9.3公式法 第2课时 运用完全平方公式因式分解 课件--2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第九章 因式分解 9.3 公式法 苏科版初中数学八年级下册 第2课时 运用完全平方公式因式分解 1.7.2013 ‹#› 01 学习任务 概念理解：理解完全平方式的结构特征，掌握用完全平方公式分解因式的核心定义。 方法掌握：能熟练运用完全平方公式进行因式分解，掌握“先提公因式，再用公式”的综合分解方法与步骤。 能力提升：能运用完全平方公式解决代数式求值、几何应用、代数说理等综合问题，体会整体思想与转化思想。 1.7.2013 ‹#› 02 核心素养 数学抽象与逻辑推理 在探究完全平方式的结构特征、推导因式分解形式的过程中，培养代数抽象能力与严谨的逻辑推理素养。 数学运算 在运用完全平方公式进行因式分解、处理综合变形、解决代数式求值问题的过程中，规范运算步骤，提升运算的准确性与熟练度。 模型观念与整体思想 建立公式应用的数学模型，发展数形结合思想与知识应用能力。 “ 通过本节课的学习，我们不仅要掌握知识，更要提升数学核心素养。” 1.7.2013 ‹#› 课前自主·知识预习奠基 夯实基础 · 温故知新 · 开启新知探索 1.7.2013 ‹#› 复习回顾 已学因式分解方法 提公因式法：先确定公因式，提取公因式实现和差化积 平方差公式法：a2−b2=(a+b)(a−b)，适用于两项异号的平方型多项式 整式乘法中的完全平方公式 我们在整式乘法中学习过完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 1.7.2013 ‹#› 新知导入 公式逆用 整式乘法（积化和差）： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 因式分解（和差化积）： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 核心定义：我们把a2+2ab+b2和a2−2ab+b2这样的多项式称为完全平方式，逆向使用完全平方公式进行因式分解的方法，是公式法的重要组成部分 1.7.2013 ‹#› 知识点1 完全平方式的结构特征 能运用完全平方公式分解因式的多项式，必须满足以下三大特征： 1、多项式有且只有三项； 2、其中有两项能写成某个整式（数、单项式、多项式）的平方形式，且这两项的符号相同（同为正或同为负）； 3、第三项必须是这两个平方项底数的乘积的2倍（或-2倍）。 举个例子 x2+10x+25：三项，x2和52是平方项，10x=2·x·5是乘积项，符合完全平方式； 4a2−36ab+81b2：三项，(2a)2和(9b)2是平方项，−36ab=−2·2a·9b是乘积项，符合完全平方式； x2−2xy−y2：两个平方项符号相反，不符合； a2+ab+b2：乘积项不是2倍，不符合 1.7.2013 ‹#› 知识点2 完全平方公式因式分解的一般步骤 第一步 变形定底数 把多项式整理为标准完全平方式的形式，确定两个平方项的底数，对应公式中的a和b，确认中间项是否为两个底数乘积的±2倍 第二步 套公式分解 根据中间项的符号，套用对应的完全平方公式，分解为(a+b)2或(a−b)2的形式 第三步 化简去括号 对分解后的括号内的式子进行去括号、合并同类项，将结果化为最简形式，确保分解彻底 1.7.2013 ‹#› 牛刀小试 1.填空，将下列式子写成完全平方式的形式： (1) a2+6a+9=a2+2·(  )·(  )+(  )2=(  )2 (2) a2−8a+16=a2−2·(  )·(  )+(  )2=(  )2 (3) 4a2+4ab+b2=(  )2+2·(  )·(  )+(  )2=(  )2 2.判断下列多项式能否用完全平方公式分解因式，能的打“√”，不能的打“×”： (1) m2−mn+n2（ ） (2) x2−2xy−y2（ ） (3) 4a2−20a+25（ ） (4) 36a2−12ab+b2（ ） 1.7.2013 ‹#› 答案与解析 1.填空：(1) a，3，3，a+3 (2) a，4，4，a−4 (3) 2a，2a，b，b，2a+b 2.判断答案与解析： (1) ×。理由：中间项不是m和n乘积的2倍，不符合完全平方式特征。 (2) ×。理由：两个平方项x2和−y2符号相反，不符合要求。 (3) √。理由：原式=(2a)2−2·2a·5+52，符合完全平方式特征。 (4) √。理由：原式=(6a)2−2·6a·b+b2，符合完全平方式特征 1.7.2013 ‹#› 课堂探究·能力合作提升 深耕方法 · 突破难点 · 提升解题能力 1.7.2013 ‹#› 例题1 把下列各式分解因式： (1) x2+10x+25 (2) 4a2−36ab+81b2 思路点拨：先识别多项式的完全平方式结构，分别确定两个平方项的底数，再根据中间项的符号，套用对应的完全平方公式分解 1.7.2013 ‹#› 参考答案 (1) (x+5)2；(2) (2a−9b)2 详细解析 (1) x2+10x+25 第一步：变形定底数，x2是x的平方，25=52，中间项10x=2·x·5，符合完全平方式； 第二步：套公式分解，中间项为正，套用和的完全平方公式，分解为(x+5)2。 (2)4a2−36ab+81b2 第一步：变形定底数，4a2=(2a)2，81b2=(9b)2，中间项−36ab=−2·2a·9b，符合完全平方式； 第二步：套公式分解，中间项为负，套用差的完全平方公式，分解为(2a−9b)2。 1.7.2013 ‹#› 例题2 把下列各式分解因式 (1) 25a4+10a2+1 (2) (m+n)2−4(m+n)+4 思路点拨：把括号内的多项式、高次单项式看作一个整体，当作完全平方公式中的“a”和“b”，先套用公式分解，再对结果进行化简 1.7.2013 ‹#› 参考答案 (1) (5a2+1)2；(2) (m+n−2)2 详细解析 (1) 25a4+10a2+1 把5a2看作整体，25a4=(5a2)2，1=12，中间项10a2=2·5a2·1，符合完全平方式； 原式=(5a2)2+2·5a2·1+12=(5a2+1)2。 (2)(m+n)2−4(m+n)+4 把(m+n)看作整体，(m+n)2是平方项，4=22，中间项−4(m+n)=−2·(m+n)·2，符合完全平方式； 原式=[(m+n)−2]2=(m+n−2)2。 1.7.2013 ‹#› 例题3 把下列各式分解因式： (1) −16a4+24a2b2−9b4 (2) 3ax2+6axy+3ay2 =−(16a4−24a2b2+9b4) =−[(4a2)2−(2·4a2·3b2)+(3b2)2] =−(4a2−3b2)2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 1.7.2013 ‹#› 课后测评·学业效果巩固 学以致用 · 查漏补缺 · 巩固学习成果 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第1题 下列多项式中，是完全平方式的是（ ） A. x2−4x+1 B. 4a2+4a−1 C. 25x2−10xy+y2 D. x2−2xy−4y2 【答案】C 【解析】 选项A：中间项不是x和1乘积的2倍，不符合完全平方式； 选项B：两个平方项4a2和−1符号相反，不符合； 选项C：原式=(5x)2−2·5x·y+y2，符合完全平方式的三大特征，正确； 选项D：两个平方项x2和−4y2符号相反，不符合。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第2题 把多项式x2−4x+4分解因式，结果正确的是（ ） A. x(x−4)+4 B. (x+2)(x−2) C. (x−2)2 D. (x+2)2 【答案】C 【解析】 多项式x2−4x+4符合完全平方式特征：x2是x的平方，4=22，中间项−4x=−2·x·2，因此分解为(x−2)2。 选项A：结果不是整式的积，不属于因式分解； 选项B：平方差公式用错，不符合多项式特征； 选项D：符号错误，中间项为负，应分解为差的平方； 因此选择C选项。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第3题 下列因式分解正确的是（ ） A. a2+ab+b2=(a+b)2 B. 4a2+4a+1=4a(a+1)+1 C. x2−4xy+4y2=(x−2y)2 D. a2−2a+1=a(a−2)+1 【答案】C 【解析】 选项A：中间项不是a和b乘积的2倍，公式用错，正确的(a+b)2=a2+2ab+b2，排除； 选项B、D：变形结果不是整式的积，不属于因式分解，排除； 选项C：原式=x2−2·x·2y+(2y)2=(x−2y)2，分解正确。 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第4题 若x2−(m+3)x+4是完全平方式，则m的值是（ ） A. 1 B. -7 C. 1或-7 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 完全平方式有两种形式：和的平方、差的平方。 已知x2−(m+3)x+4=x2−(m+3)x+22是完全平方式，因此中间项满足：−(m+3)x=±2·x·2 分两种情况： 1.−(m+3)=4，解得m=−7； 2.−(m+3)=−4，解得m=1； 因此m的值为1或-7，选择C选项 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第5题 把下列各式分解因式： (1) 25x2+10xy+y2 (2) 25(x−y)2+10(y−x)+1 =25(x−y)2−10(x−y)+1 =[5(x−y)−1]2 =(5x−5y−1)2 =(5x)2+2·5x·y+y2 =(5x+y)2 1.7.2013 ‹#› 课后测评 第6题 已知x−y=2，xy=3，求代数式x3y−2x2y2+xy3的值 【答案】12 【解析】 先对代数式进行因式分解：x3y−2x2y2+xy3 =xy(x2−2xy+y2) （提取公因式xy） =xy(x−y)2 （套用完全平方公式） 将x−y=2，xy=3整体代入，得： 原式=3×22=3×4=12 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 核心概念 完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 本质是整式乘法完全平方公式的逆用 核心思想 转化思想： 将多项式转化为完全平方式的标准形式，实现和差化积 整体思想： 将多项式、高次单项式看作整体，套用公式分解，拓展公式应用范围 关键要求 因式分解必须分解彻底，要检查每一个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止 1.7.2013 ‹#› 谢谢观赏 1.7.2013 ‹#› $