8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体（ ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 2．下列说法错误的是（ ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 3．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种，其平面图形由一个圆和一个正方形组成(如图所示），若绕旋转轴(虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ） A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 4．下列说法正确的是（ ） A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 5．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16，则截面水深CD是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（多选）以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（ ） A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台 C．一个圆锥 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 7．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A．4 B．3 C．2 D．2 8．（多选）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ） 二、填空题 9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示）． 10．已知圆锥的底面半径为2 cm，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为________． 11．边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________． 12．已知一个棱长为6 cm的正方体铁盒(无上盖），上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为________ cm． 三、解答题 13．（8分）圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径． 14．（8分）一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 15．(10分）一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： （1）圆台的高； （2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长． 16．（12分）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体（ ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 解析：C　由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥． 2．下列说法错误的是（ ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 解析：B　由棱柱的性质可知A正确、B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确． 3．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种，其平面图形由一个圆和一个正方形组成(如图所示），若绕旋转轴(虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ） A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 解析：B　题设中的平面图形绕旋转轴(虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选B． 4．下列说法正确的是（ ） A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 解析：B　对于A，虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B，球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C，以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．故选B． 5．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16，则截面水深CD是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　由题意知OD⊥AB，交AB于点C，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBC中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝＝6，∴CD＝OD－OC＝10－6＝4． 6．（多选）以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（ ） A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台 C．一个圆锥 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析：AD　以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除B，C．故选AD． 7．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A．4 B．3 C．2 D．2 解析：D　设圆台的母线长为l，高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，它们满足关系式l2＝h2＋(R－r）2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2，即两底面之间的距离为2． 8．（多选）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ） 解析：AD　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分． 二、填空题 9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示）． 答案： 解析：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r，∴4r2＝Q，解得r＝，∴此圆柱的底面半径为． 10．已知圆锥的底面半径为2 cm，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为________． 答案：4 cm 解析：设圆锥母线长为x cm，因为底面半径为2 cm，所以S圆锥侧＝2πx，又圆锥的侧面展开图为半圆，半径即圆锥的母线，所以S半圆＝πx2．由S圆锥侧＝S半圆，即2πx＝πx2，得x＝4，则该圆锥的母线长为4 cm． 11．边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________． 答案： 解析：把圆柱的侧面沿HE剪开，然后展开成为平面图形HEE′H′，且四边形HEE′H′为矩形，如图所示，可知EG的长即为所求的最短距离． 在展开图中，可得EH＝5，HG＝，在Rt△EHG中，由勾股定理可知EG＝＝ ，所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是 ． 12．已知一个棱长为6 cm的正方体铁盒(无上盖），上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为________ cm． 答案：10 解析：如图所示，球心到盒底的距离可以看作是一个组合体的上顶点到下底面的距离，这个组合体可以看作下面是棱长为6 cm的正方体，上面是以球心为顶点，正方体上底面截钢球所得的圆面为底面的圆锥．圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的高为＝4(cm），所以球心到盒底的距离为6＋4＝10(cm）． 三、解答题 13．（8分）圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径． 解：设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h． 由题意，得2πr＝×2πR，即R＝3r　①， (2r＋2R）·h＝392，即(R＋r）h＝392　②． 又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝l　③． 联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14． 14．（8分）一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°．在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm）， SA＝＝＝(cm），所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2）． 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2． 15．(10分）一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： （1）圆台的高； （2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长． 解：（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示）． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm． 又由题意知腰长为12 cm，所以高AM＝＝3(cm）． （2）如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm， 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm． 16．（12分）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： （1）绳子的最短长度； （2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 解：（1）如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度， 设OB＝l，∠AOA′＝θ，则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20）＝2π×10，解得θ＝，l＝20 cm． ∴OA＝40 cm，OM＝30 cm，∴AM＝＝50(cm），即绳子的最短长度为50 cm． （2）如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧于点P，则PQ即为所求的最短距离． ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm． 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm），即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $