培优01 矩形的性质与判定（11大重难题型+强化训练）数学新教材浙教版八年级下册

培优01矩形的性质与判定11大重难题型+强化训练 题型1矩形的性质理解 一、先记定义 有一个角是直角的平行四边形，就是矩形(长方形)。 本质：特殊的平行四边形，所以平行四边形有的性质，矩形全都有，还多了自己专属性质。 二、矩形四大核心性质(分两类) 1.和平行四边形一样的性质 ①对边平行且相等；②对角相等；③邻角互补(加起来180°)；④对角线互相平分 2.矩形独有的特殊性质(重点必考) ①四个角都是直角(90°)；②对角线相等。 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在四边形中，点，，，分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（  ） A．对角线不相等的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线垂直的平行四边形 D．对角线垂直且相等的平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，正确拼出矩形是解题的关键． 拼成的四边形为矩形，根据矩形是对角线相等的平行四边形，即可解答． 【详解】解：按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形如图，其中点重合于点O， ∴拼成的四边形为矩形，则矩形是对角线相等的平行四边形． 故选B． 题型2利用矩形的性质求角度 题型1：已知一个小角，求另一个内角 套路①矩形内角90°，大角拆成两个角；②已知一个，直接：90°-已知角 题型2：已知对角线夹角，求底角(高频必考) 原理：矩形对角线相等且互相平分，所以对角线分成的三角形是等腰三角形。 套路 ①对角线相交夹角已知→求等腰三角形顶角 ②用(180°-顶角)÷2求底角 ③再结合90°,求题目要的角度 1．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，再由角平分线得出是等腰直角三角形，得出，证明是等边三角形，得出，，得出，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ . ∵ 平分， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ． 题型3利用矩形的性质求线段长度 一、先记矩形求边长的3个核心依据 1.对边相等：矩形对边长度相等 2.对角线相等且互相平分 对角线：AC=BD,交点分对角线成四条线段都相等 3.自带直角：四个角都是90°,可直接用勾股定理 二、通用解题步骤(逢题必套) 1.标线段：把已知边长、对角线长、中点线段全部标在图上 2.用平分性质 对角线交点把对角线分成两半： 3.构造直角三角形 矩形邻边+一条对角线，构成Rt直接用勾股定理： 4.代入计算，求出未知线段 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得对角线互相平分且相等，从而得到，结合可判定是等边三角形，进而求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．（2026·河南周口·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，可得；再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得．本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：． 题型4利用矩形的性质求面积 一、万能解题步骤 1.找矩形的长和宽 2.缺边长：用勾股定理/对角线性质/等腰、等边三角形求出未知边长 3.套公式：S=长×宽算面积 二、四类常考题型套路 题型1:已知长、宽，直接求面积直接相乘，最简单。 题型2:已知一条边+对角线长，求面积步骤： 3.长×宽得面积 题型3：已知对角线及对角线夹角，求面积套路： 1.对角线互相平分且相等，得小线段相等 2.夹角60°/120°→出现等边三角形，直接得一条边长 3.勾股求另一条边，再算面积 题型4：矩形被线段分割，求部分面积套路： 1.利用矩形对边平行相等，证全等、等积 2.整体面积减空白面积=阴影面积 1．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 3．（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 题型5利用矩形的性质证明 一、先牢记：矩形能用来证明的核心性质 ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是90°直角；③对角线：相等且互相平分；④天然自带：平行线、直角三角形、等腰三角形 二、矩形证明题3大证明方向 ①证线段相等；②证线段平行/垂直；③证角相等、角为90°、三角形特殊形状(等腰/等边/直角) 三、万能解题步骤(所有矩形证明都套这4步) 1.先点明：四边形是矩形写出∵四边形ABCD是矩形 2.直接套用矩形性质摆条件 按需选用： ∴对边平行且相等；∴四个内角都是90°；∴对角线相等、互相平分 3.结合已学定理推导 平行线性质、全等三角形、等腰三角形性质、直角三角形性质 4.得出要证的结论 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知矩形，点E和点F是边上的点，和交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质，证明，结合等式的性质证明即可． 【详解】证明：因为矩形， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，且， (1)求证：； (2)若，矩形的周长为22，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由各角的等量代换确定，结合全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得出，然后根据周长建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ． 题型6求矩形在坐标系中的坐标 两大常用解题公式 1.中点公式 中点： 矩形对角线中点重合，用中点求坐标最常用。 2.平移法(最简单好用) 已知两个顶点，把一边横向、纵向平移，直接出第四个点坐标。 1．（25-26七年级下·天津河西·期中）如图，四边形是长方形，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，点在轴负半轴上，点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是长方形中，，可得点纵坐标和相同，又根据点在第二象限，，即可求出的横坐标. 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点，点在第二象限，是平面直角坐标系的原点，， ∴． 2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 3．（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 题型7矩形中折叠问题 四、三大常考模型套路 模型1：沿对角线折叠 ①必有等腰三角形(平行线+折叠角相等)；②设边长为x,构造Rt△勾股解方程 模型2：向对边顶点折叠(一个点落在对边上) ①折叠后对应边相等；②落点所在直角三角形是关键，直接设x列勾股方程 模型3：折到内部某点、折痕平行/垂直 ①先找相等线段；②利用矩形直角凑Rt△,依旧设x+勾股 1．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点C与点A重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·广西桂林·期中）如图，将矩形的边折叠，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，，进而求出和的长，设，在Rt 中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴ ， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴ ， 设，则 ， ∴ ， 在 中，， ， 解得， 即． 3．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， 在图中，∵，为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设，，则， 由折叠可得：， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型8证明四边形是矩形 常用拿来当条件的依据 1.平行线+垂直→出直角 2.三角形全等→角相等、边相等 3.对角线互相平分→先得平行四边形 4.同角的余角相等、邻补角180°推直角 1．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中线，，且，连接，． (1)求证：； (2)当满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)(答案不唯一) 【分析】（1）根据中线的性质得，再结合得到四边形是平行四边形，最后由平行四边形的对边相等求解； （2）先证得四边形是平行四边形，再利用是等腰三角形时四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：当满足时，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ， ， 平行四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，=6，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 3．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，，则的长为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，，证出四边形是平行四边形，再结合即可得证． （）由（）知四边形 是矩形，得到，由角平分线的性质得到，结合平行线的性质得到，求出长，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ 四边形是平行四边形； ∵，即， ∴ 平行四边形是矩形． （2）解：如图， ∵，， 在 中，， 由（）知四边形 是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． （2）证明是等边三角形，得，过点作于点，求出、，再由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点M、N满足， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型9添加一个条件使得四边形是矩形 一、分两种大前提(必考) 前提1：已知普通四边形，加一个条件变矩形可选添加条件： 1.有三个角是直角 2.四个角都相等 注意：普通四边形不能只加一个直角、不能只加对角线相等，判定不了矩形。前提2:已知已经是平行四边形，再加一个条件变矩形(考得最多)只需二选一，加一个就行： 1.有一个内角是直角 2.对角线相等 二、万能总结(直接背填空选择题) 1.若是平行四边形，加：一个角为90°或对角线相等二选一即可。 2.若是任意四边形，加：三个角是直角(这是唯一稳妥一个条件) 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分， 四边形是平行四边形． 选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意； 选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意． 综上，答案选C． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 4．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 题型10矩形的性质与判定中最值问题 四大常考模型+解题套路 模型1：矩形内动点，求线段最小值 原理：垂线段最短 套路： ①动点在某条直线上运动；②过定点向动点所在直线作垂线；③垂线段长度就是最小值；④用矩形直角、边长直接计算 模型2：将军饮马型(矩形轴对称求最短路径) 特征：矩形边上一动点，求两线段和最小PA+PB 解法： 1.作其中一个点关于矩形边的对称点 2.连接对称点与另一点，线段长就是最小值 3.用勾股定理算长度 口诀：对称翻折，化折为直 模型3：矩形中四边形周长最值 常见：动点构成平行四边形/矩形，求周长最小 套路： 1.利用矩形对边相等，周长转化为两条定线段和 2.再用两点之间线段最短找临界位置 3.代入边长求最小周长 模型4：面积最值（矩形内动点形成三角形/四边形） 两种考法： 1.底固定→高最小时面积最小，高最大时面积最大 2.设未知数，用二次函数表示面积，求顶点最值套路： 设动点线段为x,把面积写成二次函数S=ax²+bx+c 开口向上有最小值，开口向下有最大值。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中，， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值25， 即当时，矩形桌面面积最大． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再由直角三角形斜边上中线的性质得到，由垂线段最短得到当时，取得最小值，也取得最小值，根据的面积求出的最小值，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当时，取得最小值， 此时，即， ∴的最小值为， ∴最小值为． 4．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，得出，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，根据垂线段最短以及等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴当时，由等面积得， ∴， 即线段长度的最小值是． 题型11矩形中判断结论是否正确 一、常见出题形式 给出矩形+动点/折叠/对角线，给出若干个结论(角度、线段相等、垂直、周长、面积、比值),判断哪些对、哪些错。 二、解题总思路 1.先标图：把已知边长、直角、相等角、相等线段全部标图上 2.用矩形基础性质 四个直角、对边平行相等、对角线相等且互相平分 3.遇折叠：用折叠全等，边角对应相等 4.遇动点：特殊位置法(端点、中点)代入验证 5.逐一验证：一个一个结论单独判，对的留，错的排 1．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·上海金山·期中）在矩形中，，点在边上，点在边上，连接、、．，，，； 以下两个结论：（   ） ①    ② A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明②正确，由得到，根据即可证明①正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确， 故①②都正确. 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（    ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得 是等腰三角形，结合推出是的中点，进而证明四边形是矩形；利用三角形中位线定理判断的性质；利用矩形对角线互相平分及三角形面积公式判断面积关系；通过计算线段长度判断三角形全等． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 平分 四边形是平行四边形 平行四边形是矩形，故①正确； 由上可得，在 中，是的中点， 是 中点 是的中位线，故②正确； 四边形是矩形 对角线互相平分，即是中点 ∵矩形中，， ∴ ∴ 是中点 ，故③正确 在 Rt 中，， 由勾股定理得 ，为中点 与 不全等，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等；④点到边的距离的最大值为1；其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】 如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②． 一、选择题 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合各选项中的测量数据进行分析即可． 【详解】解：A．只有两个对角是直角，无法判定四边形是矩形，故本选项错误； B．只有两个邻角是直角，只能说明左右两边平行，该四边形可能是直角梯形，故本选项错误； C．由底边两个角是，对边都等于，得出对边平行且相等， 该四边形是平行四边形． 又有一个角是， 该四边形是矩形，故本选项正确； D．只有左边长、上边长及两个底角，无法确定右边长度，可能是直角梯形，故本选项错误． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由题意可知为的中位线，然后根据矩形的对角线相等且相互平分，求得，进而根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ， ， ，即点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ． 3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 4．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 5．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是 的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线的性质求出，再根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 6．（25-26九年级下·黑龙江鸡西·期中）我们知道“任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示”．如图，在矩形中，在数轴上．李老师以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出，由作图知：，由此即可解决问题． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， 由作图知：， 由图知表示的数为， 又在的右边， ∴点表示的数为. 7．（2026·山西运城·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 8．（25-26九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 二、填空题 9．（江西景德镇市多校2025--2026学年下学期九年级阶段性学业评估数学试卷）矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 【答案】2或或 【分析】根据矩形的性质得到是直角三角形，结合旋转的性质得到对应线段相等，分情况讨论中点的不同位置，利用勾股定理计算求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点， ∴当点的对应点为斜边的中点时，如图，则此时， ∴当点的对应点为直角边的中点时，此时， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 当点的对应点为边的中点时，记此时的对应点为，则，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去） 综上所述，或或． 10．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 11．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为____． 【答案】 【分析】由作图得，垂直平分，得到，然后表示出，由矩形得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴． 12．（2026·江苏苏州·一模）如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 【答案】 【分析】先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积的条件，分情况求出开始播放的时间t，计算时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积． 【详解】解：设点P的运动时间为t（单位：s）， 电子屏总面积：，展开面积达到时，， ， 解得， 播放结束时， ∴， ∴未展开面积为． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，连接对角线，点在边上，，连接，点为的中点，连接，，动点在线段上，连接、，若，给出以下结论：①，②，③的值为，④的最小值为．其中正确的结论是______(请将正确结论的序号填在横线上) 【答案】①③④ 【分析】根据矩形的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可判断①；根据为动点，的长度是变化的，而，即可判断②，延长至，使得，连接，证明，进而勾股定理求得，，即可判断③，过点作于点，作关于的对称点，连接，根据轴对称的性质求线段和的最值转化为求的长，利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴，故①正确， ∵动点在线段上，， ∴不一定成立，故②错误， 如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴ ∴ ∵， 设， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， 在中， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴,故③正确， ∴， ∴ 如图所示，过点作于点，作关于的对称点，连接， ∵ ∴的最小值为的长， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴，即的最小值为，故④正确 三、解答题 14．（25-26八年级下·广东东莞·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长计算即可； （2）分别算出矩形，花坛的面积后得到通道的面积，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴矩形的周长； （2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为， ∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为， ∴通道的面积为， ∵通道上要铺设价为6元的地砖， ∴购买地砖需要花费元． 15．（黑龙江牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025—2026学年第二学期八年级期中考试数学试卷）如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 16．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M、N分别是的中点， (1)证明：； (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据中点的定义得，进而得出，然后说明四边形是平行四边形，则此题可证； （2）先说明，进而得出，再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． 17．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即证四边形是矩形； （2）根据勾股定理求得，根据平分，以及得出得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ，    平分 ， 的面积． 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优01矩形的性质与判定11大重难题型+强化训练 划重点·冲高分 题型一矩形的性质理解 题型七证明四边形是矩形 ②矩形的判定 题型二利用矩形的性质求角度 题型八求矩形在坐标系中的坐标 题型三利用矩形的性质求线段长度 。矩形 ①矩形的性质 题型九矩形中折叠问题 题型四利用矩形的性质求面积 题型十矩形中折叠问题 ③综合 题型五利用矩形的性质证明 题型十一矩形中折叠问题 题型六求矩形在坐标系中的坐标 题型1矩形的性质理解 招 “、 先记定义 有一个角是直角的平行四边形，就是矩形（长方形）。 本质：特殊的平行四边形，所以平行四边形有的性质，矩形全都有，还多了自己专属性质。 二、矩形四大核心性质（分两类） 11.和平行四边形一样的性质 ①对边平行且相等；②对角相等；③邻角互补（加起来180）；④对角线互相平分 2.矩形独有的特殊性质（重点必考） ①四个角都是直角(90)：②对角线相等。 一。一一一。一一一一一一。一一一一一一一m一一”一一。一。一 1.(25-26九年级上·河南开封期末)矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的 性质的是() A.矩形的对角线互相平分 B.矩形的对边相等 C.矩形的对边平行 D.矩形的四个角相等 2.(25-26八年级上·云南昆明·期末)下列说法不正确的是() A.矩形是平行四边形 B.平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.平行四边形具有的性质矩形都具有 3.（24-25八年级下·辽宁大连期末)下列关于矩形叙述正确的是() 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.对角线相等且互相垂直 B.对角线互相垂直的平行四边形 C.对角线相等且互相平分的四边形 D.矩形的对角线平分一组对角 4.(24-25八年级下.福建泉州期末)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为各边的中点，按 图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是() G B A.对角线不相等的平行四边形 B.对角线相等的平行四边形 C.对角线垂直的平行四边形 D.对角线垂直且相等的平行四边形 题型2利用矩形的性质求角度 题型1：已知一个小角，求另一个内角 套路①矩形内角90°，大角拆成两个角；②已知一个，直接：90°-已知角 题型2：已知对角线夹角，求底角（高频必考） 原理：矩形对角线相等且互相平分，所以对角线分成的三角形是等腰三角形。 I套路 ①对角线相交夹角己知→求等腰三角形顶角 ②用(180°-顶角片2求底角 ③再结合90°，求题目要的角度 1.(25-26八年级下.山东德州期中)如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O,DE⊥AC于点E, ∠CDE=40°，则∠AOD的度数是() 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 公中 A.100° B.110° C.120° D.135° 2.(25-26八年级下江苏苏州期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.延长BC至点 E,AD=CE,∠E=30°，则∠AOB的度数是() D A.40° B.60° c.70° D.80° 3.(25-26八年级下.北京期中)如图，点E在矩形ABCD的边CB的延长线上，连接BD,AE,BD=EC, 若∠E=75°则∠DBC的度数是() A D E B A.20° B.30° C.75o D.15 4.(25-26八年级下，北京期中)如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC 于点E若∠A0D=120,则∠BOE的度数为（） O E A.45° B.60° C.75° D.80° ■。■ 题型3利用矩形的性质求线段长度 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、 先记矩形求边长的3个核心依据 1对边相等：矩形对边长度相等 I2.对角线相等且互相平分 对角线：ACBD,交点分对角线成四条线段都相等 3.自带直角：四个角都是90°，可直接用勾股定理 二、通用解题步骤逢题必套) 11标线段：把已知边长、对角线长、中点线段全部标在图上 2.用平分性质 对角线交点把对角线分成两半： 3.构造直角三角形 矩形邻边+一条对角线，构成Rt直接用勾股定理：a+b2=c2 4代入计算，求出未知线段 。一。。。一。一。一。一。一一一。一一一一4一一一一一。一一一一一一”一一一一 1.(25-26八年级下广东东莞期中)如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O,∠AOB=60°， AB=3,则AC长为() A.2V3 B.3 c.6 D.3V3 2.(2026河南周口模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE L BD,AC=4, ∠AOB=60°，则AE的长为() A.V3 B.2 c.5 。 3.(2026陕西宝鸡一模)如图，在矩形ABCD中AB=2V5,AD=6,点E在AD上，连接BE、CE, 若BE=6,则CE的长为() 4/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2V5 B.2V6 C.5 D.6 4.(2026九年级下·江苏苏州专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,EBDF,且EB与 DF之间的距离为3，则AE的长是() B 3 7 5 A.7 B. 2 C.8 D. 题型4利用矩形的性质求面积 解 题大 、万能解题步骤 :1.找矩形的长和宽 2缺边长：用勾股定理/对角线性质/等腰、等边三角形求出未知边长 3.套公式：S=长×宽算面积 二、四类常考题型套路 题型1：已知长、宽，直接求面积直接相乘，最简单。 题型2：已知一条边+对角线长，求面积步骤： 3.长×宽得面积 题型3：已知对角线及对角线夹角，求面积套路： 1对角线互相平分且相等，得小线段相等 2.夹角60°/120°→出现等边三角形，直接得一条边长 3.勾股求另一条边，再算面积 题型4：矩形被线段分割，求部分面积套路： 5/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.利用矩形对边平行相等，证全等、等积 2.整体面积减空白面积=阴影面积 1.(25-26八年级下·湖南常德期中)如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于E、 F,若AB=2,AD=4,那么图中阴影部分的面积为() D E B A.2 B.4 c.6 D.8 2.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF‖BC, 分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD,若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为() D B A.10 B.12 C.16 D.8 3.(2026河南周口.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,P是AD上不与A和D重合的一个 动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE+PF的值为() P D E 60 A.5 B. 13 c 4.(25-26九年级上广东揭阳期末)如图，已知矩形ABCD面积为50cm2,HB=2cm,BG=4cm, AE=2cm,FC=5cm,则阴影部分的面积() H B D A.23cm2 B.22cm2 C.21cm2 D.20cm2 6/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5利用矩形的性质证明 、 先牢记：矩形能用来证明的核心性质 ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是90°直角；③对角线：相等且互相平分：④天然自带：平行 线、直角三角形、等腰三角形 二、矩形证明题3大证明方向 ①证线段相等；②证线段平行垂直：③证角相等、角为90°、三角形特殊形状（等腰/等边/直角） 三、万能解题步骤（所有矩形证明都套这4步） 1.先点明：四边形是矩形写出，四边形ABCD是矩形 2.直接套用矩形性质摆条件 按需选用： .对边平行且相等；四个内角都是90°；对角线相等、互相平分 3.结合已学定理推导 平行线性质、全等三角形、等腰三角形性质、直角三角形性质 4得出要证的结论 1. (2026陕西西安模拟预测)如图，已知矩形ABCD,点E和点F是BC边上的点，AF和DE交于点 G,∠1=∠2.求证：BE=CF. G B 2.(2026江苏无锡.一模)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF⊥AE于F,DF=AB (1)求证：AE=AD: (2)如果AD=5,AF=4,求EF的长. 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下.上海闵行月考)如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE,分别交 AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、EQ,AB=6,BE=10: ED (1)求PE的长： (2)求四边形BPEQ的面积. 4.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，EF⊥CE交AB于点 F,且CE=EF, D B (1)求证：△AEF≌△DCE: (2)若DE=3,矩形ABCD的周长为22，求AE的长. 题型6求矩形在坐标系中的坐标 解 两大常用解题公式 :1.中点公式 两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点： M X1+X2y1+y2 2 2 矩形对角线中点重合，用中点求坐标最常用。 2.平移法（最简单好用） 己知两个顶点，把一边横向、纵向平移，直接出第四个点坐标。 一一一一一一一一·一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 1.(25-26七年级下·天津河西期中)如图，四边形OABC是长方形，点B在第二象限，O是平面直角坐标 8/23 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 系的原点，点C在x轴负半轴上，点A0,6}》若AB=26:则点B的坐标是(） A A.(6,0) B.(-6,0) c.(2V6,V6 D.（-26,6) 2.(2026湖南岳阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为17,8，BA⊥X轴于点A, BC⊥y轴于点C,以O为圆心、OA的长为半径画弧，交BC于点D:再分别以点A,D为圆心、大于 二AD的长为半径画弧，两弧交于点P,连接OP交AB于点E,则点E的坐标为(） A a, A. B.17,25 C. D. 3. (25-26八年级下·北京延庆期中)如图，四边形OACB是矩形，点O,A,B的坐标分别为0,0，a,0, 0,b,则点C的坐标为 A 4.(24-25八年级上内蒙古呼和浩特期末)已知点A、B、C的坐标分别是0,2、2,2、(0，-1，那么以 点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 题型7矩形中折叠问题 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题大 四、三大常考模型套路 模型1：沿对角线折叠 ①必有等腰三角形（平行线+折叠角相等）：②设边长为x,构造Rt△勾股解方程 模型2：向对边顶点折叠（一个点落在对边上） ①折叠后对应边相等：②落点所在直角三角形是关键，直接设x列勾股方程 模型3：折到内部某点、折痕平行垂直 ①先找相等线段；②利用矩形直角凑Rt△，依旧设+勾股 1. (25-26八年级下·甘肃定西期中)如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=5cm,BC=10cm,现将其 沿EF折叠，使得点C与点A重合，则AF的长为() D' D A.3cm B.5cm C.5cm 0. 25 2.(25-26八年级下，广西桂林期中)如图，将矩形ABCD的边AD折叠，使点D落在边BC上的点F处， 折痕为AE.若AB=6,BF=8,则CE的长为() D E F A.4 B.3 3.(25-26八年级下.山东菏泽期中)已知四边形ABCD,其中ADBC,AB⊥BC,将DC沿DE折叠， C落于C,DC交CB于G,且ABGD为平行四边形（如图1）；再将纸片展开，将AD沿DF折叠，使A点 落在DC上一点A(如图2).在两次折叠过程中，两条折痕DE、DF的夹角∠EDF的度数为() 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.40° B.45° c.50° D.不确定 4.(25-26八年级下江苏南通期中)在矩形ABCD中，AB=5,AD=9,将其沿EF折叠，点A,B分别 落到点A与点B处，恰好点C在AB上，且EG=CG:则线段cA的长度为（） A---------- D 11111 B A 72 B.4 C.5 0. 2 题型8证明四边形是矩形 解 题大超 常用拿来当条件的依据 1.平行线+垂直→出直角 2.三角形全等→角相等、边相等 3.对角线互相平分→先得平行四边形 14.同角的余角相等、邻补角180°推直角 1,(25-26八年级下-江苏镇江期中)如图，AD是△ABC的中线，AE|BC,且AE=BC,连按DE, CE 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AB=DE: (2)当△ABC满足条件_时，四边形ADCE是矩形. 2.(25-26八年级下福建南平期中)如图，在口ABCD中，BC=AC,E、F分别是AB、CD的中点， 连接CE、AF. B (1)求证：四边形AECF是矩形： (2)若∠B=60°，AC=6,求四边形AECF的面积. 3.(2026江苏南京.一模)如图，在口ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，BE⊥AD,AE=CF E D (1)求证：四边形EBFD是矩形： (2)连接AF,若AF平分∠BAD,AE=3,AB=5,则AF的长为 4.(25-26八年级下.北京期中)如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM=DN,连接 AM、MC、CN、NA,且OM=5AC D (1)求证：四边形AMCN是矩形： (2)若CD=10,OC=CN=43,求DN的长. 12/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型9添加一个条件使得四边形是矩形 一、 分两种大前提必考) 前提1：己知普通四边形，加一个条件变矩形可选添加条件： !1.有三个角是直角 2.四个角都相等 1注意：普通四边形不能只加一个直角、不能只加对角线相等，判定不了矩形。前提2：已知已经是平行四 边形，再加一个条件变矩形（考得最多）只需二选一，加一个就行： 11.有一个内角是直角 2对角线相等 二、万能总结（值接背填空选择题） :1若是平行四边形，加：一个角为90°或对角线相等二选一即可。 2若是任意四边形，加：三个角是直角（这是唯一稳妥一个条件） 1. (25-26八年级下·河北石家庄期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD是对角线，添加下列选 项中的一个条件，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是() 刀 A.∠ABD=∠ACD B.∠ABC=90° C.AB=BC D.OB=OC 2.(25-26八年级下·上海徐汇·期中)己知四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,且互相平分. 那么下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是() A.∠ABC=90° B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠OBC=∠OCB 3.(25-26八年级下江苏扬州期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD, AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD只需要满足一个条件是() 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A.AD=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AD⊥BC 4.(2025河南周口三模)如图所示，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平 行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C,D,连接AC,AD,要使四边形ACBD为矩形，则可 添加下列条件中的() B A.CD=AB B.CO=OD C.∠ACB=90° D.AC=AD 题型10矩形的性质与判定中最值问题 解 题大招 四大常考模型+解题套路 模型1：矩形内动点，求线段最小值 原理：垂线段最短 套路： 「①动点在某条直线上运动：②过定点向动点所在直线作垂线：③垂线段长度就是最小值；④用矩形直 角、边长直接计算 模型2：将军饮马型（矩形轴对称求最短路径） 特征：矩形边上一动点，求两线段和最小PA+PB 解法： !1.作其中一个点关于矩形边的对称点 2连接对称点与另一点，线段长就是最小值 3用勾股定理算长度 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一。一e。一一。一一。=。一e。一。一。一一”一。一。一e0一。一。一。一。=e一。一e一一。一。一。一 口诀：对称翻折，化折为直 模型3：矩形中四边形周长最值 常见：动点构成平行四边形矩形，求周长最小 套路： !1利用矩形对边相等，周长转化为两条定线段和 2.再用两点之间线段最短找临界位置 3.代入边长求最小周长 模型4：面积最值（矩形内动点形成三角形四边形） !两种考法： :1底固定→高最小时面积最小，高最大时面积最大 2设未知数，用二次函数表示面积，求项点最值套路： 设动点线段为，把面积写成二次函数S=ax2+bx+c 1开口向上有最小值，开口向下有最大值。 1.(25-26八年级下·江苏无锡·期中)一块梯形木板ABCD,AD‖BC,∠BCD=90°，AD=4, BC=10,CD=6,按如图方式设计一个矩形桌面EFCG(点E在边AB上).当桌面面积最大时，EF为 () D G B A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26八年级下·江苏徐州期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,G为DC上一点， DG=1,E为边BC上动点且EF⊥AD,连接BF,GE,则BF+≥的最小值为() F D G B E A.5 B.V32 c.V37 D.V41 3.(25-26八年级下·广东珠海期中)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=8,P为边BC上 15/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一动点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点，则PM的最小值为() A A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 4.(25-26八年级下.上海徐汇期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,P为边BC 上的动点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则线段EF长度的最小值是() A.3.6 B.4.8 C.5 D.6 题型11矩形中判断结论是否正确 招 一、 常见出题形式 给出矩形+动点/折叠对角线，给出若干个结论（角度、线段相等、垂直、周长、面积、比值），判断哪些 〡对、哪些错。 二、解题总思路 1先标图：把已知边长、直角、相等角、相等线段全部标图上 2用矩形基础性质 四个直角、对边平行相等、对角线相等且互相平分 ,3遇折叠：用折叠全等，边角对应相等 4遇动点：特殊位置法（端点、中点）代入验证 5逐一验证：一个一个结论单独判，对的留，错的排 1. (2026河北保定.二模)如图1，MN分别是矩形ABCD的边AD,BC上两点，连接MN,将矩形沿 MN折叠，AB交DM于点P,连接NB并延长交CD于点Q,将矩形沿NQ折叠得到图2，则下列结论中不 正确的是() 16/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.∠DMN=∠MNQ B.∠DPB+∠CNB=90° C.∠MNB=60+号∠MNC D.CQ MD 2.(25-26八年级下.上海金山期中)在矩形ABCD中，AB<BC,点E在边AB上，点F在边BC上，连 接DE、DF、EF.AB=a,BE=CF=b,DE=C,∠BEF=∠DFC: A E 以下两个结论：() 0a*b要c ②a+b2+a-b2=c2 A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 3.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, AB⊥AC,BC=2AB,CE平分∠BCD,延长BA与CF相交于点E,下列结论中正确的为() ①四边形ACDE为矩形：②OA为△BDE的中位线：③S△AoD=S△AE:④△FPD≌△OPC. A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 4.(25-26八年级下.北京期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点M,N分别是边AB,AD 上的动点，点M不与A,B重合，且MN=AB,P是五边形BMNDC内满足PM=PN且∠MPN=90的 点.现给出以下结论：①∠BMP=∠ANP;②点P到边AB,AD的距离一定相等；③点P到边BC,CD 17/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的距离可能相等：④点P到边AB的距离的最大值为1；其中正确的个数有()， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 100 强化训练 一、选择题 1.(25-26八年级下，湖北武汉期中)小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是() A. B. 3 d D ■ 2. (2026江苏连云港模拟预测)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的 中点，点F在对角线AC上，且AF=号A0,连接EF,若AC=8,则EF的长为() 2 E D F A.1 B.2 C.4 D.3 3.(25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔期中)矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片ABCD沿直线 EF折叠，使点C落在AD边的中点C处，点B落在点B处，其中AB=6,BC=4,则FC的长为() 18/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 9 B.4 c.1o D.5 3 4.(25-26八年级下.内蒙古巴彦淖尔期中)学校花圃设计成矩形.如图，在矩形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,过点O的直线交AD,BC于点E,F.若BA=3,BD=5,则图中阴影部分的面积为 () E D B A.5 B.6 C.4 D.3 5.(25-26八年级下，湖北武汉期中)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P,Q分别是 AD,AO的中点，若PQ=3,则BD的长是() P D A.6 B.16 c.12 D.9 6.（25-26九年级下·黑龙江鸡西期中)我们知道“任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示”·如图， 在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上.李老师以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交 数轴的正半轴于点M,则点M表示的数为() M 0 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.9V10-3 c.V10 D.10-1 7.（2026山西运城二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴和X轴的正半 轴上，点D是OA的中点，点E是OC上一点，连接DE,BE,已知DE⊥BE且DE=BE.若点C的坐标为 6,0,则点E的坐标为() A O A.5,0 B.4,0 C. o D. 8.(25-26九年级下.山东泰安期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,M是平面内的一动点， ∠MBC+∠MCB=90°，N是对角线AC的中点，连接MN,则MN的最小值是() D A.1 B.2 c.4-3 D.2 二、填空题 9.(江西景德镇市多校2025-2026学年下学期九年级阶段性学业评估数学试卷)矩形ABCD中，对角线 AC=2V5,将AB绕点A旋转一定的角度后，点B的对应点恰好为△ACD一边的中点，则AB=, 10.(25-26八年级下广东珠海·期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,要使得 口ABCD成为矩形，应添加的一个条件是 (只需写一个条件) 11.(25-26八年级下青海西宁.期中)如图，在矩形ABCD中，BC=AB+5,分别以点A和C为圆心， 20/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线MN,交BC于点E,连接AE。若BE=4, 则AB的长为一 B N 12.(2026江苏苏州.一模)如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB=8m,AD=6m.动态效果设计 如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB,BC以2ms的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面.当屏 幕展开面积达到电子屏面积的亏时开始播放广告语，播放时间持续35，则播放结束时电子屏幕未展开的面 积是 m2. D早早早只早C B 13.(25-26八年级下，黑龙江哈尔滨期中)如图，矩形ABCD中，连接对角线AC,点F在边CD上， CF=1,连接AF,点E为AF的中点，连接DE,DE=VS,动点P在线段BC上，连接PE、PF,若 ∠=∠BAC,给出以下结论：①DE=EF,②AE=EP,③AB的值为3，④PE+PF的最小值为13， 其中正确的结论是 (请将正确结论的序号填在横线上) D E F B 三、解答题 21/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级下，广东东莞期中)某居民小区有块矩形ABCD绿地，矩形绿地的长BC为83m,宽 AB为/98m' 现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为13+1m 宽为13-1m (1)求矩形ABCD的周长.（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元/m的地砖，要铺完整个通道， 则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 15.（黑龙江牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025一2026学年第二学期八年级期中考试数学试卷)如图， 在口ABCD中，点E是线段BC的中点，连接BD,DE,延长DE交AB的延长线于点F,连接CF. E (1)求证：四边形BDCF是平行四边形： (2)若AB=5,DF=13,当AD=时，四边形BDCF是矩形，并说明理由， 16.(25-26八年级下·湖南常德期中)如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，M N分别是OA,OC的中点， B (1)证明：DM‖BN: (2)若∠ONB=∠OBN,证明：∠DNB=90°. 22/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26八年级下湖北黄冈期中)在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上 且DF=BE,连接AF,BF」 D (1)求证：四边形BFDE是矩形： (2)若CF=3,BF=4,AF平分∠DAB,求△ADF的面积. 23/23