期末复习(2) 第二十章 勾股定理-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·期末复习 期末复习（二） 第二十章 勾股定理 一、考点过关 考点4勾股定理的逆定理 考点1勾股定理 8.以下列线段a,b,c的长为边，能构成直角三角形 1.直角三角形的两条 边a,b的 的是 ( 等于 c的 ,即a2+b2=c2. A.a=4,b=5,c=6B.a=3,b=2,c=√5 2.在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为 C.a=6,b=8,c=12 D.a=1,b=2,c=√3 9.一个三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a十 3.在直角三角形中，若两边为6和8，则第三边为 b)(a-b)=c2,则这个三角形是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 考点2勾股定理的证明 C.锐角三角形 D.不确定 4.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的 10.下列四组数，属于勾股数的是 定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中 A.1,2,3 B.1w√2，W3 不能证明勾股定理的是 ( ) C.3,4,5 D.4,5,6 考点5勾股定理的逆定理的应用 11.如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接 AD,BD,且AD⊥BD.已知AD=4,BD=3, AC=13,BC=12.则图中阴影部分的面积为 C D 5.如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利 考点6互逆命题 用面积关系证明了勾股定理，是 12.下列说法错误的是 我国古代数学的骄傲.该图由四 A.任何命题都有逆命题 个全等的直角三角形和一个小正 B.任何定理都有逆定理 方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角 C.真命题的逆命题不一定是真命题 边长为a,较短直角边长为b.若ab=10,大正方 D.定理的逆定理一定是真命题 形面积为25，则小正方形边长为 ) 13.下列命题的逆命题为真命题的是( A.√5 B.2 C.√5 D.3 A.如果a=b,那么a2=b 考点3勾股定理的应用 B.无理数是无限小数 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=6,以 C.对顶角相等 AB,AC为边作正方形，这两个正方形的面积和 D.两直线平行，同旁内角互补 为 二、核心考题 14.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了 避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路” 他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）， 却踩伤了花草 4 m 第6题图 第7题图 7.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处 折断倒下，树干顶部在根部4m处.这棵大树折 3 m “路” 断前的高度为m. CK4m->B 6 数学·八年级下册(R) ●-●●… 15.有四种说法： 21.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千” ①三个内角之此为5：6：1； 的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二 ②三边之长分别为√2，W7,W5； 步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工 ③三边之长分别为9,40,41； 高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为： ④三边之比为1.5：2：3. “如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 其中是直角三角形的有 (填序号). PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时， 16.如图，∠ACB=90°，AB=4cm,以Rt△ABC的 即P'C=10尺，秋千踏板离地的距离P'B和身 三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则 高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直， 试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根 图中阴影部分的面积为 cm. 据题意可列方程为 D B 第16题图 第17题图 17.如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC= 22.如图，4×1网格中每个正方形边长为1，表示√5 6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折 长的线段是 叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD 的长为cm, 18.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿 AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分 A.OA B.OB C.OC D.OD △AFC的面积为 23.如图，平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别 D 为(0,6)，(8,0)，以点A为圆心，AB长为半径 画弧，交y轴负半轴于点C,则点C的坐标为 ( D 19.如图，将一个有30°角的直角三角板的直角顶点 C放在一张宽为1cm的纸带边上.另一个顶点 A在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角 A.(-10,0) B.(0,-10) 边AC与纸带边所在的直线成45°角，则该三角 C.(0,-2) D.(0,一4) 板斜边AB的长度为 cm 24.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会 B 徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角 形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 45o OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°，则OC的 20.如图，每个小正方形的边长为1，A,B,C是小正 长为 ( 方形的顶点，则∠ABC的度数为 ICME7 图1 图2 A.√5 B.V5 C.②7 D. 3 2 数学·期末复习 …●-●● 25.如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm, 29.如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的 EF,则△ABE的面积为 ( ) 距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 为0.6米.若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜 靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为 D 1.5米，顶端E距墙顶D的距离DE为1米， 点A,B,C在一条直线上，点D,E,F在一条直 线上，AC⊥CF,DF⊥CF.求： 第25题图 第26题图 (1)墙的高度； (2)竹竿的长度. 26.如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于3，则点A到边BC的距离为 C 0 A.√3 B.2√2 C.4 D.3 27.如图，在Rt△ABC中∠A=90°，BD平分 ∠ABC交AC于点D,AB=12,BD=13,点P 是线段BC上的一动点，则PD的最小值是 D A.6 B.5 C.13 D.12 28.海面上有两个疑似漂浮目标.A舰艇以12海 里/时的速度离开港口O,向北偏西50°方向航 30.如图，在△ABC中，AB长比AC长大1，BC= 行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向 15,D是AB上一点，BD=9,CD=12. 北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港 (1)求证：CD⊥AB; 口5小时后两船相距100海里，求B舰艇的航 (2)求AC长. 行方向. 北 数学·八年级下册(R) ●-●● 31.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大.随 32.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE= 着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒 EC,将正方形的边CD沿DE折叠到DF,延长 水的方式扑灭火源.如图，△ABC区域内是一 EF交AB于点G,求AG的长和△BEG的 片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB,由点 周长 A飞向点B,已知点C为其中一个着火点，且点 A C与点A,B的距离分别为600m和800m,又 G AB=1000m,飞机中心周围500m以内可以受 到洒水影响. --C (1)求△ABC的面积. (2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？ 33.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇， ∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240 米，如果火车行驶时，火车头周围150m以内会 受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿 MN方向以72km/h的速度行驶时，求A处受 到噪音影响的时间. 9 数学·期末复习 …●-●-0 34.如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A,B两 36.将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使 村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千 点A,E,D在同一条直线上.利用此图的面积 米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂， 表示式证明勾股定理. 向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）. (1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最 短（请你在图中设计出水厂的位置）： (2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000 元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节 省的铺设水管的费用为多少元？ B A D 三、满分冲刺 37.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为 直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希 35.如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E.求 波克拉底月牙”：当AC=6,BC=8时，阴影部 证：AD2+BC=AB+CD2, 分的面积为 A B 38.勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮 法”证明勾股定理：将正方形ACFG沿分割线 JK,LM分割成四个全等四边形，再将这四个 四边形和正方形ABED拼成大正方形BCHI. 若AB=2,BC=√29，则AL的长为 G D 10 数学·八年级下册(R) ●-●●… 39.如图所示的是2×5的正方形网格，点A,B,P44.如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根 都在网格点上，则∠APB= 长方体木块.已知AD=6m,AB=4m,该木块 的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的 正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需 要走的最短路程是 ( A.8m 40.如图，一只蚂蚁在底面半径为6cm,高为8cm B.10m 的圆柱下底面的点A处，它想吃到上底面上与 C.2√13m 点A相对的点B的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬 D.2√34m 行的最短路程是 cm. 45.综合与实践 【阅读材料】先阅读一段文字，再回答下列问题， 已知在平面内两点坐标P1(x1,y),P2(x2, y2),其两点间距离公式为PP2= √(x2-x)2+(2-y),同时，当两点所在直 41.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B= 线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时， ∠D=90°，AD=AB=4,E是AD中点，M是 两点间距离公式可化简为x2一x|或2一y. 边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动 【实践探索】 点，则AM+MN十EN的最小值是 (1)已知A(3,5),B(-2,-1),则A,B两点间 的距离为 ； (2)已知A,B在平行于y轴的直线上，点A的 纵坐标为5，点B的纵坐标为一1，则A,B 两点间的距离为 (3)已知A,B在平行于x轴的直线上，点A的 42.在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B 横坐标为5，且A,B两点间的距离为3，则 均为格点，点C也在格点上，满足△ABC为以 点B的横坐标为 AB为斜边的直角三角形.这样的点C有 (4)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6), ( B(一3,2)，C(3,2),请判断此三角形的形 状，并说明理由、 LL} A.1个B.2个C.3个 D.4个 43.如图，正方体的棱长为2cm,点B为一条棱的 中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B 的最短路程是 ) A.√/10cm B.4 cm C.√7cm D.5 cm 11 数学·期末复习 46.综合与实践 【阅读材料】说明代数式√x2+1+√(x一3)2+4的几何意义，并求它的最小值 解：√x2+I+√(x-3)2+4=√(x-0)2+1平+√(x-3)2+2. 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则√(x一O)2十1可以看成点P与点 A(0,1)的距离，√(x一3)2+2可以看成点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值. 求最小值：设点A关于x轴的对称点为A',则PA=PA'.因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+ PB的最小值，而点A',B间的直线段距离最短，所以PA'十PB的最小值为线段A'B的长度.为此，构 造直角三角形A'CB,因为A'C=3,CB=3,所以由勾股定理得A'B=3√2，即原式的最小值为3√2. B(3,2) C 【实践探索】 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)代数式√(x-1)2+1+√(x-2)2+9的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1),点 B 的距离之和；（填写点B的坐标） (2)代数式√x2+49+√x2-12x+37的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A 、点B 的距离之和；（填写点A,B的坐标） (3)求出代数式√x2十49+√x2-12x+37的最小值 12数学八年级下册(RJ) (x-3v)÷8√保 =(xV2x-3x@)÷(8x号) =-2xV2xX,1 4√x 52.解：x十y=√2，xy=1-√2， .(x+1)(y+1)=xy十x+y+1=1-√2+√2+1=2. 53.解：a=2+√3，b=2-√5，∴a十b=4,ab=1, .a2+b=(a+b)2-2ab=42-2X1=14. 54.解：(1).|m-6|+√/n-5=0, .m-6=0,n-5=0,解得m=6,n=5, .2m+3n=2×6+3X5=27, .2m+3n的算术平方根是3√3. (2)y=√x-24+√24-x-1, .x-24>0,且24-x≥0，x=24,y=-1, .√x-y=√24-(-1)=5，.√x-y的平方根是士√5. 55.解：由数轴，得a<一1，一1<c<0,b>1, .-a+b>0,c-b<0. .原式=-a十(-a十b)十(c-b) =-a-a+b+c-b=-2a+c. 56.1,6,9,1057.0或258.(1)7(2)(7,10)或(28,40) 59.C60.A 61.解：.二次根式有意义，∴.a-2025≥0，即a≥2025， .2024-a≤-1<0， ∴.a-2024+/a一2025=a,解得√/a-2025=2024, 等式两边平方，整理得a-2024=2025. 62.解：在△ABC中，AC=5,AB=6,BC=7, :AC+AB+BC-5+6+7=9, 2 2 .△ABC的面积为√9×(9-5)×(9-6)×(9-7)=6√6. 63.解：(1)√/2025-√2024√n+1-√m (2)原式=号++9+“+ 3-2 4-3 V2024-/2023+￥2025-2024 2024-2023 2025-2024 =√2-1+√5-√2+√4-√3+…+√2024-√2023+ √/2025-√/2024=√/2025-1=45-1=44； 1 (3)x= -B+5=-B+5, √3-√53-5 2 1=3-5=5-3 y=5+53-5 2 x-y=5+65,5-5, 2 2 y-5+5×5,5- 2 “2-xy+y=(x-)+y=(-⑤+(-2） -5-=8 64.解：(1)（√4-√5）(4+5)=1，(3-√2)（√3+√2）=1， -5=a5-E= 3+2 又√4+3>3+√2， “4+下3+2即/4-<尽-2， 1 ×1 (2)(n+1-√m)(√m+I+√m)=1, (wm-√n-I)(Wn+√n-1)=1, 1 -m+后后+后， 又：√n+I十√m>√n+√n-I, 1 1 m+i+n+Vm后 即√n+I-√n<√n-√n-I. 期末复习（二）一第二十章勾股定理 1.直角平方和斜边平方2.103.10或2√7 4.A5.C6.367.88.D9.B10.C11.24 12.B13.D14.415.①②③16.1617.518.10 19.2√220.45°21.(x+1-5)2+102=x22.B23.D 24.A25.C26.D27.B 28.解：如图，由题意得，0A=12×5=60(海里)， OB=16×5=80(海里)， 又，AB=100海里，602+802=1002， 即OB2+OA2=AB2,.∠AOB=90°， ∠D0A=50°，.∠BOD=40°， 则B舰艇的航行方向是北偏东40°。 29.解：(1)设墙高x米， .AC⊥CF,DF⊥CF,∴.∠BCO=∠EFO=90°， 在Rt△BCO,Rt△EFO中，根据勾股定理可得， B0=(x-0.6)2+0.72,OE=(x-1)2+1.52, B0=0E,∴(x-1)2+1.52=(x-0.6)2+0.72, 解得x=3, 答：墙高3米， (2)由(1)得，BO=(x-0.6)2+0.72,x=3, .B0=√(3-0.6)2+0.7=2.5. 答：竹竿的长为2.5米. 30.解：(1)BC=15,BD=9,CD=12, ∴.BD2+CD=92+122=225,BC=152=225, .BD+CD=BC,∠CDB=90°，∴.CD⊥AB; (2)由题意得AB-AC=1, 设AC=x,则AD=AB-BD=x+1-9=x-8, :∠ADC=90°，.AC=AD+CD, .(x-8)2+122=x2,解得x=13,即AC长13. 31.解：(1)：AC=600m,BC=800m,AB=1000m, ..AC+BC=AB2, .△ABC是直角三角形，∠C=90°， SA=号xACX BC=-24000m, (2)如答图，过点C作CD⊥AB于点D, D 答图 SAm=7AC,BC=合CD:AB, .600×800=1000CD,.CD=480, ,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响， ∴着火点C受洒水影响。 4 32.解：连接GD,如答图所示， 由折叠可知，DF=DC=DA, ∠DFE=∠C=90°， .∠DFG=∠A=90°， .Rt△ADG≌Rt△FDG(HL), ∴.AG=FG, ,正方形边长是12， 答图 .BE=EC=EF=6, 设AG=FG=x,则EG=x+6,BG=12-x, 由勾股定理得EG=BE十BG, 即(x+6)2=62+(12一x)2,解得x=4, .AG=GF=4,BG=8, ∴.GE=√BE+BG=√62+8=10， ,.△BEG的周长为BE+EG+GB=6+8+10=24 33.解：如答图，过点A作AC⊥MN于点C, :∠Q0N=30,0A=240m,4C-20A=120m, 在MN上取点B,D,使得AB DN =AD=150m,当火车到B点 R 时对A处产生噪音影响， 0 ,AB=150m,AC=120m, M A ∴.由勾股定理得BC= 答图 √/AB2-AC2=√/1502-120 =90(m),CD=√AD-AC=√1502-1202=90(m),即 BD=180m, ,72km/h=20m/s, ∴.影响时间应是：180÷20=9(s). 34.解：(1)如答图，作点A关于CD的对称点E,连接BE,交 CD于点P,点P的位置就是修建 年B 水厂的位置. (2)如答图，过点E作BD的垂线 EF,交BD的延长线于点F,连 接AP, D P AP+PB=PE+PB=BE= ,F √EF+BF=√32+4= 答图 5(千米)， 20000×5=100000(元). 答：最节省的铺设水管的费用为100000元 35.证明：，BD⊥AC, .∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°， ∴.在Rt△AED中，AD=AE+DE, 在Rt△AEB中，AB2=AE+BE, 在Rt△BEC中，BC=BE+CE, 在Rt△CED中，CD=CE2+DE, ..AD2+BC=AE+DE+BE+CE, AB2+CD2=AE+BE+CE+DE, ∴.AD+BC=AB2+CD. 36.证明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC, .∠ABE=∠DEC, :∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°， ∠BEC=90°，△BEC是直角三角形， ∴.Se形ABCD=S△ABE十S△BEC十S△DEC, :a+a+2-2+:+空， +2+出-生2地d+时=. 2 37.2438. -39.135°40.1041.1042.D43.C44.B 45.解：(1)√61(2)6(3)2或8 (4)△ABC是等腰三角形.理由： 3 参考杏宋 由两点间距离公式可得：AB=√(0+3)2+(6-2)=5， BC=√(-3-3)2+(2-2)=6， AC=√/(0-3)2+(6-2)z=5, ∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 46.解：(1)(2,3)（或(2，-3）) (2)(0,7)(或(0，-7))(6,1) (或(6，-1)) (3)如答图，设点A关于x轴的 对称点为A', B 则PA=PA', P 求PA十PB的最小值，只需求 PA'+PB的最小值，而点A'、B 间的直线段距离最短， -C 答图 .PA'+PB的最小值为线段A B的长度， 取A(0,7),B(6,1),.A'(0,-7),AC=6,BC=8, .A'B=√AC2+BC2=√/62+82=10， ∴.代数式√x+49+√x2-12x+37的最小值为10. 期末复习（三）一第二十一章四边形 1.1302.753.904.725.1506.九边形7.(n-1) 83591m或5cm10.81.42号 13.314.815.130°16.217.2018.119.D20.D 21.B22.平行且相等直角互相平分且相等23.2√3 24.C25.B26.C27.C28.A29.D30.B31.40° 32.2433.2434.告35.B36.C37.A38.D39.2 40.841.242.B43.D44.945.78°46.180°47.60 48.g49.4850.2万51.352.353.65°5436°5.49 56.证明：BE=DF,.BE-EF=DF-EF, 即BF=DE, AE⊥BD,CF⊥BD,∠AED=∠CFB=9O°， 在R△MDE与aCBF序，公C ,.Rt△ADE≌Rt△CBF(HL), .∠ADE=∠CBF,.AD∥BC, 又AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形， 57.证明：(1)点E是BC的中点，∴.BE=CE EF=OE,.四边形OBFC是平行四边形 (2),四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC,BD相交 于点O,BO=OD, 四边形OBFC是平行四边形， ∴BF∥OC,BF=OC,∠FBO=∠COD, (BE=OC. 在△FBO和△COD中，∠FBO=∠COD, BO-OD. .∴.△FBO≌△COD(SAS),'.∠BOF=∠ODC, .OF∥CD. 58.(1)证明：∠ACB=90°，∴.AC⊥BC, DE⊥BC,延长DE到F,∴.AC∥DF,∠A=∠BDF, ∠A=∠F,∠BDF=∠F,.CF∥AB, 又AC∥DF,.四边形ADFC是平行四边形； (2)解：CD平分∠ADE,.∠ADC=∠FDC, ∠A=∠F, 在△ADC和△FDC中，〈∠ADC=∠FDC, CD=CD, .△ADC≌△FDC(AAS),.AD=DF,