专题01矩形的综合问题六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦矩形综合题六类核心题型，以典例带变式构建"性质应用-模型提炼-综合迁移"的方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形的折叠问题|1典例+5变式|轴对称性质+方程思想|从矩形折叠的全等关系到动态落点计算| |矩形大法|1典例+3变式|面积转化+构造辅助线|通过矩形内（外）点作边平行线推导面积关系| |矩形动点轨迹问题|1典例+3变式|轨迹判定+分类讨论|依据动点运动规律确定轨迹类型（直线/线段）| |矩形上动点最值问题|1典例+2变式|对称模型+几何变换|运用将军饮马、垂线段最短等模型求最值| |用解析几何解决矩形问题|1典例+3变式|坐标法+方程求解|建立坐标系将几何问题转化为代数计算| |矩形与一次函数综合问题|1典例+2变式|函数图像+交点分析|结合一次函数性质研究矩形边界交点问题|

专题01 矩形的综合题六类题型 典例详解 类型一、矩形的折叠问题 类型二、矩形大法 类型三、矩形动点轨迹问题 类型四、矩形上动点最值问题 类型五、用解析几何解决矩形问题 类型六、矩形与一次函数综合问题 压轴专练 类型一、矩形的折叠问题 【典例1】（2026·广东广州·二模）第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得，利用勾股定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得：， 即：． 【变式1-1】（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 【变式1-2】（2026·湖北襄阳·一模）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质可得，，推出，，设，用勾股定理解求出，，作于点H，得矩形，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 如图，作于点H，则四边形是矩形， ，， ， ． 【变式1-3】（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 【变式1-4】（2026·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出，进而求出，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，． 由折叠的性质可知，，． 在中，由勾股定理得，． ． 设，则，． 在中，由勾股定理得，， 即． 解得． 的长是． 【变式1-5】（2026·河南新乡·二模）如图，矩形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，若，，当时，的长为______． 【答案】 或 【分析】根据折叠性质可得，，结合可得，从而确定点在的垂直平分线上. 过点作的垂线，利用勾股定理求出点到的距离，进而分点在矩形内部和外部两种情况，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解的长 【详解】解：由折叠的性质得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 过点作于点，直线交直线于点，则，， ，， ， 在中，， 设，则， 分两种情况讨论： ①当点在矩形内部时，如图： 则， 四边形是矩形， ， ， 在中，，即， 解得； ②当点在矩形外部时，如图： ， 同理可得，， 在中，， 即， 解得； 综上所述，的长为或． 类型二、矩形大法 【典例2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【答案】（）；（）成立，见解析；（）最小值为． 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）过点作，过点作，与交于点，连接，证明四边形是矩形，同（）理，，从而可得当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【详解】解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段检测）（1）如图1，点为矩形对角线的中点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________； （2）如图2，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，求的值． （3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件． （1）过点作，根据从而得到，进而得到与的关系，从而求出结果； （2）同（1）的方法进行求解即可； （3）根据平行四边形的性质得出，，可得，再由的关系，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，    依题意，四边形都是矩形； ∵ 又∵ ∴ ∴； （2）如图，过点作，    ∵ 又∵ ∴ ∴； （3）解：点为平行四边形内一点，，， 四边形，四边形都是平行四边形， ，． ∵四边形的面积为，四边形的面积为（其中）， ， ． 【变式2-2】（2024·江西南昌·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 【答案】（1）①；②；（2）成立，见解析；（3） 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． （1）①由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得，，，，于是得到问题的答案； ②由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以②中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）①如图1，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：5，，，． ②，， ， 故答案为：． （2）成立， 理由：如图2，四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）如图3，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）矩形是最基本的几何图形之一，其性质为构建几何知识体系提供支撑，通过研究矩形，同学们能理解角、边、对角线的关系，掌握几何图形的研究方法，培养空间观念和几何逻辑推理能力． 【知识感知】善于动脑的小红发现，如果在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，请在图1和图2中任意选择一个证明． 【性质应用】如图3，在矩形中，为对角线交点，已知，，且，求的长度； 【拓展延伸】如图4，在中，，，是外一点，且，，求的取值范围． 【答案】[知识感知]见详解 [性质应用] [拓展延伸] 【分析】[知识感知]如图1，当点P在矩形内部时，过P作于G，交于N，四边形、四边形是矩形，得，再由勾股定理即可得出结论；如图2，当点P在矩形外部时，同理可得出结论； [性质应用]运用矩形的性质以及勾股定理得，结合点在矩形内，则，因为，代入数值得，解得，（舍去），即可作答． [拓展延伸]充分理解题意，过点A作，过点B作，与交于点E，连接，证明四边形为矩形，结合在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，同理得，代入数值解得，在中，由三角形的三边关系可得：，当C、D、E三点共线时，，或，则的取值范围为，即可作答． 【详解】解：[知识感知] 如图1，当点P在矩形内部时，过P作于G，交于H， ∴ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴； 如图2，当点P在矩形外部时，过P作于G，交于H， 同理证明四边形、四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴； [性质应用] 在矩形中，为对角线交点，已知，， ∴，， ∴设则， ∵点在矩形内， ∴， 连接 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）， ∴； [拓展延伸] 过点A作，过点B作，与交于点E，连接，如图， ∵，， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有 ∴同理得， ∵，， 即， 解得：（负值已舍去）， 在中，由三角形的三边关系可得：， ∴ ∴当C、D、E三点共线时，，此时取最小值为， 即的最小值为． ∴当C、D、E三点共线时，，此时取最大值为， 即的最大值为． ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，运用平方根解方程，熟练运用数形结合以及分类讨论思想是解题的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型三、矩形动点轨迹问题 【典例3】（25-26八年级下·全国·阶段检测）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 【变式3-1】（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）如图，在矩形中，，点P是边上一动点（在边上自由移动），点E是边上一动点，点F是边上一动点，点E从点A出发，以的速度向点D运动，点F从点A出发，以的速度向点B运动，当其中任意一点到达终点时，另一点也停止运动；连接，，，当以点P，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形时，则运动的时长为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的几何应用，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出，根据以点P，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，故进行分类讨论，则当且时，或当且时，或当且时，并且逐个情况作图，运用全等三角形的判定与性质，再列式计算，即可作答． 【详解】解：设运动时间为， ∵点E从点A出发，以的速度向点D运动，点F从点A出发，以的速度向点B运动， ∴． ①如图1，当且时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵， 解得； ②如图2，当且时， 过点作于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 6， 解得； ③如图3，当且时，过点作于点 同理证明， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， 则， 解得． 综上所述，运动的时长为或或 故答案为：或或 【变式3-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质，分两种情况，求解即可； 【详解】解：点运动到点时两点同时停止， 可知， ①如图，点在点右侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， ②如图2，点在点左侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， 所以，经过秒或秒，点、、、组成平行四边形； 故答案为：或 【变式3-3】（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】(1)两动点经过秒时，使得； (2)两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【详解】（1）解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； （2）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H．    则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得，； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 类型四、矩形上动点最值问题 【典例4】（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【答案】C 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，根据垂线段最短得到当时，最短，进而求出的最小值，根据F为中点，得到，进而求出的最小值，取的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，进而得到三点共线，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，进而得到当点在上时， 的值最小为的长，进而求出的最小值，利用的最小值加上的长即为周长的最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，的值最小， 在中，， ∴， 故的最小值为；故A选项错误； ∵为的中点， ∴， ∴的最小值为；故B选项错误； 取的中点，的中点，连接， 则：， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则：，垂直平分， ∴当点在上时， 的值最小为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为；故C选项正确； ∵的周长， ∴的周长最小值为；故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，利用轴对称解决线段和，周长最小问题，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键． 【变式4-1】（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE＋EF＋FM的最小值是_____；若∠EFD＝45°，则DE＋EF＋FM的最小值为____ 【答案】 / 【分析】（1）作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'，则所求的最小值即为D’M'，利用勾股定理求解即可； （2）过点E作EP⊥CD于P，根据∠EFD=45°，可得，从而得到要求DE+FM+FM的最小值，即求DE+FM的最小值，然后过点E作EM'=FM，且， DE+FM=DE+EM'，可得当D，E，M'三点共线时，DE+E M'最小，此时，再过点M'作M'G⊥CD于点G，交AB于点H，可证得△HEM'≌△CFM，从而得到HM'=CM=1，EH=CF，然后设CF=x，则EH=PG=x，可得PD=6-x-2=4-x，从而得到DG=PD+PG=4，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'，则DE+EF+FM=D'E+EF+FM'， ∴当D'，E，F，M'在同一条直线上时，所求的DE+EF+FM最小，最小值即为D'M'的长， 过点M'作AD的垂线，交AD的延长线于点H， 在矩形ABCD中，，AD⊥AB，AD⊥CD， ∴HM'=AB=6，CM'=DH， ∵M为BC的中点，AD=BC=2， ∴MC=CM'=DH=1，AD'=AD=2， ∴HD'=5， ∴； 故答案为： （2）过点E作EP⊥CD于P， ∵∠EFD=45°， ∴EP=PF=BC=2， ∴， ∴， ∴要求DE+FM+FM的最小值，即求DE+FM的最小值． 过点E作EM'=FM，且， DE+FM=DE+EM'， ∴当D，E，M'三点共线时，DE+E M'最小，此时， 过点M'作M'G⊥CD于点G，交AB于点H， ∴∠EDP=∠MFC，∠EH M'=∠C=90°， ∵， ∴∠HE M'=∠EDP=∠MFC，PG=EH，HG=2， ∴△HEM'≌△CFM， ∴HM'=CM=1，EH=CF， ∴M'G=3，CF=EH， 设CF=x，则EH=PG=x， ∵PF=2，CD=6， ∴PD=6-x-2=4-x， ∴DG=PD+PG=4， ∴， ∴DE＋EF＋FM的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称一最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作D点关于的对称点，连接交于E，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 要求的最小值，即求的最小值， 作D点关于的对称点，连接交于E， 则的值最小， ∵，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 类型五、用解析几何解决矩形问题 【典例5】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 【变式5-1】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）矩形位于平面直角坐标系中．如图，若轴，点的坐标，点的坐标为， (1)直接写出点、的坐标； (2)连接对角线、交于点，求的长及点的坐标； (3)如图，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得，在直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，求满足条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)点坐标为或 【分析】（1）根据矩形的性质及点、的坐标，即可得出点、的坐标； （2）根据各点坐标得出，，利用勾股定理可求出，根据矩形的性质得出点为中点，利用中点坐标公式即可求出点坐标； （3）分和两种情况，利用全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标，点的坐标为， ∴，． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵对角线、交于点， ∴点为的中点， ∴，，即． （3）如图，若，则，过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴， ∵， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 点坐标； 如图，若，， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ∴， ∵， ， ∴， 点坐标， 综上所述：点的坐标为或． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图1，平面直角坐标系中有矩形，点坐标为，点坐标为，点在边上，，点在边上，将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处．若实数，满足：． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图2，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当与点重合时运动停止；设点的运动时间为秒，以点、、为顶点的三角形的面积记为，请用含的式子表示；（提示：在答题卡上画出对应简图分析） (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．（提示：结果可以含有根号不化简） 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性得出，根据矩形的性质求出点的坐标，过点作于点，则，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分情况讨论，当在上时，当在上时，当在上时，分别根据三角形的面积公式列出代数式，即可得到答案； （3）同（2）分类讨论，根据等腰三角形的性质，勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ∴，， 四边形是矩形， ， ， 过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， 将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处， ， 在中，， 则， ； （2）解：∵ ，，， ， ，， 当在上时，， ； 当在上时，， ； 当在上时，， ； ； （3）解：， 当在上时，不能构成等腰三角形， 当在上时，， ①当时， ， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当时， ， ， 解得， ， ； ③当， ， ，无解； 当在上时，， ①当时， ， ； ②当，， 解得（舍去）； ③当时，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 综上所述，为等腰三角形时，或或或． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)，，， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点和的坐标可得结论； （2）先得，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． （2）解：∵ 四边形是矩形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况： ①当时，点在边上，四边形是梯形， ， ∴以点为顶点的四边形的面积， ， ， ； ②当时，点在的延长线上， ∴以 点为顶点的四边形的面积， ， ， 综上，点的坐标为或． （4）解：∵， ∴， 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，． 【点睛】该题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 类型六、矩形与一次函数综合问题 【典例6】（21-22八年级下·江苏南通·期末）定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为，其中“分移值”为1． (1)已知点（1，2k）在的“分移函数”的图像上，则k=______； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图像上，求m的值； (3)已知矩形ABCD顶点坐标为A（1，0），B（1，2），C（-2，2），D（-2，0）．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图像与矩形ABCD有两个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）将点P1（2，1-m），P2（-3，2m+1）代入函数y=2x的“分移函数”的解析式，可得关于m和b的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数y=kx的“分移函数”图像与矩形ABCD的性质，通过计算函数图像分别过点B和过点D时k的值，即可确定图像与矩形ABCD有两个交点时k的取值范围． 【详解】（1）将点（1，2k）代入y=kx+2， 得k+2=2k， 解得k=2， 故答案为：2； （2）根据题意，将点P1（2，1-m）代入y=2x+b， 得4+b=1-m①， 将点P2（-3，2m+1）代入y=2x-b， 得-6-b=2m+1②， ①+②得-2=m+2， ∴m=-4， （3）∵函数y=kx的“分移函数”的“分移值”为3， ∴， 当k＞0时，函数图像与矩形ABCD没有交点， 当k＜0时，当函数图像经过点B时，如图所示： 此时函数图像与矩形ABCD有一个交点， 将点B（1，2）代入y=kx+3， 得k+3=2， 解得k=-1， 当函数图像经过点D时，此时函数图像与矩形ABCD有三个交点， 将点D（-2，0）代入y=kx-3， 得-2k-3=0， 解得k=−， ∴当函数图像与矩形ABCD有两个交点时，k的取值范围是−＜k＜−1． 【点睛】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图像和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． 【变式6-1】（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 【答案】(1)正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由见解析 (2)y=x或y=-x+8； (3)4≤m+n≤7 【分析】（1）根据“标准函数”的定义，找出当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．由此即可得出函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”； （2）分k>0和k<0两种情况考虑，根据“标准函数”的定义，即可得出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得出函数解析式； （3）根据“标准函数”的定义，求出一次函数的解析式，根据矩形的性质结合AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），即可得出点D的坐标，分别代入B、D点的坐标，即可得出直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由如下： 当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．即当1≤x≤2022时，有1≤y≤2022， ∴函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”； （2）解：当k>0时，y随x的增大而增大， ∴当x=2时，y=2，当x=6时，y=6， 即，解得：， ∴此时函数的解析式为y=x； 当k<0时，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y=6，当x=6时，y=2， 即，解得：， ∴此时函数的解析式为y=-x+8． 综上所述：若一次函数是在[2，6]范围内的“标准函数”，则该函数的解析式为y=x或y=-x+8； （3）解：∵一次函数是在[m，n]范围的“标准函数”， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=m时，y=n，当x=n时，y=m， ∴，解得：a=-1， ∴h=m+n， ∴一次函数的解析式为y=-x+（m+n）． ∵矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1， ∴AD∥BC，CD=AB=2， ∵点B的坐标为（2，2）， ∴点C（3，2）， ∴D点的坐标为（3，4）， 当点B在该一次函数图象上时，有2=-2+（m+n），解得：m+n=4； 当点D在该一次函数图象上时，有4=-3+（m+n），解得：m+n=7． ∴当直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围为4≤m+n≤7． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、解二元一次方程组、矩形的性质以及一次函数的图象，解题的关键是理解“标准函数”的定义，一次函数的图象和性质，矩形的性质． 【变式6-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）原一次函数中 ，根据“守望一次函数”定义求出， 代入解析式即可；联立原函数与“守望一次函数”求出“守望点”C的坐标； （2）分两种情况讨论，当在上运动，当在上运动，分别用含有的代数式表示 的底与高，进而表示出面积； （3）在（2）条件下，当时，在点处，根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况进行讨论，当时，当时，当时分别求解即可． 【详解】（1）解： 其中 ，其“守望一次函数”为： 代入 得： ∴的 “守望一次函数”为 ； 联立原函数与“守望一次函数”求交点C： 解得 ， 故C点坐标为 ； （2）解：， 令，求得， 令，求得， ∴，， 作， 由勾股定理得，， ∵， 即， ， 的运动速度每秒个单位长度， 当在上运动，即时，， ； 当在上运动，即时，， ； 综上，函数解析式为： ； （3）解：在（2）条件下，当时，在点处，点N在坐标轴上， 根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形， 当时，如图，在原点处， 此时； 当时，如图， 设， ∴， ， ， ， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 当时，如图， 设， ∴， ∵， ， 解得：， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数，矩形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 1.（2017·河南·一模）如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】或 【分析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，交直线于点， ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点在矩形外部（下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 2.（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可推出，根据折叠的性质可得，进而得到，推出，最后根据勾股定理得出，则，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠可得：， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴ ∴． 3.（22-23八年级下·江苏泰州·期中）已知四边形．    (1)如图1，对角线交于点O，M是四边形外的一点，． 求证：①四边形是矩形； ② (2)如图2，若（1）中点M是矩形外任意一点，还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)在（2）中，若，且的长度都为整数，求的长． 【答案】(1)①见解析②见解析； (2)成立，见解析； (3)10． 【分析】（1）①如图，连接，可证四边形是平行四边形，于是，，由直角三角形斜边中线性质，得，，于是，得证四边形是矩形；②由勾股定理，，，于是； （2）解：结论成立．理由如下，过点M作，交于点E，交于点F，可知四边形，均为矩形，于是，，根据勾股定理，，，，，根据等式性质，等量代换可得证结论． （3）由知．转化为方程组，或，或，求解知，根据勾股定理得，于是． 【详解】（1）解：①如图，连接, ∵四边形， ∴四边形是平行四边形． ∴，． 中，，中，， ∴． ∴四边形是矩形．    ②∵中，，中，， ∴． （2）解：结论成立．理由如下， 过点M作，交于点E，交于点F， ∵，， ∴． ∴四边形，均为矩形． ∴，． 中，， 中，， 中，， 中，， ∴， ． ∴．    （3）解：∵， ∴． ∴． ∵的长度都为整数, ∴，或，或， 解得（舍去），或，或（舍去）， 中，． ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4.（22-23九年级上·重庆梁平·期中）材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B． 下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时， (1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点N作的垂线，垂足为H．易求出．又易证，，即说明点N的运动轨迹是过点N与的平行线．再利用尺规作图作出该平行线即可； （2）作点D关于点N的运动轨迹的对称点，连接，则的长即为的最小值，即此时周长最小．根据勾股定理求出的长，从而即可求出周长的最小值． 【详解】（1）如图，过点N作的垂线，垂足为H． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是过点N与的平行线． 尺规作图如下， （2）如图，作点D关于点N的运动轨迹的对称点，连接，则的长即为的最小值，即此时周长最小． 由（1）可知， ∴． 在中，， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，尺规作图—作平行线，轴对称的性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 5.（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 【答案】(1) ， (2)2 (3)24 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识； （1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． （3）根据梯形面积公式解答即可； 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得， ， ∴ ， ∴ ， ， （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． （3）解：， ∴无论为何值，四边形的面积都不变，面积为． 6.（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，作，同理求出的长，线段的和差求出的长，再利用面积公式进行求解即可． （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 作，则：，， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角性质的性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 7.（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是______． （2）四边形周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，   ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，   ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 8.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 (1)直接写出点的坐标为__________； (2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据长方形的性质以及给出点的坐标求解； （2）求出长方形的周长，确定的长，即可求出时间； （3）根据三角形的面积，分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵四边形为长方形，且点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴四边形的周长为， ∵直线将长方形的周长分为两部分， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； （3）解：由得，，由得，， ①当点位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； ②当点位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； 9.（23-24八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，平行四边形和矩形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形对角线互相平分是解题的关键． （1）根据中点坐标公式计算，即可求解； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵点的坐标为，点O的坐标为， ∴点M的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点D的坐标为， 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 若以为对角线，此时 ，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 10.（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数（，为常数，），矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在函数的图象上，则_______； (2)①如图1，若，且函数（，为常数，）图象与矩形交于，，，四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若平分矩形的面积，求该函数的解析式； ③若且时，函数图象与矩形恰好有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①过定点，理由见解析；②函数不存在；③且或 【分析】（1）把代入函数解析式，进而得出结果； （2）当时，，故函数图象经过定点和；先求得矩形的对称中心是，从而得出函数图象过，将其坐标代入，进一步得出结果； ③根据图象观察得出结果． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，数形结合的思想等知识，解决问题的关键是数形结合． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∴函数图象经过定点和． ②， 矩形的对称中心是， 平分矩形的面积， 函数图象过， ， ∵， ， 当时， 函数图象与矩形只有三个公共点， 此时函数不存在； ③如图， 当时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 当函数图象经过点B时，， ， 当时，函数图象与矩形恰好有两个公共点， 综上所述：，且或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 矩形的综合题六类题型 典例详解 类型一、矩形的折叠问题 类型二、矩形大法 类型三、矩形动点轨迹问题 类型四、矩形上动点最值问题 类型五、用解析几何解决矩形问题 类型六、矩形与一次函数综合问题 压轴专练 类型一、矩形的折叠问题 【典例1】（2026·广东广州·二模）第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【变式1-2】（2026·湖北襄阳·一模）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【变式1-3】（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026·四川成都·二模）如图，在矩形中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长是________． 【变式1-5】（2026·河南新乡·二模）如图，矩形中，点为射线上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，若，，当时，的长为______． 类型二、矩形大法 【典例2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段检测）（1）如图1，点为矩形对角线的中点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________； （2）如图2，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，求的值． （3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）．    【变式2-2】（2024·江西南昌·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）矩形是最基本的几何图形之一，其性质为构建几何知识体系提供支撑，通过研究矩形，同学们能理解角、边、对角线的关系，掌握几何图形的研究方法，培养空间观念和几何逻辑推理能力． 【知识感知】善于动脑的小红发现，如果在矩形所在平面内任意取一点，连结，，，，必然会有，请在图1和图2中任意选择一个证明． 【性质应用】如图3，在矩形中，为对角线交点，已知，，且，求的长度； 【拓展延伸】如图4，在中，，，是外一点，且，，求的取值范围． 类型三、矩形动点轨迹问题 【典例3】（25-26八年级下·全国·阶段检测）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【变式3-1】（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）如图，在矩形中，，点P是边上一动点（在边上自由移动），点E是边上一动点，点F是边上一动点，点E从点A出发，以的速度向点D运动，点F从点A出发，以的速度向点B运动，当其中任意一点到达终点时，另一点也停止运动；连接，，，当以点P，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形时，则运动的时长为______． 【变式3-2】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 【变式3-3】（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 类型四、矩形上动点最值问题 【典例4】（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【变式4-1】（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E、F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE＋EF＋FM的最小值是_____；若∠EFD＝45°，则DE＋EF＋FM的最小值为____ 【变式4-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 类型五、用解析几何解决矩形问题 【典例5】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【变式5-1】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）矩形位于平面直角坐标系中．如图，若轴，点的坐标，点的坐标为， (1)直接写出点、的坐标； (2)连接对角线、交于点，求的长及点的坐标； (3)如图，在边上有动点，过点作直线交边于点，并使得，在直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，求满足条件的点坐标． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图1，平面直角坐标系中有矩形，点坐标为，点坐标为，点在边上，，点在边上，将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处．若实数，满足：． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图2，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当与点重合时运动停止；设点的运动时间为秒，以点、、为顶点的三角形的面积记为，请用含的式子表示；（提示：在答题卡上画出对应简图分析） (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．（提示：结果可以含有根号不化简） 【变式5-3】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、矩形与一次函数综合问题 【典例6】（21-22八年级下·江苏南通·期末）定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为，其中“分移值”为1． (1)已知点（1，2k）在的“分移函数”的图像上，则k=______； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图像上，求m的值； (3)已知矩形ABCD顶点坐标为A（1，0），B（1，2），C（-2，2），D（-2，0）．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图像与矩形ABCD有两个交点，直接写出k的取值范围． 【变式6-1】（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 【变式6-2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 1.（2017·河南·一模）如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 2.（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，，则的面积是_____． 3.（22-23八年级下·江苏泰州·期中）已知四边形．    (1)如图1，对角线交于点O，M是四边形外的一点，． 求证：①四边形是矩形； ② (2)如图2，若（1）中点M是矩形外任意一点，还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)在（2）中，若，且的长度都为整数，求的长． 4.（22-23九年级上·重庆梁平·期中）材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B． 下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时， (1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）． (2)求周长的最小值． 5.（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 6.（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 7.（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是______． （2）四边形周长的最小值是______． 8.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 (1)直接写出点的坐标为__________； (2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点的坐标． 9.（23-24八年级下·山东日照·期中）阅读材料： [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为． [运用] (1)如图，矩形的对角线相交于点M，分别在x轴和y轴上，为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为______．    (2)已知，，三点，在平面直角坐标系中存在一点D，与点A、B、C构成平行四边形，求点D的坐标． 10.（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数（，为常数，），矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在函数的图象上，则_______； (2)①如图1，若，且函数（，为常数，）图象与矩形交于，，，四点．请问函数图象是否经过定点？若经过，请求出定点坐标，若不经过，请说明理由； ②在①的条件下，若平分矩形的面积，求该函数的解析式； ③若且时，函数图象与矩形恰好有两个公共点，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $