第十九章二次根式章末小结 2025-2026学年数学人教版八年级下册

**基本信息** 初中数学第十九章二次根式章末同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层，覆盖5个核心考点，通过梯度题型构建从概念理解到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次根式有意义条件、基本性质|选择填空为主（如第1-2题），直接考查概念辨析与简单应用，培养抽象能力| |能力提升|性质应用、混合运算、化简求值|解答题为主（如第8-10题），综合考查运算能力与推理意识，衔接课时重点| |拓展探究|规律探究、实际应用|情境题与开放题（如第14题木板截取），体现模型意识与创新意识，适配单元测评需求|

章末小结(第十九章) 考点1　二次根式有意义的条件及其应用 1．(河北唐山路北区期末)要使式子有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥1 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0 2．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数n的值可以是 ．(写出一个即可) 3．已知x，y为实数，且y＝－＋4，求x－y的值． 考点2　二次根式的性质 4．－(m<0)等于( ) A．m B．－m C．±m D．m2 5．已知x为正整数，是整数，可根据＝＝2，得到x的最小值为10.设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为 . 6．(山东菏泽巨野县期末)＝|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：＝ ，＝ ． (2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简－|1－a|＋. 考点3　二次根式的运算 7．甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则其中计算结果为有理数的算式( ) 甲：(－) 乙：(－)(＋) A．只有甲是 B．只有乙是 C．甲和乙都是 D．甲和乙都不是 8．计算： (1)＋－＋； (2)2×3÷； (3)×＋÷－6； (4)(－1)2＋(＋2)(－2). 考点4　与二次根式有关的化简求值 9．若a＝，b＝，则＝( ) A． B．5 C．3 D． 10．(陕西商洛商南县期末)先化简，再求值：x(－x)＋(x＋)(x－)，其中x＝. 11．化简并求值：2a＋，其中a＝1.小马同学的解题步骤如下： 解：原式＝2a＋(a－2)……………第一步 ＝2a＋a－2……………………第二步 ＝3a－2………………………第三步 把a＝1代入，得原式＝3a－2＝1……第四步 小马的计算从第几步开始出错，错误的原因是什么？请给出正确的解答过程． 考点5　与二次根式有关的规律探究 12．(陕西西安长安区期末)小明做数学题时，发现＝；＝2；＝3；＝4；…；按此规律，若＝a(a，b为正整数)，则a＋b＝ ． 13．(湖北黄石月考)经过探索知道1＋＋＝，1＋＋＝，1＋＋＝，…，若已知an＝1＋＋，则＋＋＋…＋－2 025＝ ． 14．如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三块面积分别为4 dm2，8 dm2和18 dm2的正方形木板A，B，C. (1)正方形木板A的边长为 dm，B的边长为 dm，C的边长为 dm； (2)求木板①中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两块面积均为16 dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 　 15．阅读下列材料： 通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即2＜＜3， ∴的整数部分是2，小数部分是－2. (1)的整数部分是 ． (2)已知8＋＝x＋y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求2x＋(y－)2 025的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末小结(第十九章) 考点1　二次根式有意义的条件及其应用 1．(河北唐山路北区期末)要使式子有意义，则x的取值范围是(C) A．x≥1 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0 2．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数n的值可以是5(答案不唯一)．(写出一个即可) 3．已知x，y为实数，且y＝－＋4，求x－y的值． ∵y＝－＋4， ∴x2－8≥0，8－x2≥0， ∴x2＝8，即x＝±2， 当x＝2时，y＝－＋4＝4， ∴x－y＝2－4， 当x＝－2时，y＝－＋4＝4， ∴x－y＝－2－4， 故x－y的值为2－4或－2－4. 考点2　二次根式的性质 4．－(m<0)等于(A) A．m B．－m C．±m D．m2 5．已知x为正整数，是整数，可根据＝＝2，得到x的最小值为10.设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为72. 6．(山东菏泽巨野县期末)＝|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：＝4，＝π－3． (2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简－|1－a|＋. (2)由数轴，可知a＜0＜1＜b，则1－a＞0，1－b＜0， ∴|a|＝－a，|1－a|＝1－a，|1－b|＝－(1－b). 原式＝|a|－|1－a|＋|1－b|＝－a－(1－a)－(1－b)＝－a－1＋a－1＋b＝b－2. 考点3　二次根式的运算 7．甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则其中计算结果为有理数的算式(C) 甲：(－) 乙：(－)(＋) A．只有甲是 B．只有乙是 C．甲和乙都是 D．甲和乙都不是 8．计算： (1)＋－＋； (2)2×3÷； (3)×＋÷－6； (4)(－1)2＋(＋2)(－2). (1)原式＝4＋3－2＋2＝2＋5； (2)原式＝(2×3÷1)＝6； (3)原式＝5＋3－2＝3＋3； (4)原式＝3－2＋1＋3－4＝3－2. 考点4　与二次根式有关的化简求值 9．若a＝，b＝，则＝(C) A． B．5 C．3 D． 10．(陕西商洛商南县期末)先化简，再求值：x(－x)＋(x＋)(x－)，其中x＝. 原式＝x－x2＋x2－5＝x－5， 当x＝时，原式＝×－5＝2－5. 11．化简并求值：2a＋，其中a＝1.小马同学的解题步骤如下： 解：原式＝2a＋(a－2)……………第一步 ＝2a＋a－2……………………第二步 ＝3a－2………………………第三步 把a＝1代入，得原式＝3a－2＝1……第四步 小马的计算从第几步开始出错，错误的原因是什么？请给出正确的解答过程． 第一步出错，错误原因是没有考虑a－2的取值范围． 正解：原式＝2a＋|a－2|＝2a＋(2－a)＝2a＋2－a＝a＋2， 把a＝1代入，得原式＝a＋2＝1＋2＝3. 考点5　与二次根式有关的规律探究 12．(陕西西安长安区期末)小明做数学题时，发现＝；＝2；＝3；＝4；…；按此规律，若＝a(a，b为正整数)，则a＋b＝73． 13．(湖北黄石月考)经过探索知道1＋＋＝，1＋＋＝，1＋＋＝，…，若已知an＝1＋＋，则＋＋＋…＋－2 025＝－． a1＝1＋＋＝， a2＝1＋＋＝， a3＝1＋＋＝， …， an＝1＋＋＝， ∴＝＝1＋， ＝＝1＋， ＝＝1＋， …， ＝＝1＋， 则原式＝2 024＋＋＋＋…＋－2 025 ＝2 024＋1－＋－＋－＋…＋－－2 025＝2 025－－2 025＝－. 14．如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三块面积分别为4 dm2，8 dm2和18 dm2的正方形木板A，B，C. (1)正方形木板A的边长为2 dm，B的边长为2 dm，C的边长为3 dm； (2)求木板①中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两块面积均为16 dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 　 (2)S阴影＝(2＋3)×(2＋2)－4－8－18＝10＋20－30＝(10－10)dm2； (3)不能截出． 理由：乙木工想截出的正方形木板的边长为4 dm， ∵2＋2＞4，5＜8， ∴不能截出． 15．阅读下列材料： 通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即2＜＜3， ∴的整数部分是2，小数部分是－2. (1)的整数部分是1． (2)已知8＋＝x＋y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求2x＋(y－)2 025的值． (2)由题意，结合(1)，可得1＜＜2，∴9＜8＋＜10， ∴8＋的整数部分是9，小数部分为8＋－9＝－1. 又∵8＋＝x＋y，其中x是一个整数，0＜y＜1， ∴x＝9，y＝－1， ∴2x＋(y－)2 025＝2×9＋(－1－)2 025＝18－1＝17. 学科网（北京）股份有限公司 $