第02讲 一次函数的图象和性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦一次函数的图象和性质，系统梳理正比例函数k的符号与图象象限、增减性，递进至一次函数k、b对图象经过象限、增减性的影响，再到平移规律及待定系数法求解析式，构建完整学习支架。 资料通过表格对比k、b符号与图象关系，题型分层设计典例与变式，结合节能环保等实际问题。表格培养抽象能力，题型训练发展推理意识，实际应用强化模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，弥补知识盲点。

第02讲 一次函数的图象和性质 考点1：正比例函数的图象和性质 考点2：一次函数的图象和性质 考点3：一次函数的平移 考点4：求一次函数的解析式 重点： （1）一次函数图象的形状与画法； （2）k、b对图象的影响（增减性、与坐标轴交点、经过的象限） 难点：理解k、b的几何意义，灵活运用图象性质解决综合问题。 知识点1：正比例函数图象和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图象 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而减小 【题型1 正比例函数的图象】 【典例1】正比例函数的图象经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【变式1】正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【变式2】已知正比例函数经过点（和（，则x的值为（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型2 正比例函数的性质】 【典例2】下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【变式1】已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【变式3】节能环保已成为人们的共识。淇淇家计划购买度电，若平均每天用电度，则能使用天。下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍 知识点2：一次函数图象和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大而减小 图象（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例3】函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【变式1】直线一定经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限。 【变式2】已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【变式3】对于正比例函数，它的函数值随的减小而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型4 一次函数图象的性质】 【典例4】对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【变式1】关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数值y随着x的增大而减小 B．点在该函数图象上 C．图象不经过第二象限 D．图象与y轴的交点坐标为 【变式2】关于函数，下列结论正确的是（    ) A．函数必经过点（ B．y随x的值增大而增大 C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限 【变式3】下列关于一次函数的叙述，结论正确的是（    ） A．图象经过点（ B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 【题型5 根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例5】已知点和都在直线上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线（是常数，且）经过点和点，且，则的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【变式2】一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为______。 【题型6 根据k、b值判断一次函数的图象】 【典例6】如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A．B．C． D． 【变式1】一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式2】一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式3】一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是 （   ） A．B．C．D． 【题型7 比较一次函数值的大小】 【典例7】若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【变式2】若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 知识点3：一次函数的平移 1、 一次函数图象在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图象在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型8 一次函数的变换问题】 【典例8】若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得的新一次函数图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型9 求一次函数解析式】 【典例9】已知：一次函数的图象经过点，， （1）求这个一次函数的解析式。 （2）点在这个函数图象上，求． 【变式1】一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出函数图象，并求出两点的坐标。 【变式2】已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． （1）求a的值； （2）求k、b的值 【变式3】已知一次函数的图象经过，两点。 （1）求，的值； （2）若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积。 1.一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 2.函数的图象为（   ） A．B． C． D． 3.一次函数的图象上有两点，则与的大小关系是（    ) A． B． C． D．无法确定 4.已知正比例函数（为常数，）与一次函数的图象是两条平行直线，则等于（   ） A．3 B．2 C． D． 5.已知直线经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 6.直线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“〈”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 8.关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点（ B．y随着x的增大而增大 C．其图象可由的图象向上平移5个单位长度得到 D．图象经过第一、二、四象限 9.若正比例函数的图象经过点，则的值为____________。 10.将函数的图象向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式为_____。 11.已知一次函数的图象经过点（，且y随x的增大而减小，写出一个满足条件的一次函数的表达式为______________。 12.一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________。 13.已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求该一次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一次函数的图象和性质 考点1：正比例函数的图象和性质 考点2：一次函数的图象和性质 考点3：一次函数的平移 考点4：求一次函数的解析式 重点： （1）一次函数图象的形状与画法； （2）k、b对图象的影响（增减性、与坐标轴交点、经过的象限） 难点：理解k、b的几何意义，灵活运用图象性质解决综合问题。 知识点1：正比例函数图象和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图象 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而减小 【题型1 正比例函数的图象】 【典例1】正比例函数的图象经过（　　） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象的象限，解题的关键是掌握k的作用：时过第一、三象限，时过第二、四象限。 【详解】解：函数， 所以图象经过第二、四象限， 故选：D． 【变式1】正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质。熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键。 根据时，正比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限，判断作答即可。 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限。 故选：C． 【变式2】已知正比例函数经过点（和（，则x的值为（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的解析式与待定系数法，解题的关键是利用函数图象上的点求出比例系数． 先将已知点代入正比例函数求出的值，再将另一点代入函数求解． 【详解】解：正比例函数经过点（， 将代入得：，解得， 则函数解析式为， 又函数经过点（， 将代入解析式得：，解得． 故选：D． 【变式3】已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象是解题的关键；当时，在第三象限；当时，在第四象限；由此即可判断。 【详解】解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数的图象在第三、四象限， 故选：D． 【题型2 正比例函数的性质】 【典例2】下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确。 【变式1】已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正比例函数的解析式可判断该函数的增减性，根据增减性和已知条件即可得到答案。 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵均在直线上，且， ∴． 【变式2】已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，结合系数的符号判断各选项正误即可。 【详解】解：∵函数是正比例函数，系数， ∴该函数的图象经过第二，第四象限，且随的增大而减小，因此A，D说法正确，B说法错误； 当时，， ∴函数图象经过原点，原点在该函数图象上，C说法正确； 综上，说法错误的是B． 【变式3】节能环保已成为人们的共识。淇淇家计划购买度电，若平均每天用电度，则能使用天。下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。根据题意，总电量与每天用电量的关系为，即y与x成正比函数。逐一代入选项验证即可。 【详解】解：∵ 每天用电x度，使用天， ∴． A：当时，，正确，不符合题意； B：当时，，正确，不符合题意； C：，y是x的正比例函数，∵，∴y随x的减小而减小，正确，不符合题意； D：， y是x的正比例函数，∵，∴y随x的减小而减小，故原说法错误，符合题意。 故选：D． 知识点2：一次函数图象和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大而减小 图象（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例3】函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中， ∴的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 【变式1】直线一定经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限。 【答案】B 【分析】对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，当时，一次函数经过第一、三象限，当时，一次函数经过第二、四象限，据此求解即可。 【详解】解：∵在中，， ∴直线一定经过的象限是第一、二、四象限。 【变式2】已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（   ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象性质，先根据一次函数的增减性得出，函数图象经过第二、四象限，再根据一次函数与y轴的交点位置，确定该函数经过第一、二、四象限。 【详解】解：∵一次函数，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴, ∴此时一次函数图象经过第二、四象限， 又∵一次函数与y轴的交点为， 即该一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限。 【变式3】对于正比例函数，它的函数值随的减小而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的增减性，分析出k的正负情况，即可得一次函数的图象经过的象限，即可求解。 【详解】解：正比例函数的函数值随的减小而增大， , , 一次函数的图象经过一、二、四象限。 【题型4 一次函数图象的性质】 【典例4】对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先得出它的图象与轴交于点，结合，， 随的增大而增大，它的图象经过第一、三、四象限，且结合当时，则，故，即可作答。 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴令，则，解得， ∴它的图象与轴交于点， 故A选项不正确，不符合题意； ∵一次函数解析式为，其中， ∴随的增大而增大， 故B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴它的图象经过第一、三、四象限， 故D选项正确，符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴， 即， 故C选项不正确，不符合题意； 【变式1】关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数值y随着x的增大而减小 B．点在该函数图象上 C．图象不经过第二象限 D．图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题关键，根据的符号判断增减性，根据和的符号判断图象经过的象限，代入点坐标验证点是否在图象上，求出与轴交点坐标，逐一判断选项即可。 【详解】解：选项A，，随的增大而增大，故A错误。 选项B，当时，， 点（不在该函数图象上，故B错误。 选项C，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确。 选项D，当时，， 图象与轴的交点坐标为（，故D错误。 【变式2】关于函数，下列结论正确的是（    ) A．函数必经过点（ B．y随x的值增大而增大 C．与x轴交于 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，逐一验证各选项即可得到答案。 【详解】解：函数为，其中，， ∵当时，， ∴函数不经过点（，A错误； ∵， ∴随的值增大而减小，B错误； ∵函数与轴相交时，令得，解得， ∴函数与轴交于（，C错误； ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，D正确。 【变式3】下列关于一次函数的叙述，结论正确的是（    ） A．图象经过点（ B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质。根据一次函数的图象与性质逐一判断即可。 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故选项B错误；C正确； ∵当时，， ∴图象不经过，选项A错误； ∵当时，，随的增大而增大， ∴当时，，选项D错误； 故选：C． 【题型5 根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例5】已知点和都在直线上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，根据x和对应y的大小关系，判断一次函数一次项系数的正负，进而求出k的取值范围。 【详解】解：∵已知，且，点都在直线上， ∴随的增大而增大，可得一次项系数大于， 即， 解得． 【变式1】已知直线（是常数，且）经过点和点，且，则的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据函数的图象经过点和点，且，得到随的增大而减小，因此，即可解答。 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和点，且， ∴在一次函数中，随的增大而减小， ， ∴的值可以是． 故选：D． 【变式2】一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小。根据随的增大而减小求出m的取值范围即可求解。 【分析】解：∵随的增大而减小， ∴， ∴， 故选C． 【变式3】一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为______。 【答案】 【分析】根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可。 【详解】解：∵一次函数的值随值的增大而增大， ∴， 解得：， ∴常数的取值范围为． 【题型6 根据k、b值判断一次函数的图象】 【典例6】如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限。根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可。 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第一、三象限，与图象矛盾，不符合题意； B.一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，与图象矛盾，不符合题意； C.一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，与图象矛盾，不符合题意； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，符合题意； 故选：D 【变式1】一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键。 当时，图象过一，三象限，时，图象过二，四象限，当图象与y轴交于正半轴，当图象与y轴交于负半轴，据此可求解。 【详解】解：∵，， ∴图象过二，三，四象限， 故选：C． 【变式2】一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质。根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案。 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B.如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C.如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D.如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式3】一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是 （   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数、正比例的图象与系数的关系。根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案。 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，，故；正比例函数的图象满足这一关系，故此选项不符合题意； B.由一次函数图象可知，，，故，正比例函数的图象不满足这一关系，故此选项符合题意； C.由一次函数图象可知，，，故，正比例函数的图象满足这一关系，故此选项不符合题意； D.由一次函数图象可知，，，故，正比例函数的图象满足这一关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型7 比较一次函数值的大小】 【典例7】若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据解析式得到一次项系数k的值，判断函数增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可得到与的大小关系。 【详解】解： 在一次函数中，， 随的增大而增大， ， ． 【变式1】已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键。本题利用一次函数的性质解题，先根据一次项系数k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到，的大小关系。 【详解】解：直线中，， 随x的增大而减小， ， ． 故选：D． 【变式2】若点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，正确判断一次函数的增减性是解题的关键。 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，再根据图象上点的坐标特征即可求解。 【详解】解：∵， ∴， ∴随的增大而增大， ∵点、，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：A． 【变式3】已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的比例系数k的符号判断函数增减性，再比较横坐标大小即可得到的大小关系。 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ y随x的增大而减小， ∵ 点，，都在直线上，三个点的横坐标满足， ∴ ． 知识点3：一次函数的平移 1、 一次函数图象在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图象在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型8 一次函数的变换问题】 【典例8】若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一次函数图象的平移规律得到平移后的解析式，再将已知点代入即可求出k的值。 【详解】解：∵一次函数向下平移3个单位长度， ∴平移后所得函数的解析式为 ， ∵平移后的图象经过点， ∴将代入得，， 解得． 【变式1】将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可。 【详解】解：∵一次函数上下平移遵循“上加下减”规则，图象向下平移n个单位，在原函数表达式的右侧减去n． ∴将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为． 【变式2】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得的新一次函数图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平移规则得到平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入即可求出的值。 【详解】解：∵一次函数向下平移个单位长度，根据“上加下减常数项”的平移规则，可得新函数的解析式为， ∵新函数图象经过点， ∴将代入新解析式得， 整理得：， 解得：． 【变式3】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及函数图象与y轴交点的求法。先根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再令求出y的值，即可得到交点坐标。 【详解】解：∵一次函数的图象向右平移2个单位长度， ∴平移后的函数解析式为， 对于，令，则， ∴平移后的图象与y轴的交点坐标为， 故选：A． 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型9 求一次函数解析式】 【典例9】已知：一次函数的图象经过点，， （1）求这个一次函数的解析式。 （2）点在这个函数图象上，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可。 （2）根据解析式求解即可。 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； （2）解：点在这个函数图象上， 故， 解得． 【变式1】一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出函数图象，并求出两点的坐标。 【答案】(1) （2）A点坐标为，B点坐标为，图象见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点A和点B的坐标，再画出对应的函数图象即可。 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 由题意得，， ∴, ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 函数图象如下所示： 【变式2】已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． （1）求a的值； （2）求k、b的值 【答案】(1) (2), 【分析】（1）将点代入函数求解即可； （2）利用待定系数法求解即可。 【详解】（1）解：将点代入函数得：， 即； （2）解：由（1）知，， 将点和点代入函数得： 解得． 【变式3】已知一次函数的图象经过，两点。 （1）求，的值； （2）若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积。 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出，然后根据三角形的面积公式求得即可。 【详解】（1）解：把 ，两点坐标代入， 得，， 解得：，； （2）解：由（1）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴ ∴图象与坐标轴围成三角形面积为． 1.一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题可根据一次函数中、的符号，判断函数图象经过的象限。 【详解】解：∵在一次函数中，，， ∴该一次函数图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 2.函数的图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限。 根据一次函数图象与系数的关系判断即可。 【详解】解：∵函数中，， ∴图象在二、三、四象限。 只有D符合。 故选：D． 3.一次函数的图象上有两点，则与的大小关系是（    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的函数值大小比较，根据解析式可得，随的增大而增大，即可求解。 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而增大， ∵点、在一次函数的图象上， ∵， ∴， 故选：B． 4.已知正比例函数（为常数，）与一次函数的图象是两条平行直线，则等于（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据两条直线平行时，值相等，即可得出结果。 【详解】∵ 直线 与 平行， ∴ ; 故选B 5.已知直线经过点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法，将点代入直线解析式，列出方程求解是解题的关键。将点坐标代入直线方程求解即可。 【详解】解：∵点（在直线上， ∴，即， ∴, ． 故选：A． 6.直线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y轴上的点横坐标均为0，将代入直线解析式即可求出对应y值，得到交点坐标。 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0， ∴将代入解析式得， ∴直线与y轴的交点坐标为． 7．若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“〈”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的符号判断函数增减性，再结合x的取值范围比较y的大小即可。 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴随的增大而增大。 当时，代入得 ， 又∵ ， 根据增减性可得 ． 8.关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点（ B．y随着x的增大而增大 C．其图象可由的图象向上平移5个单位长度得到 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】一次函数点与函数图象的关系，增减性，图象平移规律和图象所在象限的判断方法逐一判断各选项即可。 【详解】解：A．当时，，∴图象不过点，A错误，不符合题意； B．，∴随的增大而减小，B错误，不符合题意； C．的图象向上平移个单位长度得到，不是，C错误，不符合题意； D．，，∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意。 9.若正比例函数的图象经过点，则的值为____________。 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值。 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将，代入，得， 解得. 10.将函数的图象向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式为_____。 【答案】 【分析】根据一次函数平移的“上加下减”法则即可求解。 【详解】解：将的图象向上平移个单位后，所得直线的解析式为： ． 11.已知一次函数的图象经过点（，且y随x的增大而减小，写出一个满足条件的一次函数的表达式为______________。 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据y随x的增大而减小得到，再将（代入进行计算即可。 【详解】解：y随x的增大而减小， ， 假设，故， 将（代入，即可得到， ． 12.一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积________。 【答案】/ 【分析】求出的图象与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式进行求解即可。 【详解】解：在中， 当时，， 当时，，可得， ∴一次函数的图象与坐标轴围成三角形是以和为直角边的直角三角形， ∴一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积为． 13.已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求该一次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的值。 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式。一次函数图象上点的坐标特征。 （1）设一次函数的表达式为．把、的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得、的值； （2）把代入函数解析式求得相应的的值。 【详解】（1）设， 将，；，代入，得： , 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）令，则， 解得：， ∴自变量x的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $