第03讲 矩形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦矩形的性质和判定核心知识点，从矩形定义（有一个角是直角的平行四边形）出发，延伸其性质（含平行四边形性质、对角线相等、四个角为直角），再到判定方法（定义、对角线相等的平行四边形、四个角相等的四边形），并关联直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，构建完整知识支架。 该资料通过典例与变式分层设计题型，涵盖角度计算、线段长度、面积求解及折叠问题等，培养学生几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维），综合证明题提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第03讲 矩形的性质和判定 考点1：矩形的定义 考点2：矩形的性质 考点3：矩形的判定 考点4：直角三角形斜边上的中线 重点： （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 （3）斜边的中线等于斜边的一半的运用 难点： （1） 矩形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 （3）想不到 “延长中线构造矩形” 的辅助线，不理解直角三角形→矩形的转化思想 知识点1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【典例2】如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【变式1】在平面直角坐标系中，矩形的位置如图，点A的坐标是，则矩形对角线的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】如图，矩形中，，，，对角线与交于点，则的周长为（    ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D．4 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【典例3】如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【变式2】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【变式3】如图所示，矩形的两条对角线相交于点O，，，将向右平移得到，则向右平移过程中扫过的面积是 ．    【题型4 矩形与折叠问题】 【典例4】如图，在矩形中，，在上存在一点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为 cm． 【变式1】如图，将长方形沿折叠，使点A落在上的点F处，若，则 ． 【变式2】如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是 ． 【变式3】如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为 ． 知识点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 如图：在Rt△ABC中，D为AB中点，CD=. 【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】 【典例5】如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是 ． 【变式1】小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为 ． 【变式2】如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为 ． 【变式3】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 知识点3：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6 添一条件使四边形是矩形】 【典例6】如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形中，，相交于点，下列验证方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 【题型7 矩形的判定】 【典例7】点O是菱形的对角线的交点，，，连接．求证：四边形是矩形． 【变式1】如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，求证：四边形是矩形． 【变式2】如图，中，，是边上的中线，点是中点，延长到，使，连接．求证：四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【题型8 矩形的性质与判定综合】 【典例8】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如果，求平行四边形的面积． 【变式1】如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 【变式2】如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式3】如图，四边形为平行四边形，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，是上一点，且，求的长． 1．如图，在矩形中，若，则的长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 2．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 4．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 5．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 6．如图，在矩形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点F，则为（    ） A． B．1 C． D． 7．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为 ． 8．如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ． 9.如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 10．如图，矩形的两条边、的长分别为3和4，则矩形的对角线 ，点P是边上的一个动点，点P到矩形两条对角线的距离与之和为 ． 11．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 12．如图，在平行四边形中，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． (1)请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． ①；②． (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 矩形的性质和判定 考点1：矩形的定义 考点2：矩形的性质 考点3：矩形的判定 考点4：直角三角形斜边上的中线 重点： （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 （3）斜边的中线等于斜边的一半的运用 难点： （1） 矩形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 （3）想不到 “延长中线构造矩形” 的辅助线，不理解直角三角形→矩形的转化思想 知识点1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质． 由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由三角形外角的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．先求解，证明是等边三角形，进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵，， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∴是等边三角形， ， ． 故选：A． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【典例2】如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定；矩形的对角线相等且互相平分，可得，，所以为等边三角形，得到，最后由矩形的对边相等可得的长. 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴. 故选：B. 【变式1】在平面直角坐标系中，矩形的位置如图，点A的坐标是，则矩形对角线的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键；先计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ， ∵顶点A的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故选：D 【变式2】如图，矩形中，，，，对角线与交于点，则的周长为（    ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键． 根据勾股定理求出，即可得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴ ∴， ∴的周长， 故答案为：16． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由矩形的性质可得，，，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，灵活运用矩形的性质是本题的关键． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【典例3】如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【变式1】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线的性质是解题的关键． 根据，是矩形的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则，根据矩形对角线互相平分的性质证得，进而求得阴影部分的面积等于即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O， ∴、， ， 在和中， ， ， ，是矩形的对角线， ， 阴影部分面积为：． 故选：A． 【变式2】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，三角形面积．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 为了便于表示添加了两条线段和四个点（如图），要比较阴影部分的总面积与空白部分总面积，需要利用三角形的面积公式空白部分总面积＝三角形的面积+三角形的面积，阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积，然后进行比较． 【详解】解：根据题意和三角形的面积公式得： 空白部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 由题意和图可知：， 所以阴影部分的总面积＝空白部分的总面积； 故选：C． 【变式3】如图所示，矩形的两条对角线相交于点O，，，将向右平移得到，则向右平移过程中扫过的面积是 ．    【答案】 【分析】首先根据平移的性质得出，进而可知平移过程扫过的面积是矩形的面积，即可得出答案． 【详解】 向右平移得到， 平移过程扫过的面积是矩形的面积， ， 矩形的面积为 向右平移过程中扫过的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质及平移的性质，解题的关键是知道平移过程扫过的面积是矩形的面积． 【题型4 矩形与折叠问题】 【典例4】如图，在矩形中，，在上存在一点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为 cm． 【答案】13 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 根据折叠的性质得到，在中根据勾股定理建立关系，求出的长． 【详解】解：由于沿直线折叠， ， ， 是矩形， ， 在中，根据勾股定理有， 即， ， 解得． 故答案为：13． 【变式1】如图，将长方形沿折叠，使点A落在上的点F处，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质． 根据轴对称和矩形性质，得，结合，经计算即可得到答案． 【详解】由题意可知和关于直线对称， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得：，则，在中，由勾股定理可得，则，由翻折得出对应对应的线段相等是解题的关键． 【详解】解：由翻折，， 则． 四边形是矩形， ，，． 在中， ， ． 故答案为：2． 知识点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 如图：在Rt△ABC中，D为AB中点，CD=. 【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】 【典例5】如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则点，之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线及勾股定理，先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵公路与互相垂直，的长为，的长为， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴． 故答案为：． 【变式1】小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，根据点在数轴上的位置，得到点为的中点，再根据斜边上的中线，求出的长即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴点为的中点， ∴； 故答案为：4． 【变式2】如图，在等腰中，，是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 知识点3：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6 添一条件使四边形是矩形】 【典例6】如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 【变式1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导． 需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形是矩形． 【详解】解：A、在平行四边形中，，根据平行线性质，是恒成立的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，，根据平行线性质，也是恒成立的，不能判定它是矩形，不符合题意； C、在平行四边形中，，∴．若，则可推出．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形是矩形，符合题意； D、在平行四边形中，本身就有对角相等的性质，即，这不能判定它是矩形，不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形中，，相交于点，下列验证方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，不能判定平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 【答案】不唯一 【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 【题型7 矩形的判定】 【典例7】点O是菱形的对角线的交点，，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质与矩形的判定，解题的关键是先证四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证其为矩形． 由、证四边形是平行四边形；结合菱形对角线互相垂直得，进而证平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即 ∴平行四边形是矩形． 【变式1】如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行四边形性质，证明，结合全等三角形性质推出，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ∴， 点E是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【变式2】如图，中，，是边上的中线，点是中点，延长到，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质证明，进而即可得到答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵点是中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，为中线， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【变式3】如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：是AC中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 【题型8 矩形的性质与判定综合】 【典例8】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如果，求平行四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行四边形的性质以及等边三角形的性质，证明，然后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可证明结论； （2）根据勾股定理解得的长度，然后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， 在中，， ∴ ， ∴， ∴， 答：平行四边形的面积是． 【变式1】如图，在中，对角线，相交于点，． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是矩形，则； （2）根据勾股定理求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到，进而可得的长． 本题重点考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 【变式3】如图，四边形为平行四边形，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，是上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，勾股定理． （1）由于点D，得，即可由四边形为平行四边形，证明四边形是矩形． （2）利用勾股定理可以求出，利用等面积法可知，从而可求的长度． 【详解】（1）证明：于点D， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，，，， ， 于， ， ， ， 解得：． 1．如图，在矩形中，若，则的长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线相等是解此题的关键． 根据矩形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴． 故选：A 2．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项． 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 4．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 5．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 6．如图，在矩形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点F，则为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是由图形翻折得到边和角度不变． 设，则，由矩形的性质可得，再根据图形翻折可得，则可得为等腰三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， 则， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 在中，， 即，即， 解得， 则为． 故选：C ． 7．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查平行线的性质、矩形的翻折和几何中角度的计算；根据矩形对边平行，而两直线平行，内错角相等，可以得到和，又，由翻折性质知，代入的值即可； 熟练掌握“两直线平行，内错角相等”和翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】在矩形中，， ， 由翻折得：， ， 则； 故答案为：． 8．如图，在矩形ABCD中，，．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立与矩形的性质，掌握利用矩形对边平行且相等的性质，结合坐标系的方向确定点的坐标是解题的关键． 先根据坐标系的建立规则，确定上点的坐标；再结合矩形对边平行且相等的性质，利用的边长，推导点的坐标． 【详解】解：以的中点为坐标原点，边所在直线为轴： ∵，为中点， ∴， ∴点坐标为，点坐标为， ∵矩形中，，且平行于轴， ∴点由点向右平移个单位得到，坐标为． 故答案为：． 9.如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 10．如图，矩形的两条边、的长分别为3和4，则矩形的对角线 ，点P是边上的一个动点，点P到矩形两条对角线的距离与之和为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．根据勾股定理可得的长，连接，根据，即可求出点P到矩形两条对角线的距离与之和． 【详解】解：∵矩形的两条边、的长分别为3和4， ∴，，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 即， ∴， 即点P到矩形两条对角线的距离与之和为． 故答案为：5； 11．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形． （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 12．如图，在平行四边形中，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． (1)请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． ①；②． (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)18 【分析】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）选择①：首先证明出（），得到，证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出是矩形； 选择②：首先由三线合一得到，然后证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出是矩形． （2）四边形是直角梯形，根据梯形面积公式即可求解． 【详解】（1）选①： 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， （）， ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 选②： ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是矩形． （2）四边形是矩形， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在Rt中，， ． ， ∴直角梯形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $