8.1基本立体图形（分层作业）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过“刷基础-提能力-破难关”三阶分层设计，以概念辨析→运算应用→综合探究的路径巩固立体图形知识，培养空间观念、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|多面体与旋转体结构特征|通过选择、多选题辨析棱锥、棱柱等定义，强化概念理解| |提能力|空间几何体计算与球的截面性质|结合折扇围圆台等情境，提升距离、面积等运算能力| |破难关|截面与球的切接综合问题|以正方体与球的切接、动点路径等复杂问题发展空间想象|

8.1 基本立体图形 刷基础 题型一 多面体的结构特征 1．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 2．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 3．下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（多选题）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 5．（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 题型二 旋转体的结构特征 6．下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 7．图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 8．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．有下列命题，其中错误命题个数是（    ） ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 提能力 题型一 空间几何体的计算 11．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 12．如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 13．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 14．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 15．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为__________． 题型二 球的截面性质 16．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 17．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 18．已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面面积是．则球心到这个平面的距离为______． 19．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________． 20．已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______． 题型三 路径最短问题 21．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 22．如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 23．如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 25．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 破难关 题型一 截面问题 26．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 27．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 28．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 29．如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 30．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 题型二 球的切接问题 31．在正方体中，，为中点，以为球心的球的半径为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，球的球面与该正方体的面没有公共点 B．当时，球的球面与该正方体的棱有12个公共点 C．当时，球的球面与该正方体的棱共有24个公共点 D．当时，该正方体的表面被球截得的所有弧长之和为 32．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 33．若一个棱长为2的正方体内接于四分之一球形封闭几何体（正方体的两个面分别在两个半圆面上，另外两个顶点在曲面上），则四分之一球形封闭几何体的内切球的半径为__________________. 34．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________. 35．已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 基本立体图形 刷基础 题型一 多面体的结构特征 1．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特征可判断ABC；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断D. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如下图， 所以A错误； 对于B，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点， 所以B错误； 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为 底面等边三角形的中心，所以C错误； 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知， 若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确. 故选：D. 2．下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 3．下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误； 对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误； 对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误. 所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个. 4．（多选题）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 【答案】ABD 【分析】根据棱柱的性质可得 【详解】A.斜棱柱的侧棱与底面不垂直，故A错误； B.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故B正确； C. 根据长方体的定义，六个面都是矩形的六面体是长方体，故C正确； D. 正棱柱的定义是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱（即直棱柱），选项D的描述缺少“侧棱垂直于底面”或“是直棱柱”的条件，故D错误． 5．（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是（    ） A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 【答案】ABD 【详解】对于A，根据棱柱的定义知，棱柱的两个底面相互平行，所以A正确； 对于B，根据棱柱的定义知，棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行，所以B正确； 对于C，由棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误； 对于D，棱柱的底面多边形的边数最少的为三角形，即底面多边形边数最少的棱柱为三棱柱，此时三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，所以D正确. 题型二 旋转体的结构特征 6．下列命题中正确的是（   ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D 【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D. 【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误； 对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误； 对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误； 对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确. 故选：D 7．图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】B 【分析】根据图形中的形状和大小组成即可判断. 【详解】图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥； 图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥． 故选：B. 8．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B 9．有下列命题，其中错误命题个数是（    ） ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由圆柱、圆锥的结构特征逐一分析四个命题得结论． 【详解】解：①圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误； ②过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确； ③以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误； ④平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误． 其中错误命题个数为3． 故选：C． 10．下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据球的概念判断即可. 【详解】半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确； 球面和球是两个不同的概念，故③错误； 若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 所以说法正确的有1个. 提能力 题型一 空间几何体的计算 11．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据四棱锥的几何性质，利用勾股定理，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作平面，垂足为，在平面内，作， 垂足为，取的中点为，连接，如下图所示：    设， 在中，，则，， 在中，， 在中，， 在正方形中，易知，，则， 在中，，在中，， 则，解得. 故选：B. 12．如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】由题可知四棱台为正棱台，设上底边长为，在侧面中可得斜高，再由正四棱台的特性可知就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角，得到，解方程即可得到上底边长. 【详解】根据题意，四棱台为正棱台，设中点为，上底边长为， 在侧面中，为斜高，又， 所以， 在正棱台中，， 所以就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角， 在四边形中，，则， 过作交于， 所以， 解得，即上底边长为25. 故选：C. 13．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】    如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 14．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D 15．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为__________． 【答案】 【分析】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，等腰梯形的腰长为棱台的侧棱长，然后根据已知数据求解即可. 【详解】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为，下底长为，高为3， 所以侧棱长为． 故答案为： 题型二 球的截面性质 16．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 17．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 18．已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面面积是．则球心到这个平面的距离为______． 【答案】 【分析】由条件可得截面圆的半径，然后由勾股定理列出方程，即可得到结果. 【详解】因为截面的面积是，设截面圆的半径为，即，所以， 且球的半径， 设球心到这个平面的距离为，则，即，解得, 所以球心到这个平面的距离为. 故答案为： 19．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________． 【答案】12 【分析】先求出的外接圆半径，然后根据球的结构特征和勾股定理求出结果即可. 【详解】由线段的长度知是以为斜边的直角三角形， 所以其外接圆的半径，设球的半径为， 所以． 故答案为：12. 20．已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______． 【答案】 【分析】当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，据此在球中计算即可. 【详解】设正三角形 的中心为 , 如图所示,连接 , 是正三角形 的中心, 平面 球的半径 , 球心 到平面 的距离为 1 , 即 在  中, ,, . 过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面圆的半径最小,即截面圆的面积最小, 此时截面圆的半径为 , 截面面积 . 故答案为：. 题型三 路径最短问题 21．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 22．如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 23．如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将与展开至位于同一平面内，利用余弦定理求解即可. 【详解】将与展开至位于同一平面内且位于直线的两侧，连接，与交于点， 则此时最小. 在中，由余弦定理可得， 所以，故的最小值为. 故选：B. 24．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 25．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径. 【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2， 所以小虫爬行的最短距离为2. 故选：A 破难关 题型一 截面问题 26．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【分析】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）. 【详解】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 27．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决. 【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形. 当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能. 如图，截面可以是梯形，B可能. 如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能. 故选：D． 28．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C， 当截面过正方体的体对角线时得B， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A， 但无论如何都不能截出D． 29．如图，圆柱的底面半径为2，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面积为可求得圆柱母线长，又因为ABCD是圆柱的轴截面，可知与圆柱的上下底面垂直，且是下底面圆的直径，根据勾股定理计算可得，即可得出. 【详解】如下图所示： 设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得， 连接AE，则， 连接BE，则，故， 故. 故选：A. 30．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 题型二 球的切接问题 31．在正方体中，，为中点，以为球心的球的半径为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，球的球面与该正方体的面没有公共点 B．当时，球的球面与该正方体的棱有12个公共点 C．当时，球的球面与该正方体的棱共有24个公共点 D．当时，该正方体的表面被球截得的所有弧长之和为 【答案】BCD 【分析】根据已知为正方体的中心，且其外接球半径为，内切球半径为，侧面正方形内切圆半径为，结合各项给定的半径及空间想象，正方体和球体的结构特征判断和计算公共点个数、相交弧长. 【详解】由题设，易知为正方体的中心，且其外接球半径为，内切球半径为，侧面正方形内切圆半径为， 由，则球的球面与该正方体的面有公共点，A错； 由，则球的球面与该正方体每条棱都相切，共12个切点，B对； 由，则球的球面与该正方体每条棱都都有两个交点，共24个，C对； 由，则各面截球所得圆的半径为， 所以该圆截各棱所得弦长为，该弦对应圆心角为， 所以该圆被一个侧面所截的弧长为， 故所有弧长之和为，D对. 故选：BCD 32．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 33．若一个棱长为2的正方体内接于四分之一球形封闭几何体（正方体的两个面分别在两个半圆面上，另外两个顶点在曲面上），则四分之一球形封闭几何体的内切球的半径为__________________. 【答案】 【分析】画出图象，结合图象利用勾股定理即可求解. 【详解】设球形封闭几何体的半径为，如图， 正方体的棱长满足，因为，所以， 内切球半径满足，所以. 故答案为：. 34．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________. 【答案】. 【解析】作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，根据两圆的关系以及与对角面关系，即可求解. 【详解】如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上， 过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F. 设球的半径为r，球的半径为R， 由，，得，， ∴，∴. 故答案为: 【点睛】本题考查球与球以及球与正方体间的关系，作出截面图将空间问题转化为平面问题，属于中档题. 35．已知棱长为2的正方体，点P是其表面上的动点，该正方体内切球的一条直径是MN，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用极化恒等式化为，从而转化为动点到正方体中心的最大与最小距离问题，从而即可求解. 【详解】 设内切球的球心为， 由， 已知正方体的棱长为2，所以内切球的直径， 所以，由于点P是正方体表面上的动点， 可知：，即， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $