接，跨过定滑轮（不考虑其质量）悬挂于两侧。初始时，两物块距天花板的高度均为，绳长，两物块距地面的高度均为。初始状态下通过外力使物块与保持静止。在时刻，同时释放两物块。当物块接触光滑地面的瞬间，将细绳切断。此后物块的速度减为零，将拿走。此时位于物块左侧的另一个的物块（连接轻质弹簧，且弹簧初始为原长）以一定初速度与物块发生碰撞。碰撞结束时，轻质弹簧恢复原长且物块静止，随后物块以冲上长度为，与水平面夹角为的传送带。已知传送带与物块间的动摩擦因数为，重力加速度，，。 (1)求物块落地时的速度大小； (2)若传送带静止，定量计算分析物块能否冲上传送带顶端？ (3)若传送带顺时针匀速运动，为使物块恰好能够到达顶端，传送带速度应为多大？此过程传送带电动机因运送物块而额外消耗的电能是多少？ 变式3．（25-26高一下·福建厦门·期中）厦门新机场为提高货物的传送速度建设了一条斜向上的传送带，该传送带与水平面的夹角为，传送带表面速度大小为，现让一个质量为m可视为质点的手提箱轻放在该传送带底端，手提箱与传送带间的动摩擦因数为0.8，从释放手提箱到手提箱到达传送带顶端的过程经历了加速和匀速两个过程，且这两个过程手提箱对地的位移相同，放入手提箱不影响传送带的速度，重力加速度为g，求： (1)手提箱刚滑上传送带时的加速度的大小（结果用分数表示）及手提箱加速过程合力对手提箱所做的功 (2)手提箱从最低点到最高点整个过程手提箱与传送带产生的摩擦热 (3)整个过程因放入手提箱电动机所多做的功 考点三 能量守恒定律在板块模型中的应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 系统能量守恒方程（地面光滑/粗糙通用） 系统初总动能 = 系统末总动能 + 滑动摩擦产生的热量 1. 摩擦热量公式 · ：滑块与木板之间相对滑动的距离。 1. 受力特点：滑块、木板间滑动摩擦力为系统内力；地面摩擦力为外力，会损耗系统总动能。 1. 末态特征：二者共速时无相对滑动，不再产生热量。 二、解题原理 1. 运动分析：分别求出滑块、木板加速度，计算各自位移，求出相对滑动距离。 1. 分地面光滑、地面粗糙两种情况： · 地面光滑：仅滑块木板间摩擦生热，系统总动能损失全部转化为内能； · 地面粗糙：地面摩擦力额外消耗能量，总动能损失 = 板块间热量 + 地面摩擦损耗。 1. 能量方程固定写法： 滑块初动能+木板初动能 = 共速总动能 + 1. 多过程板块：分加速、共速、二次滑动分段列能量守恒；结合动量守恒先求共速，再算能量损失。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东惠州·月考）如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木板以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木板右端，小铁块与长木板间的动摩擦因数为μ。当小铁块在长木板上相对长木板滑动L时与长木板保持相对静止，此过程长木板对地的位移为l，求这个过程中： (1)小铁块增加的动能； (2)长木板减少的动能； (3)系统机械能的减少量； (4)系统产生的热量。 例2．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）哈尔滨冰雪大世界的冰块采集自松花江，步骤为开锯、切分、打捞、运送。图甲是某次运送冰块的示意图，水平冰面AB段由于清理了积雪可视为光滑冰面、BC段动摩擦因数。长方体冰块长，质量均匀分布且总质量为开始时，静止在AB段内，现给冰块一个水平向右的初速度使冰块向着BC运动，重力加速度求： (1)冰块中点到达B点时，冰块的加速度大小a； (2)冰块静止时，冰块右端与B点的距离d； (3)如图乙，在冰块静止后，质量为，可视为质点的破冰工具，以的速度从冰块左端水平向右滑上冰块，恰能到达冰块最右端，最终一同静止在BC段冰面上，求整个运动过程冰块与地面摩擦产热Q。 例3．（24-25高一下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点，不计空气阻力），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的半径的粗糙圆弧轨道，其中轨道C端切线水平，当小物块运动到轨道末端C时对轨道的压力大小为。随后小物块滑上静止在粗糙水平面的长木板上，已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，半径与竖直半径间的夹角。取，求： (1)小物块运动至B点时的速度大小； (2)小物块在粗糙圆弧轨道上运动的过程中，摩擦力所做的功？ (3)若长木板长为，则自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量及地面与长木板间产生的热量各为多少？ 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·福建·期中）某自动化车间的一个传输系统由一个半径R=0.5m的固定的四分之一圆弧轨道BC、一个固定在圆弧轨道末端C点的速度传感器（未画出）、一辆平板小车和一根固定轻弹簧组成。可视为质点的配件由A点静止下落，下落高度h=0.5m后在B点沿切线进入圆弧轨道BC，经过C点滑上与轨道等高的小车，与小车达到共同速度后，小车与弹簧接触并压缩弹簧。某个质量m=1kg的配件经过C点时传感器显示速度大小为，该配件与小车间的动摩擦因数，小车质量M=1kg，不计空气阻力和地面对小车的阻力，弹簧劲度系数k=24N/m，取重力加速度。 (1)求配件从B运动到C过程中克服阻力所作的功； (2)求小车与弹簧接触前瞬间小车的速度大小v； (3)已知弹簧弹性势能表达式为，其中x为弹簧的形变量。整个运动过程中该配件未离开小车，弹簧始终在弹性限度内，求弹簧的最大压缩量（结果可保留根号形式）。 变式2．（24-25高一下·江苏南京·期中）足够长的水平传送带，在电动机的带动下从t=0时刻由静止开始一直加速转动，上表面向右运动，加速度恒为。t=3s时，将一质量为m=1kg的长木板A无初速地放在传送带左端，A与传送带之间的动摩擦因数为。t=6s时，将一质量也为m=1kg的小物块B无初速地放在A的右端，B与A之间的动摩擦因数为。之后的过程中，B未从A上掉落。已知各接触面的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，重力加速度。求： (1)从A放上传送带，到与传送带速度相同，经历的时间； (2)A与B之间因摩擦而产生的热量Q； (3)从A放上传送带到各接触面都相对静止时为止，电动机因放上A和B而多做的功W。 2 学科网（北京）股份有限公司 $