10.3 实际问题与二元一次方程组（3）（4）—工程、行程问题 同步练习 2025—2026学年人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（3） ——工程问题 姓名： 班级： 1． 例题讲解 例1. 为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 【答案】工程队清理了河道，工程队清理了河道 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组． 先设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，根据题意列出方程组求解，再求，工程队分别清理了的河道长度． 【详解】解：设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道， 则，解得：， ∴工程队清理了（）河道， 工程队清理了（）河道， 答：工程队清理了河道，工程队清理了河道． 例2．某超市的地面需要铺设地砖，经询问得知:若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，两工程队的费用共8000元；若先请甲工程队单独做6天，再请乙工程队单独做，则乙工程队12天可以完成，两工程队的费用共7920元.问： (1)甲、乙两工程队单独工作一天，超市应各付多少元？ (2)单独请哪个工程队，超市所付费用较少？ 【答案】（1）甲工程队单独工作一天，超市应付680元，乙工程队单独工作一天，超市应付320元；（2）单独请乙工程队，超市所付需用较少. 【分析】（1）首先根据题意设出未知数，然后找出题目中的两个等量关系：①甲乙两个工程队同时施工，8天可以完工的施工费用=8000元；②甲工程队单独施工6天的费用+乙工程队单独施工12天的费用=7920元，列出方程组可解得答案； （2）设甲工程队每天完成的工作量为m，乙工程队每天完成的工作量为n，则可得8m+8n=1，6m+12n=1，解之可得甲乙两工程队的工作工作效率，可知那个干得快，进而可得到甲乙两工程队费用． 【详解】（1）设甲工程队单独工作一天，超市应付x元，乙工程队单独工作一天.超市应付y元. 由题意可得，, 解得. 答：甲工程队单独工作一天，超市应付680元，乙工程队单独工作一天，超市应付320元. (2)设工程总量为单位1，甲工程队的工作效率为m.乙工程队的工作效率为n. 由题意可得， 解得，, 所以甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需24天， 所以单独请甲工程队需付(元），单独请乙工程队需付(元）， 所以单独请乙工程队，超市所付需用较少. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组． 二．课堂练习 1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为： 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 2. 某村乡村振兴项目计划把黄桃加工成罐头，刚开始每天加工，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ 【详解】（1）解：设这个项目改进加工方法前、后各用了x天和y天， 由题意可得：，解得：． 答：这个项目改进加工方法前、后各用了2天和6天． 3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部 分河道进行整治现有一段长米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______； 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析 【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①， 故答案为：，； ②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10.3 实际问题与二元一次方程组（4） ——行程问题 姓名： 班级： 1． 例题讲解 例1．一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为和，共走了，且第一天比第二天少走，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？ 【答案】这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系． 根据题意找出等量关系，列方程组，求解即可． 【详解】解：设这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为，则 根据题意可得，， 解得，， 答：这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为． 例2．甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为，平路的速度为，下坡的速度为，那么他从甲地骑到乙地需，从乙地骑到甲地需．甲地到乙地全程是多少千米？ 【答案】甲地到乙地全程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲地到乙地全程是． 例3. 一艘船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．求船在静水中的速度与水流速度分别是多少？若设船在静水中的速度为，水流速度为，根据题意可列出的方程组为： 【详解】解：由题意，可得：； 例4. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 【答案】甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲跑一圈各需要x分钟，乙跑一圈各需要y分钟，根据相遇问题和追击问题的等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲跑一圈各需要x分钟，乙跑一圈各需要y分钟，根据题意得： ， 解得：， 答：甲跑一圈需要3分钟，乙跑一圈需要6分钟． 2． 课堂练习 1．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，第一天比第二天少走．设第一天和第二天行军的平均速度分别是、．根据题意列方程组： 【详解】解：根据题意得： 2．甲、乙两人匀速骑车分别从相距的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发后相遇；若两人同向而行，则甲在出发后追上乙．若设甲的速度为，乙的速度为，则得方程组为______． 【答案】 3．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 【答案】平路为300m，下坡路为400m． 【分析】设平路有，下坡路有，根据相等关系“从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟，从学校到家里走上坡路和平路一共用15分钟”，列出方程组解答即可． 【详解】解：设平路有，下坡路有， 根据题意得：，解得：． 答：小华家到学校的平路为300m，下坡路为400m． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解答，注意来回坡路的变化是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 实际问题与二元一次方程组（3） ——工程问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 例1.为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 例2．某超市的地面需要铺设地砖，经询问得知:若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，两工程队的费用共8000元；若先请甲工程队单独做6天，再请乙工程队单独做，则乙工程队12天可以完成，两工程队的费用共7920元.问： (1)甲、乙两工程队单独工作一天，超市应各付多少元？ (2)单独请哪个工程队，超市所付费用较少？ 二．课堂练习 1．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为： 2. 某村乡村振兴项目计划把黄桃加工成罐头，刚开始每天加工，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？ 3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部 分河道进行整治现有一段长米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______；则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 10.3 实际问题与二元一次方程组（4） ——行程问题 1． 例题讲解 例1．一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为和，共走了，且第一天比第二天少走，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？ 例2．甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为，平路的速度为，下坡的速度为，那么他从甲地骑到乙地需，从乙地骑到甲地需．甲地到乙地全程是多少千米？ 例3. 一艘船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．求船在静水中的速度与水流速度分别是多少？若设船在静水中的速度为，水流速度为，根据题意可列出的方程组为： 例4. 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 2． 课堂练习 1． 一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，第一天比第二天少走．设第一天和第二天行军的平均速度分别是、．根据题意列方程组： 2．甲、乙两人匀速骑车分别从相距的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发后相遇；若两人同向而行，则甲在出发后追上乙．若设甲的速度为，乙的速度为，则得方程组为______． 3．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 学科网（北京）股份有限公司 $