第03讲 一元一次不等式组（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，从概念（含同一未知数的多个一元一次不等式联立）到解法（分解解不等式、画数轴找公解、写组解，结合“四大解集口诀”）再到应用（六步骤解决盈不足、方案等问题），构建递进式学习支架。 资料通过典例与变式分层设计题型，重点突破含参数问题、数轴表示等难点。以“四大解集口诀”培养几何直观，含参数问题发展推理意识，实际应用题（如包粽子分粽子、购买污水处理设备）构建模型意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

第03讲 一元一次不等式组 考点1：一元一次不等组的概念 考点2：解一元一次不等式组 考点3：一元一次不等式组的应用 重点： （1）会解单个一元一次不等式 （2）四大解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 （3）会用数轴看公共解集 难点： （1）乘除负数忘变不等号方向 （2）数轴：空心 / 实心、左右方向易混 （3）含参数有解、无解、整数解个数求范围（端点等号最难） （4）实际应用题找不等关系、取整数解 知识点1：一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的整体，叫作一元一次不等式组 满足三个条件： 所有不等式都是一元一次不等式 + 含同一个未知数 + 至少 2 个不等式 【题型1：一元一次不等式组的定义】 【典例1】下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案。 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B.选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C.选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D.选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项。 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B.包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C.含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D.两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意。 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式。 【变式2】下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式。选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项。 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键。 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意。 B.为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意。 C.含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意。 D.含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意。 故选：A． 【变式3】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解。 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可。 【详解】解： 只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 知识点2：解一元一次不等式组 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 【题型2：解一元一次不等式组】 【典例2】解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为． 【变式1】解不等式组并写出它的所有整数解。 【答案】；整数解为 【详解】解： 解不等式得 解不等式得 ∴ ∴整数解为 【变式2】解不等式组，并在数轴上表示其解集。 【答案】，数轴见解析 【分析】先分别求出每个不等式的解，再取它们的公共部分，得到不等式组的解，最后画出数轴即可 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： 【变式3】解不等式组并将解集在数轴上表示出来。 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，并在数轴上表示，即可得出不等式组的解集。 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示不等式组的解集为： 所以不等式组的解集是． 【题型3：由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例3】已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可。 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 【变式1】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题。先正确地解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围。 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 【变式2】若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可。 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 【变式3】如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键。先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围。 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 【题型4：由不等式组的整数解的情况求参数】 【典例4】若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键。 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围。 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 【变式1】已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定。求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小， 大小小大中间找，大大小小解不了。先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解求出整数解，即可得到a的取值范围。 【详解】解：， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴不等式组的整数解为1， ∴． 故选：B． 【变式2】已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键。 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围。 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴； 故选：B． 【变式3】已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键。解出一元一次不等式组的解集，根据有两个整数解得出a的取值范围。 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为， 不等式组有两个整数解， ， ， 故选B． 【题型5：不等式组和方程组结合的问题】 【典例5】若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键。 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可。 【详解】解：， 得：， , ， ， ． 故选：A． 【变式1】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤。 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可。 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 【变式2】已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可。 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴的最小值为， 故选：D． 【变式3】若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为（    ）。 A．0,1 B．1,3,7 C．0,1,3 D．1,3 【答案】D 【分析】根据的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式组求出的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可。 【详解】 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∵方程组得解为非负整数， ∴, 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴, ∵，是整数， ∴是8的因数， ∴正整数是1，3 故选：D 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件。 知识点03 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【题型6：一元一次不等式组的应用－盈不足问题】 【典例6】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生。如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个。求参加端午节包粽子活动的学生的人数。 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键。 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个。根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可。 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人。 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【变式1】儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物。如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套。问：有多少个班级？学习用品有几套？ 【答案】有个班级，学习用品有套。 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键。 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解。 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套。 【变式2】某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动。如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵。请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【答案】该班有学生，本次一共种植棵树 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键。 【详解】解：设共有名学生， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴， ∴， 答：该班有学生，本次一共种植棵树。 【变式3】某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子。由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个。如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满。问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？ 【答案】这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式组，注意x只能取整数。设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用，根据最后一个竹筏子不空也不满列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x只能取整数，求出x的值，最后求出总人数即可。 【详解】解：设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用， 根据题意得∶ 解得∶， ∵x只能取整数，且， ∴． ∴当时，该校八年级一班共有学生 （人）， 答：这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生。 【题型7：一元一次不等式组的应用－方案问题】 【典例7】为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备。经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元。 （1）求A型、B型设备每台各是多少钱； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用。 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元。 （2）共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台。 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元。 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解。 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 , 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元。 （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元。 【变式1】某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ 【答案】(1）生产A产品8件，生产B产品2件 （2）工厂有3种生产方案 【分析】（1）设生产种产品件，则生产种产品（件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品（件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案。 【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品（件， 依题意得：， 解得：， 则， 答：生产产品8件，生产产品2件； （2）解：设生产产品件，则生产产品（件 根据题意得，， 解得：． ∵为非负整数， ∴或3或4， ∴或7或6， 答：共有3种方案。 【变式2】为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励。已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元。 （1）求A，B两类物品的单价； （2）学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量。购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚。 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少。 【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可。 【详解】（1）解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的值为15或16或17， 当时，， 当时，， 当时，， ∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低， ∴购买A类物品的数量越多，费用越低， 答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚。 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少。 【变式3】为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆。调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨。 （1）求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ （2）该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元。若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用。 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车（辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少。 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元。 【题型8：一元一次不等式组的其他应用】 【典例8】茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 【答案】长方形区域的长最大为 【分析】设长方形区域的长为，则宽为，根据题意，列出不等式组，即可求解。 【详解】解：设长方形区域的长为，则宽为，    根据题意，得：， 解得， 答：长方形区域的长最大为． 【变式1】金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱。某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等。 （1）求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ （2）该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1）销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 （2）销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组。 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个。 【变式2】剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键。 设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半”列不等式组求解即可。 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， , 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， , 答：至少购进A种剪纸34幅。 【变式3】如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出。 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程。 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，结合“放入三个玻璃球未满，放入四个玻璃球水溢出”列不等式是解决本题的关键。 先利用放过三个玻璃球未满，即水的容量加三个玻璃球的体积小于杯子的容量列第一个不等式，再由放入四个玻璃球水溢出列第二个不等式，由一元一次不等式组的求法求解即可。 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， 所以， 将四个相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以， 即，解得， 所以， 即一颗玻璃球的体积在和之间 ． 1.不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式组的解集在数轴上表示，在表示解集时“≥”，“≤” 要用实心点表示；“〈”，“”要用空心点表示，求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则。 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： 2.不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到答案。 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，其中整数解为． 3.如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，先解出不等式组，再根据不等式组的已知解集，确定原不等式的 解集，从而得到取值范围。 【详解】解： 不等式组的解集为 故选：C． 4.若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键。根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可。 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 5.2023年元旦前夕，在第二十三次全国呼吸病学学术会议上，钟南山强烈呼吁加速疫苗接种，特别是异种疫苗加强针的接种，这是当前疫情防控的当务之急。已知A种疫苗冷库储藏温度要求为，B种疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，B两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取两种疫苗储藏温度的公共部分即可。 【详解】解：∵A种疫苗冷库储藏温度要求为，B种疫苗冷库储藏温度要求为， ∴将A，B两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键。不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。 6.若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案。 【详解】解： 解不等式①得：， ∵不等式组无解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解。求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 7.解不等式组：，并把解集表示在数轴上。 【答案】不等式组的解集为，把解集表示在数轴上见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再把解集表示在数轴上，结合数轴即可得出解集。 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 将解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集为：． 8.已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围。 【答案】 【分析】先通过可得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围。 【详解】解：∵， 得，， , 又∵， ， ∴， ∴， 解得． 9.为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品。已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元。 （1）每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 【答案】(1）每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元 （2）购进A种徽章的个数是40个 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进个A种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可。 【详解】（1）解：设每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元； （2）解：设购进个A种徽章，则购进个种徽章， 由题意得：， 解得：， ∴, 答：购进A种徽章的个数是个。 10.在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元。调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元。 （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少。 【答案】(1）甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元 （2）购买乙种书柜至少有14个 （3）共有3种购买方案，购买甲种书柜12个，乙种书柜12个时花费最少 【分析】(1) 根据两种购买情况列二元一次方程组求解单价。 （2） 根据预算全部用完列方程，结合甲种书柜不超过10个且个数为非负整数，求乙种书柜的最小值。 （3） 根据总数24个、乙不少于甲、不超出预算列不等式组确定甲种书柜的取值范围，再计算各方案花费进行比较。 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为元， 由题意得：， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 去括号，得：， 合并，得：， 解得：， 将代入，得：， 答：甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元。 （2）设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜个，m，n均为非负整数， 由题意得：， 化简，得：， 变形，得：， , 要使最小，需取最大值， 将代入，得：， 答：购买乙种书柜至少有14个。 （3）解：设购买甲种书柜a个，则购买乙种书柜（个，为非负整数， 由题意得：， 解第一个不等式，得：， 解第二个不等式，得：， , 不等式组的解集为， 为整数， 的取值为10，11，12，对应共有种购买方案， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， 当时，，花费为元， ∵ ， ∴ 当时花费最少， 答：共有种购买方案，购买甲种书柜12个、乙种书柜12个时花费最少。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元一次不等式组 考点1：一元一次不等组的概念 考点2：解一元一次不等式组 考点3：一元一次不等式组的应用 重点： （1）会解单个一元一次不等式 （2）四大解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 （3）会用数轴看公共解集 难点： （1）乘除负数忘变不等号方向 （2）数轴：空心 / 实心、左右方向易混 （3）含参数有解、无解、整数解个数求范围（端点等号最难） （4）实际应用题找不等关系、取整数解 知识点1：一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的整体，叫作一元一次不等式组 满足三个条件： 所有不等式都是一元一次不等式 + 含同一个未知数 + 至少 2 个不等式 【题型1：一元一次不等式组的定义】 【典例1】下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点2：解一元一次不等式组 （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 【题型2：解一元一次不等式组】 【典例2】解不等式组． 【变式1】解不等式组并写出它的所有整数解。 【变式2】解不等式组，并在数轴上表示其解集。 【变式3】解不等式组并将解集在数轴上表示出来。 【题型3：由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例3】已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4：由不等式组的整数解的情况求参数】 【典例4】若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【变式2】已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5：不等式组和方程组结合的问题】 【典例5】若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3】若关于，的方程组有非负整数解，则正整数为（    ）。 A．0,1 B．1,3,7 C．0,1,3 D．1,3 知识点03 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【题型6：一元一次不等式组的应用－盈不足问题】 【典例6】七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生。如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个。求参加端午节包粽子活动的学生的人数。 【变式1】儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物。如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套。问：有多少个班级？学习用品有几套？ 【变式2】某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动。如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵。请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【变式3】某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子。由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个。如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满。问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？ 【题型7：一元一次不等式组的应用－方案问题】 【典例7】为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备。经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元。 （1）求A型、B型设备每台各是多少钱； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用。 【变式1】某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 种产品 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？ 【变式2】为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励。已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元。 （1）求A，B两类物品的单价； （2）学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量。购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【变式3】为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆。调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨。 （1）求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ （2）该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元。若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【题型8：一元一次不等式组的其他应用】 【典例8】茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 【变式1】金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱。某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等。 （1）求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ （2）该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【变式2】剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【变式3】如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出。 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程。 1.不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5.2023年元旦前夕，在第二十三次全国呼吸病学学术会议上，钟南山强烈呼吁加速疫苗接种，特别是异种疫苗加强针的接种，这是当前疫情防控的当务之急。已知A种疫苗冷库储藏温度要求为，B种疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，B两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（   ） A． B． C． D． 6.若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.解不等式组：，并把解集表示在数轴上。 8.已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围。 9.为迎接校园文化艺术节，某中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品。已知购买2个种徽章和3个种徽章需156元；购买4个种徽章和5个种徽章需284元。 （1）每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进、两种徽章共60个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进种徽章的个数是多少？ 10.在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元。调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元。 （1）求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元； （2）若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？ （3）若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少。 学科网（北京）股份有限公司 $