第03讲 二元一次方程组的应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦初中数学二元一次方程组的应用这一核心知识点，系统衔接方程组概念与解法，构建以解题步骤（审题、设元、列方程组等）为支架，涵盖分配、行程、工程等11类应用题型的知识体系。 资料特色在于题型贴近生活与文化，如文旅住宿分配、《孙子算经》古代问题等，通过典例与变式培养学生抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），以方程模型表达现实问题（数学语言），课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

第03讲 二元一次方程组的应用 考点1：二元一次方程组的应用 重点： （1）会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 难点★： （1） 找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点： 二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2、 基本公式 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【变式1】国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【变式2】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【变式3】某机械加工厂准备安排第一车间的14名工人制作若干个螺钉和螺母，每名工人每天可以制作80个螺钉或制作120个螺母，怎样安排工人，才能每天制作的螺母个数是螺钉个数的两倍？ 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【变式1】下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 【变式2】小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【变式3】太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【变式1】从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【变式2】从甲地到乙地的路是一段上坡路和一段下坡路．如果上坡平均每分钟走50m，下坡平均每分钟走100m，那么从甲地走到乙地需要25min，从乙地走到甲地需要20min．求从甲地到乙地上坡与下坡的路程． 【变式3】自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【变式1】为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【变式2】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【变式3】有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，求甲、乙两人每天各做零件多少个． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【变式1】如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【变式2】如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【变式3】分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【变式1】我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【变式2】春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元． (1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？ (2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由． 【变式3】某茶叶店经销崂山红茶和绿茶，第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同． (1)求每盒崂山红茶和每盒绿茶的进价； (2)该店这两种茶叶标价如图．为迎接新年，茶叶店将两种茶叶都打八折销售．某顾客在该店购买这两种茶叶若干盒（每种至少一盒），总共花费1360元，请问他最多购买了多少盒茶叶？ 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【变式1】幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则________，________． y 2 5 7 8 x 6 【变式2】小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 【变式3】在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是_______． 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【典例8】六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁． 【变式1】弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁． 【变式2】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______． 【变式3】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例9】某商场用11500元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共150台，已知A品牌取暖器每台进价为70元，售价为95元；B品牌取暖器每台进价为80元，售价为110元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在两种取暖器的销售过程中，A品牌取暖器损坏了2台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，当这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利多少元？ 【变式1】某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． (1)甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 【变式2】随着人们对交通安全意识的增强，城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． (1)、两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用元购进、两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元．假如这些头盔全部售出，则该店共可获利多少元？ 【变式3】为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？ 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例10】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式1】《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式3】我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例11】某电视台组织竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)答错一题的得分为___________． (2)参赛者F说他得80分，你认为可能吗？请说明理由． 【变式1】爸爸每天给小军同样多的零花钱，小军原来有一些钱，如果每天用10元，所有的钱可以用6天；如果每天用15元，所有的钱可以用3天，求小军原来有多少钱． 【变式2】一中学新建了一栋4层的教学楼，每层有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中对4道门进行了测试；当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟可通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤出门的效率降低，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门撤离，假设这栋楼每间教室平均有45名学生，问建造这4道门是否符合安全规定，请说明理由． 【变式3】在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次分）与这个人年龄（岁满足关系式：，其中、均为常数． (1)根据图中提供的信息，求、的值； (2)若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 1．育才中学计划安装一批由太阳能电池板和路灯柱组成的智慧路灯，已知1个路灯柱配2个太阳能电池板，现有太阳能电池板和路灯柱共36个，问该校一共安装多少个智慧路灯？设太阳能电池板个，路灯柱个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．跨化学学科已知A种盐水含盐15%，B种盐水含盐40%．现在要配制500g含盐25%的盐水，需要A，B两种盐水各多少克？设需要A种盐水xg，B种盐水yg，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有只羊，乙有只羊，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 4．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A．B． C． D． 5．某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元． (1) 、两种奖品每件各多少元？ (2)学校决定购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？ 6．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 7．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 8．某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． (1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 9．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 10．“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元． (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案． 11．2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二元一次方程组的应用 考点1：二元一次方程组的应用 重点： （1）会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 难点★： （1） 找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点： 二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2、 基本公式 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 【变式1】国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间， 由题意可得， 解得：， 故该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间． 【变式2】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 【变式3】某机械加工厂准备安排第一车间的14名工人制作若干个螺钉和螺母，每名工人每天可以制作80个螺钉或制作120个螺母，怎样安排工人，才能每天制作的螺母个数是螺钉个数的两倍？ 【答案】安排6人制作螺钉，8人制作螺母 【分析】设安排x人制作螺钉，y人制作螺母，根据“加工螺钉人数+加工螺母人数=14，螺母个数=2×螺钉个数”列出方程组求解即可． 【详解】解：设安排x人制作螺钉，y人制作螺母， 则有 解得： 答：安排6人制作螺钉，8人制作螺母． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意找到等量关系正确列出方程组． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【变式1】下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求、的值． 课外小组活动总时间/ 文艺小组活动次数/次 科技小组活动次数/次 七年级 八年级 九年级 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程及方程组，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为，根据题意列方程求出、，再得到关于、的二元一次方程即可求解． 【详解】解：文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， 根据题意可得：， 解得：， 即文艺小组每次活动的时间为，科技小组每次活动的时间为， ，即， ， 、都是整数， ，． 【变式2】小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 【变式3】太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 【变式1】从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 【变式2】从甲地到乙地的路是一段上坡路和一段下坡路．如果上坡平均每分钟走50m，下坡平均每分钟走100m，那么从甲地走到乙地需要25min，从乙地走到甲地需要20min．求从甲地到乙地上坡与下坡的路程． 【答案】从甲地到乙地上坡的路程为1000m，下坡的路程为500m 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出对应的二元一次方程组． 设从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为，根据时间=路程÷速度分别列出和的二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：设从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为， 根据題意，得 解得； 答：从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为． 【变式3】自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意，可以列出方程，本题得以解决； （2）根据题意，可以列出方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米． 【变式1】为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 【变式2】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 【变式3】有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，求甲、乙两人每天各做零件多少个． 【答案】甲每天做零件90个，乙每天做零件30个 【分析】分析已知和所求，可设甲、乙两人每天各做x、y个机器零件，根据甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成，可得方程；由乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成可得． 解两个方程组成的方程组，即得甲、乙两人每天各做的机器零件数． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用，根据题意正确的列出方程组是解题的关键． 【详解】设甲每天做零件个，乙每天做零件个．根据题意，得 ， 解得． 答：甲每天做零件90个，乙每天做零件30个． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 【变式1】如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【答案】平方米 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值，进而可求解． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴每一个小长方形的面积为平方米， ∴该试验田的面积为平方米． 【变式2】如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4 (2)60 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）解：阴影部分的面积为：． 【变式3】分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【变式1】我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【变式2】春节临近，某干果店老板购进甲，乙两种坚果，若每次进价不变，第一次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元；第二次购进甲坚果袋和乙坚果袋，共花费元． (1)求甲，乙两种坚果的进价分别是多少元/袋？ (2)若该干果店老板计划再用元购进甲，乙两种坚果（两种坚果都购买），只能购进整数袋，请问这次进货有哪几种方案？说明理由． 【答案】(1)甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋 (2)这次进货有种方案，分别是：①购进甲坚果袋，乙坚果袋；②购进甲坚果袋，乙坚果袋；③购进甲坚果袋，乙坚果袋 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、二元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据两次购买所花费用列方程组即可解出结果； （2）根据计划费用列二元一次方程，并求其正整数解确定购买方案． 【详解】（1）解：设甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋， 根据题意，得         解得 答：甲坚果的进价为元/袋，乙坚果的进价为元/袋． （2）解：这次进货有种方案，理由如下： 设购进甲坚果袋，乙坚果袋， 根据题意，得，            整理，得， 、均为正整数， 或或 答：这次进货有种方案，分别是： ①购进甲坚果袋，乙坚果袋； ②购进甲坚果袋，乙坚果袋； ③购进甲坚果袋，乙坚果袋． 【变式3】某茶叶店经销崂山红茶和绿茶，第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同． (1)求每盒崂山红茶和每盒绿茶的进价； (2)该店这两种茶叶标价如图．为迎接新年，茶叶店将两种茶叶都打八折销售．某顾客在该店购买这两种茶叶若干盒（每种至少一盒），总共花费1360元，请问他最多购买了多少盒茶叶？ 【答案】(1)每盒崂山红茶的进价为100元，每盒绿茶的进价为150元 (2)该顾客最多购买了8盒茶叶 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系，建立方程（组）求解． （1）设每盒崂山红茶的进价为x元，每盒绿茶的进价为y元，根据“第一次购进30盒红茶和10盒绿茶，共花费4500元；第二次购进50盒红茶和80盒绿茶，共花费17000元，两次进价均相同”建立方程组求解； （2）设顾客在该店购买崂山红茶a盒，购买崂山绿茶b盒，先算出两种茶叶打八折后的售价，再根据题意得，整理得，最后求出其正整数解，根据题意得到最大值为8，即求出该顾客最多购买了8盒茶叶． 【详解】（1）解：设每盒崂山红茶的进价为x元，每盒绿茶的进价为y元， 由题意得， 解得， 答：每盒崂山红茶的进价为100元，每盒绿茶的进价为150元． （2）解：设顾客在该店购买崂山红茶a盒，购买崂山绿茶b盒， 每盒崂山红茶的标价为200元， 打八折销售，则每盒崂山红茶的售价：（元）， 每盒崂山绿茶的标价为300元， 打八折销售，则每盒崂山绿茶的售价：（元）， 由题意得， 化简得， 由题意得a，b均为正整数， 或或， ∴或7或6， ∴最大值为8， 答：该顾客最多购买了8盒茶叶． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【答案】35 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为8和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新数比原数大18，得，化简得，即． 解方程组，解得， 故原数为． 故答案为：35． 【变式1】幻方又称九宫图，在幻方拓展课程中，小明在如下所示的方格内填入了一些数及字母，若图中每行、每列以及对角线上的三个数字之和都相等，则________，________． y 2 5 7 8 x 6 【答案】 1 9 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：，． 故答案为：， 【变式2】小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设第一个加数为x，第二个加数为y，根据在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72建立方程组求解即可． 【详解】解：设第一个加数为x，第二个加数为y， 由题意得，， 得：， ∴， 故答案为：18． 【变式3】在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是_______． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解． 根据题意列出方程组，然后求解即可． 【详解】根据题意得， 解得 ∴解密后得到的明文是，． 故答案为：，． 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【典例8】六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大_______岁． 【答案】12 【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁． 【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意， 可得，解得， ∴甲比乙大24-12=12岁． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 【变式1】弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁． 【答案】15 【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁， 由题意：， 解得：， ∴此时哥哥的年龄是15岁， 故答案为：15． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键． 【变式2】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______． 【答案】42岁，23岁 【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 答：甲现在42岁，乙现在23岁． 故答案为：42岁，23岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式3】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例9】某商场用11500元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共150台，已知A品牌取暖器每台进价为70元，售价为95元；B品牌取暖器每台进价为80元，售价为110元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在两种取暖器的销售过程中，A品牌取暖器损坏了2台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，当这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利多少元？ 【答案】(1)A品牌取暖器购进50台，B品牌取暖器购进100台 (2)获利元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是关键． （1）设A品牌取暖器购进台，B品牌取暖器购进台．商场用11500元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共150台，据此列出方程组并解方程组即可； （2）根据每台的利润乘以台数再求和即可求出商场的可获得的利润． 【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进台，B品牌取暖器购进台． 由题意得： 解得： 答：A品牌取暖器购进50台，B品牌取暖器购进100台． （2）由题意得，当两种品牌取暖器全部售完时可获利： （元） 答：当这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利元． 【变式1】某商场购进商品后，均加价后作为销售价．元旦当天商场开展优惠促销活动，甲商品打折出售，乙商品降价元出售．某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款元．这两种商品的进价之和为元． (1)甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)元旦当天甲商品销售件，乙商品销售件，该天销售甲、乙两种商品的总利润为多少元？ 【答案】(1)甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 (2)该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据（1）的结论，分别计算甲、乙的利润，即可求解． 【详解】（1）解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元，根据题意得， 解得： 答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 （2）∵甲商品每件利润为销售价减进价：元 乙商品每件利润为销售价减进价：元 销售甲件，利润为元 销售乙件，利润为元 总利润为元 答：该天销售甲、乙两种商品的总利润为元 【变式2】随着人们对交通安全意识的增强，城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． (1)、两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用元购进、两种头盔共个，销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元．假如这些头盔全部售出，则该店共可获利多少元？ 【答案】(1)种头盔的单价为元，种头盔的单价为元 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元，由此列式求解即可； （2）设购进种头盔个，则购进种头盔个，由此列式得到购进、种头盔的数量，进而可求得获利金额． 【详解】（1）解：设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元， 依题意得， 解得． 答：种头盔的单价为元，种头盔的单价为元； （2）解：设购进种头盔个，则购进种头盔个， 依题意得， 解得， ， 该店共可获利：（元）． 答：这些头盔全部售出，该店共可获利元． 【变式3】为庆祝“六一”儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元．求该商场商品打几折？ 【答案】该商场商品打 9 折 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，折后价与原价和折率的关系，是解题的关键． 设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元，由买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值；再设做活动时，商品打m折，由打折后，买500件A商品和400件B商品用了8640元，列出一元一次方程，解方程求出m的值即可． 【详解】解：设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元， 由题意得：， 解得：， 设做活动时，商场商品打m折， 由题意得：， 解得：． 答：做活动时，该商场商品打9折． 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例10】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 【变式1】《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 【变式2】《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 【变式3】我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例11】某电视台组织竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)答错一题的得分为___________． (2)参赛者F说他得80分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找到等量关系是解题的关键． （1）设答对1道题得x分，答错1道题得y分，根据“答对的得分和答错得分的和等于总积分”列方程组求解； （2）设参赛者F答对a道题，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设答对1道题得x分，答错1道题得y分，根据题意得 ， 解得：， 故答案为：； （2）解：不可能； 理由：设参赛者F答对a道题， 则：， 解得：（不合题意，舍去）， 故参赛者F不可能得80分． 【变式1】爸爸每天给小军同样多的零花钱，小军原来有一些钱，如果每天用10元，所有的钱可以用6天；如果每天用15元，所有的钱可以用3天，求小军原来有多少钱． 【答案】小军原来有元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小军原来有元钱，爸爸每天给小军元钱，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设小军原来有元钱，爸爸每天给小军元钱，根据题意得， 解得： 答：小军原来有元钱． 【变式2】一中学新建了一栋4层的教学楼，每层有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中对4道门进行了测试；当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟可通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤出门的效率降低，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门撤离，假设这栋楼每间教室平均有45名学生，问建造这4道门是否符合安全规定，请说明理由． 【答案】(1)平均每分钟一个正门可以通过120名学生，一个侧门可以通过80名学生 (2)符合安全规定，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，有理数的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设平均每分钟一个正门通过名学生，一个侧门通过名学生，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）先求出总学生数，再求出5分钟内可通过的人数，进行比较即可． 【详解】（1）解：设平均每分钟一个正门通过名学生，一个侧门通过名学生，由题意得， ， 解得． 答：平均每分钟一个正门可以通过120名学生，一个侧门可以通过80名学生； （2）解：符合安全规定，理由如下： 总学生数为：（人）， 5分钟内可通过：（人）， ∵， ∴5分钟内可通过的人数大于总学生数， ∴符合安全规定． 【变式3】在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数（次分）与这个人年龄（岁满足关系式：，其中、均为常数． (1)根据图中提供的信息，求、的值； (2)若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？ 【答案】(1)， (2)他有危险．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．（1）根据年龄15岁最高心跳为164次，年龄45岁最高心跳为144次列出和的二元一次方程组，解方程求出和的值即可； （2）首先求出年龄为63岁时最高心跳，然后求出该人实际心跳，再作出对比即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 解这个方程组，得 所以，，． （2）当时，（次分）． 即63岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为132次分． 而（次分）（次分）． 所以，他有危险． 1．育才中学计划安装一批由太阳能电池板和路灯柱组成的智慧路灯，已知1个路灯柱配2个太阳能电池板，现有太阳能电池板和路灯柱共36个，问该校一共安装多少个智慧路灯？设太阳能电池板个，路灯柱个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，设太阳能电池板个，路灯柱个，根据“1个路灯柱配2个太阳能电池板”及“现有太阳能电池板和路灯柱共36个”这两个等量关系即可列出方程组． 【详解】解：设太阳能电池板个，路灯柱个， 则根据“1个路灯柱配2个太阳能电池板”可得， 根据“现有太阳能电池板和路灯柱共36个”可得， ∴方程组为， 故选：A． 2．跨化学学科已知A种盐水含盐15%，B种盐水含盐40%．现在要配制500g含盐25%的盐水，需要A，B两种盐水各多少克？设需要A种盐水xg，B种盐水yg，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组问题，解答的关键在于根据混合前后盐的质量不变列方程组解答； 设需要种盐水克，种盐水克，根据混合前后盐的质量不变，列方程组即可． 【详解】解：设需要种盐水克，种盐水克． 可得： 故选：C． 3．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．”两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．请问甲、乙各有多少只羊．设甲有只羊，乙有只羊，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键．设甲有只羊，乙有只羊，由甲对乙：我得到你的九只羊，我的羊就比你的多一倍得到；由乙对甲：我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多得到，联立方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意可列方程组为 ， 故选：D． 4．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意并根据题意得出方程组是解题的关键．根据题意大和尚和小和尚的人数之和为100，馒头总数也为100以此建立方程组即可． 【详解】解：大和尚x人，小和尚y人，总人数为100， 第一个方程为：， 大和尚每人分3个，共分得个； 小和尚每3人分1个，共分得个，总馒头数为100， 第二个方程为：， 可列方程组为． 故选：B． 5．某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买、两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买种件、种件，共需元；若购买种件、种件，共需元． (1) 、两种奖品每件各多少元？ (2)学校决定购买种奖品件、种奖品件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)种奖品每件元，种奖品每件元 (2)元 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：奖品价格奖品价格，奖品价格奖品价格，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【详解】（1）解：设种奖品每件元，种奖品每件元， 依题意得： ， 解得：， 答：种奖品每件元，种奖品每件元； （2）解：由题意得：（元）， 答：总费用是元． 6．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，华美学校利用课后服务时间，在初中部开展班级篮球赛，共16个班级参加． 比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ 【答案】该班级胜负场数分别是12场和3场． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设胜了场，负了场，由某班级在15场比赛中获得总积分为39分，再建立方程组求解即可． 【详解】解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得，， 答：该班级胜负场数分别是12场和3场． 7．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 8．某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． (1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 【答案】(1)梨买了1千克，橙子买了2千克 (2)他买了4千克梨 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）设买了梨千克，买了橙子千克，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设买了橙子千克，则买了梨千克，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设买了梨千克，买了橙子千克，则 ，解得， 答：梨买了1千克，橙子买了2千克； （2）解：设买了橙子千克，则买了梨千克，则 ， 解得， 梨买了千克， 答：他买了4千克梨． 9．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 10．“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格/元 70 60 50 如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元． (1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？ (3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案． 【答案】(1)5100元 (2)甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛 (3)甲、乙两班联合购买101套服装 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）若甲、乙两个班级联合起来购买服装，则每套是50元，计算出总价即可； （2）设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到101人，因此可以考虑买101套，计算其价钱然后与单独购买、联合购买的价钱进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 所以如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付5100元． （2）解：设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛． 由题意，得， 解得， 所以甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛． （3）解：（名），（名）， 所以甲班有51名学生参加比赛，甲、乙两班共有97名学生参加比赛． 方案一：甲、乙两班联合购买97套服装，则需要（元）． 方案二：甲、乙两班各自购买服装，则需要（元） 方案三：甲、乙两班联合购买101套服装，则需要（元）． 因为，所以最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买101套服装． 11．2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 1 学科网（北京）股份有限公司 $