精品解析：湖北十堰市东风高级中学2025-2026学年高一年级下学期三月月考数学卷

东风高中2025级高一年级下学期三月月考 数学试题 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得答案. 【详解】因为， 所以， 故选：A 3. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 4. 设向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行得到与的关系，进一步利用二倍角公式可得结果. 【详解】因为向量，， ， 所以存在使得， 所以，所以， 所以， 故选：C 5. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】， ， ， 所以. 6. 已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得. 【详解】记， 因为， 所以. 故选：D 7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】中设，，， 因为，， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以， 又，所以， 在中，，，， 根据，所以，， ， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 为线段上的一点， 则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 所以的最小值为. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. 非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C. 若，与共线，且，则 D. 若非零向量，，满足，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项，对变形：   即，整理得， 与共线且有公共点， 因此三点共线，A正确， 对于B选项，当非零向量，反向共线时，夹角为， 此时，但不是钝角，B错误， 对于C选项，，， 与共线且的向量有两个： 和，并非只有，C错误， 对于D选项，设， 由得，两边平方：   展开得， 代入，得：   即，D正确. 11. 如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设的内角所对的边分别为，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】先对化简，然后利用余弦定理可求出角 【详解】解：由，得，即， 由余弦定理得， 因为，所以 故答案为： 【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题 13. 向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由． ． ． 设夹角为，则． 14. 如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，点为边（含端点）上一个动点，则的最小值为___． 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理算出，进而得到是边长等于的等边三角形，然后以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，推导出用表示点的坐标的式子，从而得出关于的二次函数表达式，结合二次函数的性质得出答案. 【详解】以为坐标原点，AD、EB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，连接， 因为， 所以，可得， 所以，可得，， 结合，所以 因为中，，所以是边长等于的等边三角形， 由， 可得，所以， 设，即 可得，所以， 即， 由此可得， 所以， 由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为. 四､解答题（本大题共5小题，共77分解答题应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知向量满足，且的夹角为60°. （1）求； （2）若，求实数λ的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的运算律及定义求数量积； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求参数值. 【小问1详解】 由； 【小问2详解】 由，则， 所以，可得. 16. 已知向量 ，，且的最小正周期为 （1）求的值； （2）若，解方程； （3）在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件并结合三角恒等变换求出的表达式，再根据的最小正周期为即可求出． （2）根据求出的范围，结合已知条件即可确定的值． （3）求出向量，及，根据是锐角，得到且向量，不共线，进而得到关于的不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，，所以，解得． 【小问2详解】 由得，，即， 所以，或，， 所以，或，， 又，所以. 【小问3详解】 因为，，所以， 因为为锐角，所以，解得. 若向量，共线，则，即，解得. 所以向量，不共线时，. 综上，m的取值范围为. 17. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得； （2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得； （3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得. 【小问1详解】 若，，则， 则 故的坐标为. 【小问2详解】 若，，且， 则，， 由已知得，. 所以 ，解得. 【小问3详解】 若，， 则， ， 所以， 又， 向量，的夹角的余弦值为. 18. 如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． （1）试用，表示； （2）若，，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【小问1详解】 因为，所以，即， 设，所以， 又、、三点共线，所以，解得，所以. 【小问2详解】 因为， 设， 又、、三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求函数的相伴向量； （2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和差公式化简的解析式，进而根据定义找到的相应系数即可； （2）根据题意可得，分离参数后，构造函数，作出分段函数的图象，数形结合法可知，函数的图象与直线有四个交点时实数k的取值范围； （3）根据辅助角公式可得的解析式，根据最大值可得的表达式，根据倍角公式可用表示，令，根据已知不等式可得到m的范围，换元法可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以函数的相伴向量 【小问2详解】 的“相伴函数”为， 方程，即，， 该方程有四个实数解， 所以，有四个实数解， 令，， ①当时，； ②当时，， 即 作出的图象，如图： 由图知，当函数的图象与直线有四个交点时，实数k的取值范围为. 【小问3详解】 向量的“相伴函数”， 其中，，， 当，即时，取得最大值， 所以， 所以. 由知，且，. 令，则，即，解得， 所以()， 因为在上单调递增，所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东风高中2025级高一年级下学期三月月考 数学试题 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 6. 已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B. 非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C. 若，与共线，且，则 D. 若非零向量，，满足，，则 11. 如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设的内角所对的边分别为，若，则____． 13. 向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 14. 如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，点为边（含端点）上一个动点，则的最小值为___． 四､解答题（本大题共5小题，共77分解答题应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知向量满足，且的夹角为60°. （1）求； （2）若，求实数λ的值. 16. 已知向量 ，，且的最小正周期为 （1）求的值； （2）若，解方程； （3）在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 17. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，，求的坐标； （2）若，，且，求实数的值； （3）若，，求向量的夹角的余弦值. 18. 如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． （1）试用，表示； （2）若，，，求． 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求函数的相伴向量； （2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $