9.3 公式法（2）--完全平方公式 课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

八年级苏科版数学下册 第九章 因式分解 9.3 公式法 第二课时运用完全平方公式因式分解 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点） 2.运用完全平方公式因式分解的方法和步骤，并能进行相关变形、计算或求值．（难点） 1.因式分解： 把一个多项式表示成几个整式的乘积形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 知识回顾 把乘法公式： （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2 反过来，就得到: a2＋2ab＋b2＝                      ，a2－2ab＋b2＝                         . (a＋b)2 (a－b)2 尝试 填空： (1) a2＋6a＋9＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (2) a2－6a＋9＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2； (3) a2＋( )＋4b2＝a2＋2·( )·( )＋( )2＝( )2； (4) a2－8a＋( )＝a2－2·( )·( )＋( )2＝( )2． 3 a 3 a＋3 3 a 3 a－3 2b a 2b a＋2b 4ab 4 a 4 a－4 16 观察这些式子在结构上有哪些共同特征？ 1.下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？ 为什么？ ①m2−mn+n2； ②x2−2xy−y2； ③4a2−20a+25； ④x2+8x+4; ⑤36a2−12ab+b2． 不能 不能 能 不能 能 探索活动 探索活动一 (1)在括号内填上适当的式子，使等式成立． ①(a＋b)2＝（ ）； ②(a－b)2＝（ ）； ③a2＋（ ）＋1＝(a＋1)2 ④a2－（ ）＋1＝(a－1)2 (2)第(1)、(2)两式从左到右是什么变形？第(3)、(4)两式从左到右是什 么变形？ a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 2a 2a 能应用完全平方公式分解因式的多项式特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是两底数之积的±2倍. 归纳总结 探索活动二 (1)把乘法公式： （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2 反过来，就得到: a2＋2ab＋b2＝                      ，a2－2ab＋b2＝                         . 探索活动 (a＋b)2 (a－b)2 (2)下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？ 为什么？ ①m2−mn+n2； ②x2−2xy−y2； ③4a2−20a+25； ④x2+8x+4; ⑤36a2−12ab+b2． 尝试练习 不能 不能 能 不能 能 ①思考：能用完全平方公式分解的多项式都有什么特征？请指出探索活动二(2)中的公式中的a、b分别是什么？分解的结果是什么？ ②不能用完全平方公式分解的，如何改动一处就能运用完全平方公式进行因式分解？ 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征是： (1)该多项式有三项； (2)有两项可以写成平方的形式，并且符号相同； (3)第三项可以写成这两个数的积的两倍. 知识点归纳 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征是： (1)该多项式有三项； (2)有两项可以写成平方的形式，并且符号相同； (3)第三项可以写成这两个数的积的两倍. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 完全平方公式： 方法总结 例1 把下列各式分解因式： (1) x2＋10x＋25； (2) 4a2－36ab＋81b2． 解： (1) x2＋10x＋25 ＝x2＋2·x·5＋52 ＝(x＋5)2； (2) 4a2－36ab＋81b2 ＝(2a)2－2·2a·9b＋(9b)2 ＝(2a－9b)2． 教材P112 例题 新课讲解 尝试练习：填空： ①a2+8a+16=a2+2•( )( )+( )2=( )2; ②a2－8a+16=a2－2•( )( )+( )2=( )2; ③a2+( )+4b2=a2+2•( )( )+( )2=( )2; ④a2－4a+( )=a2－2•( )( )+( )2=( )2; a 4 4 a+4 a 4 4 a－4 a 2b 2b a+2b 4ab a 2 2 a－2 4 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 口诀的整理，有助于让学生在应用中更能灵活记忆。完全平方公式在第16章的运用中还会用到，因此完全平方公式是很重要的内容。 Administrator () - 完全平方式的特点需要学生掌握，这是基本知识。 例2 (教材典例)把下列各式分解因式． （1） 25a4＋10a2＋1； （2）（m＋n）2－4（m＋n）＋4． 解： (1)25a4+ 10a2+1 = (5a 2 + 1)2； = (5a 2)2 + 2·5a·1 + 12 (2)原式 = (m＋n)2 - 2·(m＋n)·2 + 22 =(m+n-2)2. 例题讲解 . 1、讲解例4(书本第112页例4)：把下列各式分解因式： (1)x2+10x+25； (2)4a2−36ab+81b2； (3) –x2－4y2＋4xy； (4)m2+n2−mn. ● 例4 解 (1) x2+10x+25=x2+2x•5+52=(x+5)2； (2) 4a2−36ab+81b2=(2a)2－2•2a•9b+(9b)2=(2a－9b)2； (3) –x2－4y2＋4xy= –(x2+4y2–4xy)=–(x－2y)2； (4)m2+n2−mn=(m－n)2； 探究 有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片.你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗? b b a b ab a a a² b² a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a b ab 1. 下列多项式能否分解因式？如果能，尝试把它们分解因式： (1) a2＋8a＋16； (2) 9a2－3a＋1； (3) a2－1； (4) a2－ab＋b2． 原式＝a2＋2·a·4＋42 ＝(a＋4)2 (3a)2－6a＋12 能 不能 能 能 原式＝a2－2·a·＋ ＝(a－)2 原式＝(a＋1)(a－1) 课内练习 教材P113 练习 尝试练习 (1)下列多项式能否分解因式？如果能，把它们分解因式： ①a2+8a+16； ②9a2−3a+1； ③a2−1； ④a2−ab+b2； ① a2+8a+16=a2+2a•4+42=(a+4)2； ③ a2−1=(a+1)(a−1)； ④a2−ab+b2=(a−b)2； 基础巩固题 知识点1 用完全平方公式分解因式 1.分解因式 结果正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 .故选A. 2.因式分解： _________. 【解析】 . 故答案为 . 知识点2 用完全平方公式分解因式的应用 3.【2025浙江温州质检】已知， ，则代数式 的值是( ) D A.20 B.16 C.8 D.4 【解析】，，，，． 故选D. 21 尝试练习 (2)把下列各式分解因式： ①25x2＋10xy＋y2; ②a2－12ab＋36b2; ③x2−x+; ④−16a4+24a2b2−9b4. ① 25x2＋10xy＋y2=(5x+y)2； ②a2－12ab＋36b2=(a－6b)2； ③x2−x+=(x+)2； ④−16a4+24a2b2−9b4=−(16a4−24a2b2+9b4)=−(4a2−3b2)2； 例题讲解 (书本第112页例5)：把下列各式分解因式： (1)25a4+10a2+1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4； (3)(x－y)2－6(y－x)+9； (4)(x－1)(x－5)+4 ● 例5 解 (1)原式=(25a2+1)2 ；      (2)原式=(m+n－2)2 ；    (3)原式=(x－y－3)2          (4)原式=x2－6x+9=(x－3)2 课堂小结 公式法（2） 1、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 2、运用完全平方公式给多项式分解因式时的注意点. 课堂小结 用完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. $