9.3 公式法（3） 公式法的综合运用 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第九章 因式分解 9.3 公式法 第3课时 因式分解方法的综合运用 学 习 目 标 1 2 能综合运用提公因式法和公式法分解因式，能根据多项式的特点选择较合理的分解因式方法． 利用因式分解的方法解决数学问题． 课堂引入 1.什么叫多项式的因式分解？ 2.因式分解有哪些方法？ 知识回顾 因式分解有哪些方法？ 提公因式法： ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d) 定系数(先定符号)→定字母→定次数 公式法： a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2＝(a±b)2 变形→分解→化简 公式中的字母可以是具体的数，也可以是任意的单项式或多项式． 例题讲解 讲解例6(书本第113页例6)：把下列各式分解因式： ①18a2﹣50;         ②2x2y﹣8xy+8y;          ③a2(x﹣y)﹣b2(x﹣y). ● 例6 解 ①原式=2(9a2﹣25)=2(3a+5)(3a﹣5)；   ②原式=2y(x2﹣4x+4)=2y(x﹣2)2； ③原式=(x﹣y)(a2﹣b2)=(x﹣y)(a+b)(a﹣b) 尝试练习 ①原式=2(x2+2x+1)=2(x+1)2； ②原式=﹣(2xy+x2+y2)=﹣(x+y)2；   ③原式=2a(x2﹣y4)=2a(x+y2)(x﹣y2) (书本第114页练习1)：把下列各式分解因式： ①2x2+4x+2；     ②﹣2xy﹣x2﹣y2；          ③2ax2﹣2ay4； 问题　观察下列式子，将它们因式分解时应该先干什么？ (1)2a2－18；(2)a3b－ab；(3)4x3y－8x2y2＋4xy3； (4)－3x3＋6x2y－3xy2；(5)a2(x－y)－4(x－y)；(6)x2(m－2)＋y2(2－m). 提示　先提公因式. 知识梳理 当多项式有公因式时，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式. 典例分析 (1) a4－16； 例7 把下列各式分解因式： 解：(1)原式＝(a2)2－(42)2 ＝(a2＋4) (a2－4) ＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)； —平方差公式 —检查分解是否彻底 —平方差公式 —写成平方差公式形式 典例分析 (2) 81x4－72x2y2＋16y4． 例7 把下列各式分解因式： 解：(2)原式＝(9x2)2－2∙9x2 ∙4y2＋(4y2)2 ＝(9x2－4y2)2 ＝[(3x＋2y)(3x－2y)]2 ＝(3x＋2y)2(3x－2y)2． —写成完全平方公式形式 —完全平方公式 —平方差公式 —积的乘方 —检查分解是否彻底 (书本第114页练习2)：把下列各式分解因式： ①x4﹣81； ②(x2﹣2y)2﹣(1﹣2y)2； ③x4﹣2x2+1； 尝试练习 解：①原式=(x2+9)(x2﹣9) =(x2+9)(x+3)(x﹣3)； ②原式=(x2﹣2y+1﹣2y)(x2﹣2y﹣1+2y) =(x2﹣4y+1)(x2﹣1) =(x2﹣4y+1)(x+1)(x﹣1)； ③原式=(x2﹣1)2 =[(x+1)(x﹣1)]2 =(x+1)2(x﹣1)2 (书本第114页练习2)：把下列各式分解因式： ④x4﹣8x2y2+16y4； ⑤(t2+4t+4)﹣9u2； ⑥25u2﹣(9v2﹣6v+1). 尝试练习 解：④原式=(x2﹣4y2)2 =[(x+2y)(x﹣2y)]2 =(x+2y)2(x﹣2y)2 ⑤原式=(t+2)2﹣(3u)2 =(t+2+3u)(t+2﹣3u) ⑥原式=(5u)2﹣(3v﹣1)2 =(5u+3v﹣1)(5u﹣3v+1) 归纳总结 因式分解的一般步骤： (1)首先看被分解的多项式有没有公因式，若有，则先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，可尝试运用公式法来分解(多项式如果只有两项，则应该尝试运用平方差公式，多项式如果只有三项，则应该尝试运用完全平方公式). (3)因式分解应分解到每个多项式都不能分解为止. 补讲例题 . (1)把下列各式分解因式： ① 27a2﹣75； ②6a(a﹣b)3﹣12(b﹣a)3； ③16x4﹣72x2y2+81y4； ④(x2﹣2x)2+2(x2﹣2x)+1 ● 例4 解 ①原式=3(9a2﹣25) =3(3a+5)(3a﹣5)； ②原式=6a(a﹣b)3+12(a﹣b)3 =6(a﹣b)3(a+2)； ③原式=(4x2﹣9y2)2 =[(2x+3y)(2x﹣3y)]2 =(2x+3y)2(2x﹣3y)2 ④原式=(x2﹣2x+1)2 =[(x﹣1)2]2 =(x﹣1)4 尝试练习 把下列各式分解因式(书本第115页习题第3题)： ① ﹣a+2a2﹣a3; ②3ax2﹣3ay2; ③16a2b﹣16a3﹣4ab2; ④x2(y2﹣1)+(1﹣y2). 解：①原式=﹣a(1﹣2a+a2)=﹣a(1﹣a)2；      ②原式=3a(x2﹣y2)=3a(x+y)(x﹣y)； ③原式=﹣4a(﹣4ab+4a2+b2)=﹣4a(2a﹣b)2； ④原式=x2(y2﹣1)﹣(y2﹣1) =(y2﹣1)(x2﹣1) =(y+1)(y﹣1)(x+1)(x﹣1) 例2　把下列各式分解因式： (1)x4－81； (2)－4a2； (3)81x4－72x2y2＋16y4. 解　(1)x4－81＝(x2＋9)(x2－9)＝(x2＋9)(x＋3)(x－3). (2)－4a2 ＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a) ＝(a＋1)2(a－1)2. (3)81x4－72x2y2＋16y4 ＝－2×9x2×4y2＋ ＝ ＝[(3x＋2y)(3x－2y)]2 ＝(3x＋2y)2(3x－2y)2. 探索研究 x2+8x﹣9=(x+4)2﹣52成立吗？你能将x2+8x﹣9分解因式吗？ 解：x2+8x﹣9 =x2+8x+16﹣25 =(x+4)2﹣25 =(x+4+5)(x+4﹣5) =(x+9)(x﹣1) 新知巩固 1．把下列各式分解因式： (1) 2x2＋4x＋2； (2) －2xy－x2－y2； (3) 2ax2－2ay4； (4) (a＋b)－ a2(a＋b)； (5) 3ax2＋6axy＋3ay2； (6) 12x2－60xy＋75y2． 解：原式＝2(x＋1)2； 原式＝－(x＋y)2； 原式＝2a(x＋y2)(x－y2)； 原式＝(a＋b)(1－a)(1＋a)； 原式＝3a(x＋y)2； 原式＝3(2x－5y)2． 新知巩固 1．把下列各式分解因式： (1) x4－81； (2) (x2－2y)2－(1－2y)2； (3) x4－2x＋1； (4) x4－8x2y2＋16y4； (5) (t2＋4t＋4)－9u2； (6) 25u2－(9v2－6v＋1)． 解：原式＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)； 原式＝(x2－4y＋1)(x＋1)(x－1)； 原式＝(x＋1)2(x－1)2； 原式＝(x＋2y)2(x－2y)2； 原式＝(t＋2＋3u)(t＋2－3u)； 原式＝(5u＋3v－1)(5u－3v＋1)． 尝试练习 (书本第115页习题第6题)：证明：无论x取何值，代数式x2+2x+5的 值不小于4. 证明：∵x2+2x+5=x2+2x+1+4 =(x+1)2+4； 而(x+1)2≥0， ∴(x+1)2+4≥4， 即：x2+2x+5≥4 (6)运用分解因式4x2﹣4x+1的结果，对4x2﹣4x﹣15进行因式分解. 解：4x2﹣4x﹣15 =4x2﹣4x+1﹣16 =(2x﹣1)2﹣16 =(2x﹣1+4)(2x﹣1﹣4) =(2x+3)(2x﹣5) 尝试练习 课堂小结 多项式分解因式的一般方法与步骤： ①通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式. ②进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止. 感谢聆听！ $