第4章 因式分解单元综合知识梳理卷 2025-2026学年 浙教版七年级下册数学

**基本信息** 本卷为初中数学因式分解单元复习卷，90分钟100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面覆盖公因式确定、公式法等核心知识，突出运算能力与推理意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|公因式、完全平方公式|如第3题考查完全平方公式中m的取值，强化符号意识| |填空题|6/18|平方差公式、整体思想|第16题结合平方和表示，体现模型意识| |解答题|7/52|换元法、作差法|22题换元法因式分解，23题整式除法与因式分解结合，培养创新应用能力|

第4章 因式分解 单元综合知识梳理卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．多项式 中，各项的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．因式分解x3﹣2x2+x正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．x （x﹣1）2 C．x（ x2﹣2x+1） D．x （x+1）2 3．多项式x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 4．若多项式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k值是（　　） A．10 B．±10 C．5 D．±5 5．下列各因式分解正确的是（　　） A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+2x-1=（x-1）2 C．4x2-4x+1=（2x-1）2 D．x2-4x=2（x+2）（x-2） 6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　） A． B． C． D． 7．下列变形，属于因式分解的有（　　） ①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 9．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　） A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 10．已知 ，则有（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：　 　． 12．多项式 恰好是另一个多项式的平方，则 　 　. 13．分解因式3a2-3b2=　 　． 14．分解因式： =　 　． 15．已知关于x的代数式 是完全平方式，则 　 　 16．设a，b，c，d都是自然数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可以表示成两个自然数的平方和：mn＝　 　（用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022，请你写出值为10413的另外一种两个自然数的平方和的形式：10413＝　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （1）计算：； （2）化简：； （3）分解因式：． 18．分解因式 （1）a3b﹣9ab （2）4ab2﹣4ab+a 19．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差，变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 图1 图2 图3 （1）已知，，比较M和N的大小关系，并说明理由； （2）图1是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为；直接写出和的值， ▲ ； ▲ ；试比较与的大小关系，并说明理由． 20．已知：a+b=﹣1，ab=﹣6，求下列各式的值： （1）a2b+ab2 （2）a2+b2． 21．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： （1）把看成一个整体，则将合并的结果为_____ （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程 解：设x2﹣4x=y， 原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y2+8y+16　（第二步） =（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 23．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： （1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的； （2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； （3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．多项式 中，各项的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得： 系数的公因式为4，字母a的公因式为 ，字母b的公因式为b， 字母c无公因式， 所以各项的公因式是 . 故答案为：C. 【分析】公因式的确定方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此解答. 2．因式分解x3﹣2x2+x正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．x （x﹣1）2 C．x（ x2﹣2x+1） D．x （x+1）2 【答案】B 【解析】【解答】解：原式=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2， 故选B 【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可． 3．多项式x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 【答案】D 【解析】【解答】解：∵x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解， ∴m=±6， 故选D 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 4．若多项式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k值是（　　） A．10 B．±10 C．5 D．±5 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 多项式x2＋kx＋25是一个完全平方式， ∴k=±2×5=±10. 故答案为：B。 【分析】根据完全平方式的定义，即可得出K的值。 5．下列各因式分解正确的是（　　） A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+2x-1=（x-1）2 C．4x2-4x+1=（2x-1）2 D．x2-4x=2（x+2）（x-2） 【答案】C 【解析】【解答】解：A、-x2+4x=-x(x-4)，故不符合题意； B、x2+2x-1不能分解，故不符合题意； C、4x2-4x+1=(2x-1)2，故符合题意； D、x2-4x=x(x-4)，故不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解. 6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、a2-1=(a+1)(a-1)，故不符合题意； B、=a(a+1)， 故不符合题意； C、=(a-1)2， 故符合题意； D、= (a+1)2，故不符合题意. 故答案为：C. 【分析】将各项中多项式进行因式分解，再判断即可. 7．下列变形，属于因式分解的有（　　） ①x2﹣16=（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】【解答】解：①x2﹣16=（x+4）（x﹣4），是因式分解； ②x2+3x﹣16=x（x+3）﹣16，不是因式分解； ③（x+4）（x﹣4）=x2﹣16，是整式乘法； ④，不是因式分解． 故选：A． 【分析】直接利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而得出答案． 8．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、2ax2-4ax=2ax（x-2），故A不符合题意； B、-ax2+4ax-4a=-a（x2-4x+4）=-a（x-2）2，故B符合题意； C、x2+2xy+4y2不能分解因式，故C不符合题意； D、-m2+n2=（n-m）（n+m），故D不符合题意； 故答案为：B 【分析】分解因式的步骤：先看已知多项式（三项）是否有公因式，若有公因式，先提取公因式，再看能否用公式法或继续分解因式；若已知多项式有两项，若有公因式，先提取公因式，再考虑能否用平方差公式分解因式，必须分解到不能再分解为止；然后对各选项逐一判断，可得答案. 9．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　） A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【解析】【解答】解：①、已无法进一步分解，排除；②、可用公式法分解成(2x-y)(2x+y)；③、已无法进一步分解，排除；④、可用公式法分解成；⑤、可用公式法分解成(mn-2)(mn-2). 故答案为：C. 【分析】①跟③极具迷惑性，前者乍一看以为能用平方差公式法分解，后者会以为能用完全平方公式法分解，实际上形式有出入，因此要求我们用公式法的时候一定是基于对公式的“模型”非常熟悉. 10．已知 ，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴b= ， ∴b= ， ∴b2= ， ∴b2≥2+2ac=4ac， 故答案为：B. 【分析】把已知式变形，使b用含a和c的代数式表示，然后两边同时平方再化简，运用a2+c2≥2ac即可得到b2≥4ac. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：12x2-12xy+3y2=3（4x2-4xy+y2）=3（2x-y）2， 故答案为：3（2x-y）2. 【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式分解因式． 12．多项式 恰好是另一个多项式的平方，则 　 　. 【答案】±10 【解析】【解答】解：∵多项式 恰好是另一个多项式的平方， ∴m=±2×1×5=±10. 故答案为：±10. 【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”可求解. 13．分解因式3a2-3b2=　 　． 【答案】3(a+b)(a-b) 【解析】【解答】解：原式 【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。 14．分解因式： =　 　． 【答案】 【解析】【解答】 ． 故填： . 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式 后继续应用完全平方公式分解即可： 15．已知关于x的代数式 是完全平方式，则 　 　 【答案】5或-7 【解析】【解答】解： = ∴-（a+1）x=2×（±3）x 解得a=5或a=-7 【分析】根据完全平方公式的特点，可以发现9的平方根是±3，进而确定a的值. 16．设a，b，c，d都是自然数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可以表示成两个自然数的平方和：mn＝　 　（用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022，请你写出值为10413的另外一种两个自然数的平方和的形式：10413＝　 　． 【答案】或； 【解析】【解答】解：（1）、 同理： 故答案为：或 （2）解：当、、、时，、； ，即： 即： 故答案为：. 【分析】（1）先利用多项式的乘法公式把mn之积展开，再使用添项法构造完全平方公式即可，但要注意的是结果有两个； （2）因为在添项构造完全平方公式时，结果有两种可能，所以对照公式进行计算即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． （1）计算：； （2）化简：； （3）分解因式：． 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、有理数的乘方法则、0次幂以及负整数指数幂的运算性质可得原式=3-1×1-4，然后计算乘法，再计算减法即可； （2）根据积的乘方、幂的乘方法则可得原式=4x2·(5x2y)÷x，然后利用单项式与单项式的乘除法法则进行计算； （3）直接提取公因式3x即可. 18．分解因式 （1）a3b﹣9ab （2）4ab2﹣4ab+a 【答案】（1）解：a3b﹣9ab＝ab（a2﹣9）＝ab（a﹣3）（a+3） （2）解：4ab2﹣4ab+a＝a（4b2﹣4b+1）＝a（2b﹣1）2 【解析】【分析】（1）直接提取公因式ab，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 19．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差，变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 图1 图2 图3 （1）已知，，比较M和N的大小关系，并说明理由； （2）图1是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图3所示的大正方形，此正方形的面积为；直接写出和的值， ▲ ； ▲ ；试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）解：比较M，N利用作差法： （2）解：；； 【解析】【解答】解：（1） = = ∵ ∴ ∴> ∴ （2）∵ ∴ ∴ 故答案为：；； 【分析】（1）根据作差法，结合完全平方式的性质即可求出答案. （2）根据矩形面积公式求出和的值，再根据作差法即可求出答案. 20．已知：a+b=﹣1，ab=﹣6，求下列各式的值： （1）a2b+ab2 （2）a2+b2． 【答案】解：（1）∵a+b=﹣1，ab=﹣6， ∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣6×（﹣1）=6； （2）∵a+b=﹣1，ab=﹣6， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣1）2﹣2×（﹣6）=1+12=13． 【解析】【分析】（1）直接提取公因式，进而将已知代入求出即可； （2）将原式利用完全平方公式变形进而代入已知求出即可． 21．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： （1）把看成一个整体，则将合并的结果为_____ （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 【答案】（1） （2）解：∵，∴； （3）解：∵，∴ ． 【解析】【解答】解：（1）由 ； 【分析】（1）根据题意，把看作一个整体，结合合并同类项，进行计算，即可求解； （2）化简得到，利用整体代入法，进行计算，即可求解； （3）根据题意，把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法，进行计算，即可求解． （1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 22．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程 解：设x2﹣4x=y， 原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y2+8y+16　（第二步） =（y+4）2（第三步） = （x2﹣4x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）C （2）否； （3）解：设， 则原式 ． 【解析】【解答】解：（1）写出是两个数和的完全平方公式， 故选：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底，． 故答案为：否， 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）式子可写成：，再根据完全平方公式的特点可选出选项； （2）根据完全平方公式的特点可知：，据此可知分解不彻底，再利用积的乘方可分解出因式； （3）先设，进行换元后括号展开，再利用完全平方公式可得，再换回原来的式子，再次利用完全平方公式可分解出因式． 23．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： （1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的； （2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； （3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】（1）小磊 （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： （3）解：根据题意得： ∴ ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， n=m+4=4． ∴m=0， n=4 【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； 【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。 （2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $