第01讲 不等式及其性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本初中数学讲义聚焦不等式及其性质核心知识点，系统梳理不等式的定义、解集（含数轴表示方法）及三条基本性质，构建从概念理解到符号表达再到性质应用的学习支架。 资料以“奶茶保存温度”“智能空调设置”等实际情境题型为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过典例与变式题对比等式与不等式性质差异，培养推理意识与数学语言表达能力，课中辅助教师突破性质3易错点，课后助力学生强化练习查漏补缺。

第01讲 不等式及其性质 考点1：不等式的定义 考点2：不等式的解集 考点3：不等式的基本性质 重点： （1）掌握不等式的概念，会用不等式表示数量关系。 （2）理解并熟练运用不等式的三条基本性质。 （3）会用不等式性质对不等式进行简单变形。 难点： （1）不等式性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，极易出错。 （2）正确区分不等式性质与等式性质的异同，不混淆。 （3）含字母系数时，判断乘除的数是正还是负，从而确定是否变号。 （4）运用不等式性质进行逻辑推理和简单证明 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫作不等式，例如： 等都是不等式。 （2）常见的不等号有5种：“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”。 【题型1：不等式的定义】 【典例1】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用不等号连接，表示不等关系的式子叫作不等式，根据定义逐项判断即可。 【详解】解：A．是多项式，不是不等式； B．是等式，不是不等式； C．是等式，不是不等式； D．用不等号连接，表示不等关系，是不等式。 【变式1】“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果。 【详解】解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 【变式2】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式。 B.，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义。 C.，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式。 D.，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式。 故选B． 【变式3】已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解。 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号〈，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个。 知识点2：不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫作解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案。 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误。 【变式1】不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解。 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解。 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意。 故选：A． 【变式2】下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集。根据不等式的解集的概念进行判断即可。 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 【变式3】是下列不等式（    ）的一个解。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； .当时，，故本选项不符合题意； .当时，，故本选项不符合题意； .当时，，故本选项符合题意； 故选：． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】某奶茶店制作了一款饮品，保存温度要求为“大于且不大于”，则这款饮品保存温度要求在数轴上表示（阴影部分）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法：大于向右画，小于向左画，有等号画实心原点，无等号画空心圆圈，进行判断即可。 【详解】解：大于即，不大于即，在数轴上表示如C选项所示。 【变式1】一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可。 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 【变式2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右画，小于向左画；有等号画实心点，无等号画空心圈，进行判断即可。 【详解】因为不等式为，所以数轴上表示时，方向应向右，且端点处应为实心圆点。观察选项可知，只有D选项符合题意。 【变式3】某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式。设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解。 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 知识点3：不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果，那么 如果，那么 基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ②在计算的时候符号方向容易忘记改变。 【题型4：不等式的性质】 【典例4】若，则下列不等式：正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质对各选项逐一判断即可。 【详解】解：已知 ． 对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，可得 ，因此A错误。 对于选项B，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得 ，因此B正确。 对于选项C，由 ，得 ，不等式两边同时加，不等号方向不变，得 ，因此C错误。 对于选项D，举反例：当 ， 时，满足 ，但 ，因此D错误。 【变式1】若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质对各选项逐一判断，即可得到正确结论。 【详解】解：∵ ∴ 不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得 ，A正确； 不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同时加1得 ，B错误； 不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得 ，C错误； 不等式两边同乘，不等号方向不变，得，两边同时加1得 ，D错误。 因此正确选项为A． 【变式2】在我们的生活中，不等关系随处可见。小明与妈妈今年分别是x岁与y岁。他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案。 【详解】根据题意，，B选项符合条件。 【变式3】六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如图），则（   ） 　 A．次品是（3）号，比正品的质量重 B．次品是（3）号，比正品的质量轻 C．次品是（6）号，比正品的质量重 D．次品是（6）号，比正品的质量轻 【答案】A 【分析】根据天平第一次称是平衡的得到（1）号，（2）号，（4）号，（5）号零件都是正品，次品出自（3）号或者（6）号，分别设正品零件质量为，（3）号零件质量为，（6）号零件质量为，根据第二次和第三次测量列出不等式，进一步解答即可。 【详解】解：∵用天平第一次称是平衡的， ∴（1）号，（2）号，（4）号，（5）号零件都是正品， ∴次品出自（3）号或者（6）号， 设正品零件质量为，（3）号零件质量为，（6）号零件质量为， 根据第二次天平的情况可知，①， 根据第三次天平的情况可知， ∴②， ∴①＋②得到，，即， ∴次品是（3）号，比正品的质量重。 1.下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“用不等号表示不等关系的式子叫作不等式”，逐一判断选项即可。 【详解】解：选项A的是代数式，不含不等号，不是不等式， 选项B的，选项C的都是用等号连接的等式，不是不等式， 选项D的是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义。 2.若，则下列不等式变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项变形是否正确即可。 【详解】A．不等式两边同时加同一个数不等号方向不变，可得，无法推出，故选项不符合题意； B．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故选项不符合题意； C．不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故选项符合题意； D．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故选项不符合题意。 3.如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案。 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格。 4.已知关于的不等式的解集是，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质即可求解。 【详解】解：∵不等式的解集为，变形后不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质，可得， 解不等式得：， ∴的取值范围是． 5.某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示。每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）。王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为 ，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义。 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围。 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 6.若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________。 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 7.某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________。 【答案】 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案。 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 8.用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________。 【答案】 【分析】先将的2倍与3的差表示为，再根据“小于0”的不等关系列出不等式即可。 【详解】解：“的2倍与3的差小于0”，用不等式表示为． 9．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以负数，不等式的符号要改变，即可作答。 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故答案为：〈. 10.将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实：_____________。 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度。 根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可。 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 11.根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________。 【答案】②③ 【分析】本题考查了二元一次方程，不等式的应用，设班同学的最高身高为，最低身高为，班同学的最高身高为，最低身高为，根据班班长的对话，得，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据班班长的对话，得，然后利用不等式性质可求出，即可判断②， 正确进行计算是解题关键。 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， ∴, ∴, ∴, 解得：，故③符合题意； 1班学生的身高不超过，最高未必是，无法判断①，故①不符合题意； 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，故②符合题意， 故答案为：②③。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式及其性质 考点1：不等式的定义 考点2：不等式的解集 考点3：不等式的基本性质 重点： （1）掌握不等式的概念，会用不等式表示数量关系。 （2）理解并熟练运用不等式的三条基本性质。 （3）会用不等式性质对不等式进行简单变形。 难点： （1）不等式性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，极易出错。 （2）正确区分不等式性质与等式性质的异同，不混淆。 （3）含字母系数时，判断乘除的数是正还是负，从而确定是否变号。 （4）运用不等式性质进行逻辑推理和简单证明 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫作不等式，例如： 等都是不等式。 （2）常见的不等号有5种：“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”。 【题型1：不等式的定义】 【典例1】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点2：不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫作解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤4在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】是下列不等式（    ）的一个解。 A． B． C． D． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】某奶茶店制作了一款饮品，保存温度要求为“大于且不大于”，则这款饮品保存温度要求在数轴上表示（阴影部分）为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）。 A． B． C． D． 【变式3】某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式。设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点3：不等式的基本性质 基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 如果，那么 如果，那么 基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 ②在计算的时候符号方向容易忘记改变。 【题型4：不等式的性质】 【典例4】若，则下列不等式：正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在我们的生活中，不等关系随处可见。小明与妈妈今年分别是x岁与y岁。他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如图），则（   ） 　 A．次品是（3）号，比正品的质量重 B．次品是（3）号，比正品的质量轻 C．次品是（6）号，比正品的质量重 D．次品是（6）号，比正品的质量轻 1.下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2.若，则下列不等式变形正确的是（     ） A． B． C． D． 3.如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） A． B． C． D． 4.已知关于的不等式的解集是，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 5.某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示。每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）。王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为 ，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 6.若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________。 7.某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________。 8.用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________。 9．若，则______． 10.将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实：_____________。 11.根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________。 学科网（北京）股份有限公司 $